2026年高中学业水平合格性考试数学模拟试卷（含答案详解）

第页2026年普通高中学业水平合格性考试模拟试卷数学本试卷共10页，23小题，满分150分。考试用时150分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将时间类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.作答选考题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．当时，复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设集合，，则（

）．A． B．C． D．x−1≤x≤33．函数的周期为A． B． C． D．124．命题“”的否定为（

）A． B．C． D．5．设函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B．C． D．6．已知正方体的棱长为，为正方体内部一动点，球为正方体内切球，过点作直线与球交于，两点，若的面积最大值为4，则满足条件的点形成的几何体体积为（）A． B．C． D．7．为了得到函数，的图像，只需将余弦曲线上所有的点（

）A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度8．有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如下：数据个数8001300900平均数78.18591.9请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数约为（

）A．91.16 B．85.23 C．84.73 D．79.979．已知正实数x，y满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．10．某校组织学生选报数学建模、物理实验两门选修课，规定每位学生至少选报一门.已知选报数学建模的学生占比，选报物理实验的学生占比.现在等可能的从该校选取一名学生，设事件A为“该学生选报数学建模”，事件为“该学生选报物理实验”，事件为“该学生两门选修课都选报”，则下列结论错误的是（

）A． B．A与不互斥 C． D．A与相互独立11．设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列结论中正确的是（

）A．若，，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则12．若函数在定义域上是单调递增函数，则的取值范围是A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）13．设，则的值为．14．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与以坐标原点为圆心、为半径的圆交于点，若点的横坐标与纵坐标之和为，则的值为．15．在中，，M为BC的中点，则_______．（用表示）16．已知关于x的不等式其中且，若该不等式的解集恰好为，则17．在平面直角坐标系中,已知点A在单位圆上且位于第三象限,点A的纵坐标为-23,若点A沿单位圆逆时针运动到点B,所经过的弧长为π2,则点B的坐标为18．已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则这个圆台的侧面积为.三、解答题（本大题共4小题，第19,20,21小题各10分，第22小题12分，共42分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）19．设函数是定义在R上的函数，对任意的实数都有，且当时的取值范围是．(1)求证：存在实数使得；(2)当时，求的取值范围；(3)判断函数的单调性，并予以证明．20．某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）.（1）求选取的市民年龄在内的人数；（2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数；（3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率.21．已知、，分别是内角，，的对边，，．（1）求；（2）若的面积为，求．22．多面体ABCDE中，与均为边长为2的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点.(1)求证：平面ECD；(2)求多面体ABCDE的体积.

参考答案1．【答案】B【详解】,若，则，，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选B2．【答案】D【详解】集合，，则，故选D.3．【答案】C【分析】根据求解即可【详解】由题,,则,故选：C4．【答案】A【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“”的否定为：．故选A．5．【答案】A【分析】根据奇函数的定义，进行判断即可得解.【详解】对A，令，的定义域为，关于原点对称，，则为奇函数.对B，令，的定义域为，的定义域不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数.对C，的定义域为，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数.对D，的定义域为，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数.故选：A.6．【答案】D7．【答案】B【分析】根据余弦函数平移规律直接判断.【详解】将图像所有的点向右平移个单位长度，得到图像，即为了得到函数，的图像，只需将余弦曲线上所有的点向右平行移动个单位长度.故选：B8．【答案】B【详解】由题可知：样本平均数为，所以估计这4万个数据的平均数约为.故选B9．【答案】A【分析】根据题意分析可知，利用基本不等式运算求解.【详解】因为正实数x，y满足，则，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选A.10．【答案】D【详解】因为每位学生至少选报一门，所以，C正确；由容斥原理，所以，所以，A正确；因为，所以A与B不互斥，B正确；因为，，所以A与C不独立，D错误.故选D11．【答案】C【详解】对于A中，由，只有当与相交时才能得到，所以A错误；对于B中，由，，可得，又由，所以，所以B错误；对于C中，若，，所以，又，所以，所以C正确；对于D中，由，，则或，当时，由，则或与异面；当时，由，则或与相交，所以D错误．故选C.12．【答案】D【详解】函数在定义域上是单调递增函数，则有：，解得.故选D.点睛：本题主要考查函数的单调性，考查分段函数连续单调的问题.分段函数有两段，第一段是一次函数，第二段是指数函数.对于一次函数，要单调递增就需要斜率大于零，对于指数函数，要单调递增就需要底数大于一.两段分别递增还不行，还需要在两段交接的地方，左边不大于右边，这样才能满足在身上单调递增.13．【答案】【详解】，.14．【答案】/【详解】设，由题意可知，所以，所以.15．【答案】【详解】解：，，所以。16．【答案】4【详解】由二次函数，所以，因为，不等式的解集一定是两个区间，而不是一个区间，所以，而当时，因为二次函数关于对称，所以不等式的解集中的端点值满足，此时有，代入得，解得或，当时，与矛盾，故舍去；当时，，此时满足题意，即.17．【答案】2【详解】设点A是角α的终边与单位圆的交点,因为点A在单位圆上且位于第三象限,点A的纵坐标为-23所以sinα=-23cosα=-1−sin2α因为点A沿单位圆逆时针运动到点B,所经过的弧长为π2所以∠AOB=π21=所以点B的横坐标为cosα+π2=-sinα纵坐标为sinα+π2=cosα即点B的坐标为2318．【答案】【详解】因为圆台的上底面圆半径2，下底面圆半径4，它的侧面展开图扇环的圆心角为，设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为x，如图，由题意可得：，解得，所以圆台的侧面积.

19．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)单调递减，证明见解析.【详解】（1）令，则，当时的取值范围是，即，故，显然存在，使，得证；（2）令，则，即，若，则，故，即，而，则，当时，取值范围是；（3）单调递减，证明如下：令，则，所以，则，由题设及（2）知，，则，即，所以单调递减，得证.20．【答案】（1）20；（2）平均数32.25;第80百分位数37.5；（3）【详解】（1）由题意可知，年龄在内的频率为，故年龄在内的市民人数为.（2）平均数为32.25;前三组的频率和为，第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组，第80百分位数为.（3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为，所以用分层抽样的方法在第3，4两组市民抽取5名参加座谈，所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人.记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种.其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，，，，，共有7种，所以至少有一人的年龄在内的概率为.21．【答案】（1）；（2）2.【解析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合余弦定理可求；（2）由已知结合三角形的面积公式即可直接求解．【详解】（1）由及正弦定理可得，，所以，即，所以，所以，因为，所以，由余弦定理可得，.（2）由（1）知，因为的面积为，所以，解可得，则.【关键点拨】本题的关键在于正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用．22．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由面面垂直得线面垂直，进而得到线线平行，从而证得线面平行；（2）将多面体ABCDE分为两个三棱锥进行求解体积.【详解】(1)证明：因为为等腰三角形，F为BC的中点，所以AF