聚焦运算意义 构建关联网络-《乘、除法的意义和各部分间的关系》教学设计

聚焦运算意义构建关联网络——《乘、除法的意义和各部分间的关系》教学设计一、教学内容分析

本课隶属《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域“数的运算”主题。在知识技能图谱上，它处于一个承上启下的枢纽位置：学生已在低年级学习了乘、除法的直观模型（如连加、均分）并掌握了基本计算，本节课则需从“运算意义”这一本质出发，对先前经验进行抽象概括与结构化，明晰乘、除法作为两种“互逆”运算的内在逻辑联系，并精确界定“因数”、“积”、“被除数”、“除数”、“商”等核心概念。这不仅是理解四则运算整体关系网的关键节点，更是后续学习运算律、解方程以及解决复杂数量关系问题的认知基石。从过程方法看，课标强调通过具体情境抽象出数学关系，发展学生的推理意识和模型意识。为此，教学设计将引导学生经历“具体情境—抽象算式—概括关系—灵活应用”的完整探究路径，将“数学建模”与“逻辑推理”的思想方法自然融入。就素养价值而言，本课超越单纯的计算熟练度训练，致力于培养学生基于意义理解和关系网络的“运算能力”，以及用联系的、结构的眼光审视数学知识的“抽象能力”，实现从“会算”到“懂理”的思维跃迁。

学情研判方面，四年级学生已具备乘除法计算技能和解决简单实际问题的经验，但多数处于“算法熟练，算理模糊”的状态。他们的思维正从具体形象向抽象逻辑过渡，但对“逆运算”关系的理解可能仅停留在“计算检验”层面，尚未建立起“知一求二”的结构化认知。潜在障碍在于：第一，难以脱离具体情境抽象概括普遍关系；第二，在逆向求解（如求因数、求除数）时易产生思维定式混淆。因此，教学需设计“前测”问题（如：根据“4×5=20”能写出哪些算式？）快速诊断起点，并在新授中通过丰富的表征转换（语言、图形、算式）和对比辨析搭建脚手架。针对差异，将为理解较快的学生提供逆向、开放性问题作为思维延伸，为需要支持的学生准备直观学具（如点子图）和分步提示，确保每位学生都能在最近发展区内获得成功体验。二、教学目标

知识目标：学生能准确阐述乘、除法的意义，并运用自己的语言说明其间的互逆关系；能熟练指认并写出乘、除法算式各部分的名称；能系统构建并应用“因数×因数=积”、“积÷一个因数=另一个因数”、“被除数÷除数=商”、“商×除数=被除数”、“被除数÷商=除数”这组关系式解决简单的求未知数问题。

能力目标：学生能从现实情境中抽象出乘、除法数学模型，并能在乘、除法模型间进行自如转换；能基于乘、除法的互逆关系进行合情推理，解释算理、验算结果，并初步具备根据已知关系逆向求解未知量的能力。

情感态度与价值观目标：学生在探索运算关系的过程中，体验数学知识内在的和谐统一与逻辑之美，激发探究兴趣；在小组合作与交流中，乐于分享自己的发现，并能认真倾听、理性评价同伴的观点。

科学（学科）思维目标：重点发展学生的模型思想与推理意识。通过将具体问题抽象为算式模型，并探究模型间相互推导的关系，经历“建模析模用模”的完整思维过程；通过“如果…那么…”的逻辑句式进行关系推导，锻炼有条理、合逻辑的思维能力。

评价与元认知目标：引导学生利用本节课总结的关系网络作为“工具”进行自我验算与检查；在课堂小结环节，鼓励学生使用思维导图等方式梳理知识联系，并反思“我是如何发现这些关系的？”以提炼学习方法。三、教学重点与难点

教学重点：乘、除法意义的深度理解及其互逆关系的构建。确立依据在于，从课标视角看，对运算意义的理解是发展运算能力和模型意识的核心“大概念”；从知识结构看，此关系是贯通乘、除法所有变式和应用的总纲，对后续学习方程、比例等具有奠基性作用。高频考点如“利用乘除法关系求未知数”、“辨析数量关系列式”均直接依托于此。

教学难点：灵活运用乘、除法各部分间的关系，解决求未知数的实际问题，特别是当未知数处于除数和因数位置时。预设依据源于学情：学生由已知结果顺向列式计算较为熟练，但逆向思考（已知积和商，反推因数或除数）需要克服思维定式，完成认知逆转。常见错误如“求除数时用被除数乘商”，正反映出对关系理解停留在表面，未能内化为可逆的认知结构。突破方向在于强化关系式的对比辨析与在多样情境中的变式应用。四、教学准备清单1.教师准备

1.1媒体与教具：多媒体课件，内含情境动画、关系推导流程图、分层练习题。实物投影仪。

1.2学习材料：《乘除法关系探究学习单》（分基础版与挑战版），包含情境问题、表格填写、关系归纳区及分层练习。点子图模型卡（用于支持具象思维学生）。2.学生准备

复习乘、除法的含义。预习课本相关主题内容，并尝试用一句话描述乘法和除法的联系。准备铅笔、直尺。3.环境布置

学生按4人异质小组就坐，便于合作讨论。黑板划分为“意义区”、“关系区”和“应用区”。五、教学过程第一、导入环节

1.情境创设，制造冲突：“同学们，我们来做个小‘侦探’。老师这里有一个‘神秘’的算式盒子，它‘吃’进去一个乘法算式，却能‘吐’出两个不同的除法算式。比如，它吃进去‘4×5=20’，吐出了‘20÷5=4’和‘20÷4=5’。你们猜猜，这个盒子的秘密是什么？”（稍作停顿，让学生自由猜想）接着，呈现一个真实问题：“体育老师买了3箱羽毛球，每箱10筒。如果要把这些羽毛球平均分给5个班，每个班能分到几筒？有同学列式‘3×10÷5’，也有同学直接列式‘30÷5’。哎，这里的‘3×10’不就是乘法吗，怎么和除法问题扯上关系了？乘法和除法之间，到底藏着怎样的‘亲密关系’呢？”

1.1提出问题，明确路径：基于情境，提炼出本节课的核心驱动问题：“乘法和除法的意义本质是什么？它们各部分之间有何千丝万缕的联系？”并向学生勾勒学习路线：“今天，我们就化身数学关系‘探秘者’，先回顾意义，再给算式各部分‘标上姓名’，最后像侦探一样，挖掘它们之间隐藏的关系网，揭开这个‘神秘盒子’和分羽毛球背后的数学真相。”第二、新授环节任务一：回归本质，重温意义1.教师活动：首先，利用课件动态呈现两组情境。第一组：每棵树上停着4只鸟，3棵树一共几只鸟？（连续累加情境）。第二组：把12块蛋糕，平均放到3个盘子里，每个盘子几块？（等分除情境）；12块蛋糕，每4块装一盒，可以装几盒？（包含除情境）。引导学生用语言描述每个情境的含义。“谁能用‘几个几’或者‘平均分’的语言，把问题说清楚？”接着，板书对应算式：4×3=12，12÷3=4，12÷4=3。并追问：“这三个算式，分别代表了哪种运算？乘法和这两种除法，在解决什么样的问题？”2.学生活动：观察情境图，用数学语言完整表述问题。根据已有经验，列出正确的乘法或除法算式。在教师引导下，尝试用“求几个相同加数的和用乘法”、“把一个数平均分成几份或按每份个数分，用除法”来概括运算意义。小组内互相说一说。3.即时评价标准：1.情境描述是否准确、完整，能突出“每份数”、“份数”、“总数”等核心量。2.列式是否与情境匹配，并能说出列式依据。3.在小组交流中，能否倾听并补充同伴的发言。4.形成知识、思维、方法清单：★乘法意义：求几个相同加数的和的简便运算。★除法两种意义：①等分除（已知总数与份数，求每份数）；②包含除（已知总数与每份数，求份数）。▲联系与区别：乘法和除法都涉及“每份数”、“份数”、“总数”这三个量。乘法是已知前两个求第三个；除法是已知第三个和其中一个，求另一个。方法提示：理解意义的关键是找准情境中的“标准”（每份数）和“重复的次数”（份数）。任务二：追根溯源，认识“姓名”1.教师活动：指着板书的算式4×3=12和12÷3=4。“我们已经知道它们叫什么运算了，那算式里的每一个数，在运算中扮演什么‘角色’呢？它们有没有自己的‘名字’？”请学生自学课本相关内容。然后，教师扮演“命名官”：“在乘法家族里，相乘的两个数叫‘因数’，得到的结果叫‘积’。来，我们一起指一指，在4×3=12里，因数是？积是？”同理教学除法各部分名称。“除法家庭里，被分的总数叫‘被除数’，用来分的数（每份数或份数）叫‘除数’，分得的结果叫‘商’。”进行快速指认练习。2.学生活动：阅读课本，认识“因数”、“积”、“被除数”、“除数”、“商”等术语。跟随教师指引，准确指认板书算式中各部分的名称。进行同桌互考游戏：“我说‘被除数’，你指‘12’并说出它在哪个算式里。”3.即时评价标准：1.能否准确、快速地说出给定算式中各部分的名称。2.能否理解“因数”、“被除数”等术语在具体情境中的实际含义（如“因数”代表每份数或份数）。4.形成知识、思维、方法清单：★乘法各部分名称：因数×因数=积。★除法各部分名称：被除数÷除数=商。▲记忆技巧：结合意义记名称：“被除数”就是“被分的数”；“除数”是“用来分的数”；“商”是“商量（分配）的结果”。易错警示：“因数”只在乘法中使用，在除法中不能称为因数。任务三：关系初探，发现“互逆”1.教师活动：将三个算式（4×3=12,12÷3=4,12÷4=3）呈现在同一画面。“请大家火眼金睛观察，这三个算式中的数字有什么特点？你能发现它们之间可以怎样互相‘变身’吗？”引导学生关注：由4×3=12，可以变出两个除法算式；反过来，由12÷3=4，能变出什么？引出“乘法和除法是互逆运算”这一核心观点。“有没有同学能用乘法的‘镜头’重新解读一下12÷3=4这个除法算式？（也就是把除法‘逆回去’）”2.学生活动：仔细观察、对比三个算式，发现数字相同、位置变化的关系。尝试用语言描述发现：“知道乘法可以写出两个除法”，“知道除法可以写成一个乘法”。初步感知“互逆”的含义：除法是乘法的“反过来”。3.即时评价标准：1.能否自主发现三个算式数字上的同一性。2.能否用“根据…可以推出…”的句式表述算式间的转化关系。3.是否初步理解“逆运算”的直观含义。4.形成知识、思维、方法清单：★乘除法的互逆关系：除法是乘法的逆运算，乘法也是除法的逆运算。▲核心表现：已知一个乘法算式，可以写出两个相关的除法算式；已知一个除法算式，可以写出一个相关的乘法算式。思维起点：这是探究更精细数量关系的基础，体现了数学的对称与可逆之美。任务四：深度挖掘，构建“网络”1.教师活动：这是本环节的核心。“互逆关系是个大发现，但还不够精确。我们得像画家族图谱一样，弄清每一个‘成员’（各部分）之间的具体关系。”组织小组合作，分发学习单，任务一：根据算式“4×3=12”，填写：积是（），一个因数是（），另一个因数是（）。如果只知道积12和一个因数3，怎么求另一个因数？写出关系式。任务二：根据“12÷3=4”，填写：被除数是（），除数是（），商是（）。如果只知道商4和除数3，怎么求被除数？只知道被除数12和商4，怎么求除数？分别写出关系式。教师巡视，指导有困难的小组利用点子图进行具象推导（如：把12个点平均分成3份，每份4个；反过来，3个4合起来就是12）。2.学生活动：以小组为单位，利用具体算式实例进行推理、讨论。尝试用不同的方式（语言叙述、画图、写等式）表达如何求未知部分。在教师引导下，逐步归纳出三组抽象关系式。选派代表分享本组的发现和推导过程。3.即时评价标准：1.小组讨论是否围绕核心任务展开，每位成员是否参与。2.归纳的关系式是否准确、完整。3.分享时能否结合实例清晰地解释关系式的由来。4.形成知识、思维、方法清单：★乘法各部分关系：积=因数×因数；一个因数=积÷另一个因数。★除法各部分关系：商=被除数÷除数；被除数=商×除数；除数=被除数÷商。▲关系网络图：（可绘制简易图表）将五个关系式用箭头连接，直观展示乘除法内部及相互间的可逆推导路径。方法提炼：求算式中的未知数，就是应用这些关系进行“逆向运算”。任务五：首战应用，验证关系1.教师活动：“我们刚刚构建了强大的‘关系网络’，现在来试试它的威力。”出示几道简单填空题：根据24×5=120，直接写出120÷5=()，120÷24=()；已知（）÷8=15，求被除数；已知32÷（）=4，求除数。先让学生独立完成，然后追问：“你做每一题的根据是哪条关系式？说给你的同桌听。”选择典型答案投影，让学生充当“小老师”讲解。2.学生活动：独立应用刚总结的关系式完成填空。与同桌互相说明每道题运用的具体关系。聆听同伴讲解，并进行判断或补充。3.即时评价标准：1.填空是否准确。2.说理时能否正确引用关系式，而不仅仅是凭感觉或记忆。4.形成知识、思维、方法清单：★关系式应用：直接利用乘除法互逆关系进行填空或验算。▲应用价值：这些关系是后续学习解方程（如a×x=b）的认知前奏。检验方法：将求出的未知数代回原式，看等式是否成立，这是利用关系进行自我检验的好习惯。第三、当堂巩固训练

基础层（全员过关）：1.根据56×7=392，直接写出两道除法算式。2.填空：○×□=△，则△÷□=（）；☆÷

=◎，则◎×

=（），☆÷◎=（）。（反馈：同桌交换批改，重点纠错，明确依据哪条关系。）

综合层（灵活应用）：1.解决实际问题：一个足球售价78元，李老师带了1000元，买了若干个足球后还剩34元。李老师买了几个足球？（引导学生分析数量关系：总价=单价×数量，先求总价，再列式或利用关系求数量）。2.判断：已知A÷B=C，那么B=A×C。（）并说明理由。（反馈：小组讨论后集中讲评，展示不同解题思路，强调从实际意义理解关系。）

挑战层（思维拓展）：★（选做）在□里填上合适的数：□÷（32÷4）=8。这道题里藏着“两层关系”，看谁能破解它？（反馈：请做出来的学生分享思维过程，提炼‘由外向内’逐步分析的策略。）第四、课堂小结

“同学们，今天的探秘之旅即将结束，我们收获了怎样一张‘关系地图’呢？请大家不要看书，尝试用自己喜欢的方式（比如思维导图或知识树）在练习本上画一画本节课的核心内容。”请两位学生上台展示并讲解。教师最后用结构化的板书进行总结，强调乘、除法意义是根基，互逆关系是桥梁，五个关系式是具体路径，它们共同构成了一个紧密的知识网络。“我们学习运算，不仅要会计算，更要理解它们背后的联系。掌握了这个网络，你就能更灵活地解决问题，就像手握一把万能钥匙。”

作业布置：必做：1.完成课本对应练习。2.根据“18×25=450”编一道用除法解决的问题，并写出对应的两个除法算式。选做：探究“0”在乘除法各部分关系中的特殊性（如：0可以做因数吗？可以做除数吗？为什么？）。预告：下节课我们将利用今天构建的“关系网络”，去解决更有挑战的求未知数的问题。六、作业设计基础性作业（必做）1.巩固概念：写出乘法和除法各部分的名称，并各举一个例子说明。2.直接应用：已知36×15=540，直接写出540÷36=（），540÷15=（）。已知（）÷12=30，求被除数。3.关系判断：已知M×N=P，那么P÷M=N。（）（判断对错，并写出依据的关系式）。拓展性作业（建议大多数学生完成）1.情境应用：学校图书馆新购进一批故事书，如果每层书架放24本，刚好可以放满15层。如果改为每层放20本，可以放满多少层？（要求：先分析数量关系，再用不同方法解答，并尝试用今天学的关系进行验算）。2.编题互测：仿照课本例题，自己创设一个生活情境，编一道蕴含乘除法关系的题目，并写出完整的解答过程。次日与同桌交换解答。探究性/创造性作业（选做）1.数学小论文（二选一）：①以《乘法和除法的“对话”》为题，用拟人化的手法，写一篇短文，阐述它们的意义、区别和联系。②探究：加减法之间也有互逆关系吗？加减法各部分之间有什么关系？尝试进行研究并写下你的发现。2.设计“关系”思维导图：不仅包含本节课的乘除法关系，尝试将之前学过的加、减法关系也融入其中，设计一张完整的“四则运算内部关系”思维导图或知识海报。七、本节知识清单及拓展★1.乘法意义：求几个相同加数的和的简便运算。其本质是描述“每份数”、“份数”与“总数”之间的关系：每份数×份数=总数。★2.除法两种意义：①等分除：把一个数平均分成几份，求每份是多少。②包含除：求一个数里面包含几个另一个数。二者均已知“总数”，并已知其中一个部分量（每份数或份数），求另一个部分量。★3.乘法各部分名称：相乘的两个数称为“因数”，乘得的结果称为“积”。关系式：因数×因数=积。★4.除法各部分名称：被分的数叫“被除数”，用来分的数叫“除数”，分得的结果叫“商”。关系式：被除数÷除数=商。★5.乘除法的互逆关系：除法是乘法的逆运算，乘法也是除法的逆运算。这是乘除法最根本的联系。★6.乘法各部分间的关系：基于互逆关系可推导出：积=因数×因数；一个因数=积÷另一个因数。★7.除法各部分间的关系：可推导出：商=被除数÷除数；被除数=商×除数；除数=被除数÷商。★8.关系应用：求未知因数：当乘法算式中一个因数未知时，用“积÷已知因数”求解。★9.关系应用：求未知被除数：当除法算式中被除数未知时，用“商×除数”求解。★10.关系应用：求未知除数：当除法算式中除数未知时，用“被除数÷商”求解。此点易错，需特别注意。▲11.与加减法关系的对比：加法的逆运算是减法，关系为：和=加数+加数，一个加数=和另一个加数。减法的逆运算是加法，关系为：差=被减数减数，被减数=差+减数，减数=被减数差。可与乘除法关系对比记忆，体会运算内部的统一逻辑。▲12.“0”和“1”的特殊性：在乘法中，0乘任何数得0，1乘任何数得原数。在除法中，0除以任何非零数得0，任何数除以1得原数。0不能做除数。▲13.验算的强大工具：利用“被除数=商×除数”可以验算除法计算是否正确；利用“一个因数=积÷另一个因数”可以验算乘法。这是关系最直接的应用之一。▲14.解简单方程的雏形：如求解□×5=60，实质就是应用“一个因数=积÷另一个因数”（□=60÷5）。本节课的关系式为后续正式学习方程奠定了基础。▲15.数量关系模型：常见的单价×数量=总价、速度×时间=路程等，都是乘法模型。已知总价和单价求数量，或已知路程和速度求时间，就是应用除法关系。将具体问题抽象为这些模型，是解决复杂应用题的关键。八、教学反思

（一）目标达成度分析：从课堂后测（巩固练习）和学生的课堂表现来看，“知识目标”与“能力目标”达成度较高，绝大多数学生能准确说出各部分名称及关系式，并能用于解决基础性问题。“情感与思维目标”在小组探究和关系归纳环节有所体现，学生表现出探究兴趣，并能进行初步的推理表述。然而，在“灵活应用”层面，仍有部分学生在解决逆向、变式问题时出现犹豫或错误，这表明将关系内化为熟练的思维工具仍需后续练习的强化。

（二）环节有效性评估：导入环节的“神秘盒子”和实际问题有效激发了认知冲突，成功将学生的注意力引向“关系”探究。新授环节的五个任务构成了螺旋上升的认知阶梯。“任务一、二”铺垫扎实；“任务三”的“互逆”发现是重要转折点，学生在此处眼睛发亮：“原来它们是可以互相反着来的！”；“任务四”的小组合作探究是思维深化的核心，尽管耗时较长，但让学生亲历关系网络的“编织”过程，价值远大于直接告知。巡视时，我看到一些小组在争论“求除数到底用乘还是除”，这正是宝贵的思维碰撞点。“任务五”的即时应用起到了巩固和