从实际问题出发：建构连乘问题解决的模型思维-小学数学三年级下册教学设计

从实际问题出发：建构连乘问题解决的模型思维——小学数学三年级下册教学设计一、教学内容分析《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域第二学段中明确指出，要引导学生“在具体情境中，了解常见的数量关系：总价=单价×数量、路程=速度×时间，并能解决简单的实际问题”。本课“连乘”正是这一要求的关键载体，它位于冀教版三年级下册“两位数乘两位数”单元之后，是学生从单一运算迈向两步及多步混合运算解决实际问题的思维跃迁点。知识技能图谱上，本课以乘法的意义和两位数乘法的计算为基石，核心在于理解连乘问题的数量关系与运算顺序，其认知要求从“理解”跃升到“综合应用”，并为后续学习连除、乘除混合及更复杂的归一、归总问题铺设逻辑阶梯。过程方法路径上，本课是渗透“模型思想”的绝佳契机。教学需引导学生经历“从现实生活抽象出数学问题—用数学符号建立连乘模型—用模型解释与应用”的完整过程，将具体的“方阵人数”、“包装箱数”等问题情境，抽象为“每份数×份数×份数”的通用结构。素养价值渗透上，连乘学习不仅关乎计算技能，更指向“运算能力”的深化（合理选择算法、理解算理）、“应用意识”的培育（自觉用数学眼光观察现实世界）和“创新意识”的萌芽（鼓励一题多解，探寻不同解题路径）。教学应避免陷入机械计算，而是引导学生在分析信息、建立关联、规划步骤中，感受数学思维的严谨与力量，实现“润物无声”的素养涵育。基于“以学定教”原则，需进行立体化学情研判。已有基础与障碍方面，学生已熟练掌握表内乘法、两位数乘一位数及两位数乘两位数的笔算，具备解决一步乘法应用题的能力。然而，他们的思维正从具体运算向初步的逻辑推理过渡，面对信息量稍大的两步问题时，普遍存在“看到数字就乘”的思维惯性，难以主动分析数量间的层次关系与隐藏的中间问题，这是本课的核心认知障碍。过程评估设计将贯穿课堂：在导入环节，通过观察学生对情境问题的第一反应（是直接相乘还是停顿思考），评估其问题意识；在新授环节，通过分析学生绘制的图示和列出的算式，诊断其建模的清晰度与准确性；在巩固环节，通过变式练习的完成情况，判断其模型迁移的灵活性。教学调适策略则需体现差异化：对于抽象思维较弱的学生，提供实物图片、方块图等直观“脚手架”，引导其分步操作与表达；对于思维较快的学生，鼓励其用不同思路解题，并尝试用规范的数学语言解释不同解法间的内在联系，实现“保底不封顶”的弹性教学。二、教学目标知识目标：学生能在具体的生活情境中，理解连乘问题的意义，掌握连乘运算的顺序。他们不仅能正确计算连乘算式，更重要的是能解释每一步计算所对应的实际含义，例如能清晰说出“第一步算的是每个大组有多少人，第二步算的是总人数”，从而构建起运算与意义之间的牢固联结。能力目标：学生将发展从复杂情境中提取有效数学信息、分析信息间多重数量关系的能力。他们能够有条理地、分步骤地思考问题，并选择画示意图、列表格等策略辅助分析，最终形成“先求什么，再求什么”的清晰解题思路，初步养成有序思考的思维习惯。情感态度与价值观目标：在解决贴近生活的连乘问题过程中，学生能感受到数学的实用性与趣味性，增强学习数学和应用数学的信心。在小组合作探究中，学会倾听同伴的解题思路，尊重不同的解决问题方法，体验团队协作的价值与成就感。科学（学科）思维目标：本节课重点发展学生的“模型思想”和“几何直观”。通过将“队列表演”、“包装货物”等现实问题抽象为连乘数学模型，并鼓励用长方形阵列图、点子图等直观形式表征数量关系，引导学生初步经历“现实问题→数学模型→解释与应用”的数学化过程，为形成结构化思维奠定基础。评价与元认知目标：引导学生学会回顾与反思自己的解题过程。他们能依据“步骤清晰、结果合理”的标准，初步检查自己或同伴的解答是否正确。在课堂小结时，能尝试说出“今天我学会了先找隐藏的问题”或“画图让问题变得更清楚”等学习心得，开启对自我认知策略的审视。三、教学重点与难点教学重点：理解连乘问题的数量关系，掌握用连乘两步计算解决实际问题的思路与方法。其确立依据源于课标对“解决问题”能力的一贯强调，以及本课在单元知识链中的枢纽地位。连乘是学生首次系统接触两步运算解决问题，它承载着“分析综合法”这一基本解题策略的启蒙，对后续学习所有复合应用题具有奠基性作用。从能力立意看，能否清晰分析两步问题的结构，是衡量学生是否真正超越机械计算、进入逻辑思维层面的关键标志。教学难点：从具体情境中抽象出连乘的数学模型，并自主确定第一步计算的中间问题。难点成因在于学生思维需要完成两次跨越：一是从纷繁的文字信息中剥离出数学结构，这需要较强的信息筛选与整合能力；二是理解两步计算间的逻辑依存关系，即第二步计算依赖于第一步的结果，这需要初步的逆向思维与推理能力。预设难点主要基于学情分析中提到的“思维惯性”和常见错误（如将无关条件相乘或顺序错误）。突破方向在于强化“图示化”策略，将抽象关系可视化，搭建从具体到抽象的认知阶梯。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式多媒体课件，内含主题情境图（如图书角书架、体操表演方阵）、动画演示（分步骤展示数量关系）、分层练习题。1.2学习材料：设计并打印差异化“学习任务单”（含基础作图区与挑战思考区）、小组合作讨论记录卡、实物磁贴（用于黑板粘贴演示）。2.学生准备2.1学具：常规文具（铅笔、尺子、彩笔）。2.2预习：简单回顾乘法的意义，并观察生活中哪些地方可能用到“一组一组又一组”的计算（如超市饮料包装、班级小组发作业本等）。3.环境布置3.1座位安排：课桌椅按46人小组式摆放，便于合作探究与交流。3.2板书记划：黑板分区规划：左侧预留核心情境与问题；中部作为探究过程主阵地，用于张贴学生图示和列式；右侧用于梳理模型和总结方法。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设，制造认知冲突“同学们，学校图书馆新进了一批图书，正需要大家帮忙整理和计算呢！看，这是咱们学校图书馆的一个书架。”（课件出示：一个书架有4层，每层放了5捆书，每捆有10本。）“管理员王老师想知道：这样的一个书架，一共能放多少本书？谁能快速告诉王老师答案？”（预计会有学生直接说“200本”，也会有学生露出困惑、尝试计算的表情。）1.1问题提出，聚焦核心挑战“咦，好像有同学很快说出了答案，也有同学在认真思考。直接说200本的同学，你能说说你是怎么想的吗？（可能学生会说4×5×10）哦，你一下子就用到了‘连乘’，真厉害！但王老师想知道，我们能不能把这个‘一下子’的过程，一步一步清楚地讲明白，让所有同学都理解呢？今天，我们就一起来当好‘数学小管家’，探究这类‘连乘’问题的解决之道。”1.2路径明晰，唤醒旧知“要解决这个问题，我们需要从情境中找出所有数学信息，理清它们之间的关系。这和咱们以前解决的一步乘法问题有什么不同？（信息更多，关系更复杂了）没关系，我们可以请‘画图’这个老朋友来帮忙。这节课，我们就通过‘找信息—画图理关系—分步列式解答’的步骤，把复杂问题变简单！”第二、新授环节本环节采用“支架式教学”，通过一系列递进任务，引导学生主动建构连乘模型。任务一：分解情境，提取关联信息教师活动：首先，引导学生齐读情境（书架问题），并用手势比划“层”、“捆”、“本”。提问：“要算总本数，我们需要知道哪些信息？”学生可能笼统回答。教师进而追问：“这些信息之间有什么关系？谁能用‘先知道…才能知道…’这样的句式说一说？”例如，“我们需要先知道一层有多少本，才能知道4层有多少本；而要知道一层有多少本，又需要知道每层有几捆和每捆有几本。”接着，将核心信息“4层”、“每层5捆”、“每捆10本”板书在黑板上，并用箭头初步标示思考方向。学生活动：学生认真阅读情境，尝试用手指对应课件图片的层、捆、本。在教师引导下，尝试用语言描述信息间的依赖关系。小组内互相说说自己的理解，可能产生争论，最终在教师帮助下达成共识：不能直接用三个数相乘，需要分步思考。即时评价标准：1.信息提取的完整性：能否无遗漏地找出情境中三个关键数字信息及其对应含义。2.关系描述的清晰度：能否用“要求…，需要先求…”等逻辑语言，初步表达数量间的层次关系，而非孤立地看待每个数字。形成知识、思维、方法清单：★1.审题是关键：解决两步或多步问题的首要步骤是认真审题，找出所有相关的数学信息，并明确问题是什么。避免看到数字就盲目计算。▲2.寻找中间问题：在一步计算无法直接解决问题时，需要思考“隐藏”的问题是什么。例如，在书架问题中，“一层有多少本书”就是一个关键的中间问题。找到它是解题的突破口。（教师提示：“孩子们，以后遇到信息多的问题，别急着算，先像这样在脑子里或者纸上‘过过电影’，理一理谁和谁有关系。”）任务二：多元表征，搭建思维脚手架教师活动：“信息关系理清了，怎么让大家一眼就看明白呢？画画图是个好办法。你可以画方块图表示一层层的书架，也可以用圆圈图表示一捆捆的书，甚至可以用自己喜欢的符号。来，在任务单上试试看。”巡视指导，选取几种有代表性的作品（如分层矩形图、集合圈图、简易线段图）准备展示。展示时，请创作者解释：“你的图是怎么表示‘层’、‘捆’、‘本’的？”学生活动：学生独立尝试用图形表征数量关系。有的可能画出4个大长方形代表4层，每个长方形里画5个小方形代表5捆，再在小方形旁标“10”；有的可能用大圈套小圈的方式表示。完成后在组内交流各自的画法，互相学习。即时评价标准：1.图示的对应性：图形元素是否清晰、准确地对应了情境中的物体（层、捆、本）及其数量关系。2.思维的直观性：图示能否直观地展示出计算的步骤和顺序（如先算一层，再算四层）。形成知识、思维、方法清单：★3.几何直观的力量：画图能将抽象的文字信息转化为直观的图形，帮助我们“看见”数量关系，是分析复杂问题的强大工具。不同的画法只要逻辑正确，都是好方法。▲4.数形结合：将数字（4，5，10）与图形结合，使思考过程可视化。例如，在方块图中标出数字，使得每一步计算都有图形依据。（教师点评示例：“哇，这个‘圈圈图’很有创意，用一个大圈包着5个小圈，再在每个小圈里写10，能清楚地看到‘一层有5个10本’。真形象！”）任务三：列式建模，固化运算顺序教师活动：结合学生优秀的图示，引导列式。“从大家的图里，我们很容易看出第一步先算什么？（一层有多少本：5×10=50本）第二步呢？（4层一共多少本：50×4=200本）”将分步算式板书。“谁能把这两个算式合并成一个综合算式？”引导学生写出5×10×4或4×5×10。提问：“这个综合算式里有两个乘号，应该先算哪个？为什么？”联系分步计算过程和生活实际（先算一层本数才合理），强调连乘从左往右的顺序。同时，介绍并板书“连乘”这一名称。学生活动：根据图示和教师的引导，口述分步计算的过程及每步意义。尝试列出综合算式，并讨论运算顺序。通过对比不同列式（如5×10×4和4×5×10），结合图示理解它们虽顺序不同，但基于乘法交换律和结合律，结果相同，本质模型一致。即时评价标准：1.算理表述的准确性：能否清晰说出每一步算式计算的是什么实际数量。2.模型抽象的准确性：能否正确列出连乘综合算式，并理解其运算顺序的规定性。形成知识、思维、方法清单：★5.连乘运算顺序：在连乘算式中，运算顺序是从左往右依次计算。这个顺序是由实际问题解决的逻辑顺序决定的。★6.连乘模型：连乘问题的一般模型可以概括为“每份数×份数×份数”，但关键在于理解这里的“每份数”和“份数”是分层级的，需要根据具体情境确定计算的先后层次。任务四：策略应用，尝试自主建模教师活动：呈现新情境：“学校举行队列表演，三年级有2个班，每班站4列，每列12人。三年级一共有多少人参加表演？”“请大家用刚才学到的方法，先自己思考，可以画图，再列式解答。做完后和同桌交流一下你的思路。”巡视，重点关注学习有困难的学生，提醒他们“先想清楚要先求什么”。学生活动：学生独立审题、分析，尝试画图（可能画班级、队列、小人）并列式解答（如先算一个班人数：4×12=48人，再算两个班：48×2=96人；或先算总列数：2×4=8列，再算总人数：8×12=96人）。完成后与同桌互相讲解自己的解题步骤和图示。即时评价标准：1.策略迁移的独立性：能否在不依赖教师逐步引导的情况下，自主运用“分析信息—画图辅助—分步列式”的策略解决新问题。2.思路表达的流畅性：能否向同伴清晰地讲解自己的解题思路，包括先求什么、再求什么。形成知识、思维、方法清单：▲7.一题多解：同一个连乘问题，可能因为观察和分析的角度不同，找到不同的“中间问题”，从而产生不同的解题路径。例如队列问题，可以先求“每班人数”，也可以先求“总列数”。这体现了思维的灵活性。（教师互动语言：“我发现有的同学是先算一个班有多少人，有的同学是先算一共有多少列，两种方法都通向正确答案，就像从不同的路爬上同一座山，真有趣！说说看，你们是怎么想到的？”）任务五：对比归纳，升华模型认知教师活动：组织学生对比“书架问题”和“队列问题”的解答过程。提问：“这两个问题看上去不一样，一个算书，一个算人，但它们的解决方法有什么共同点？”引导学生发现：都是通过两步乘法解决；都需要先找出一个“隐藏”的中间问题；都可以用连乘算式表示。进一步抽象：“谁能用一个简单的‘样子’来表示这类问题的结构？”学生可能说“几个几的几倍”或“一份一份又一份”。教师总结并板书核心思维模型：“发现信息关系→确定中间问题→分步列式解决→可以用连乘计算”。学生活动：在教师引导下，比较两个问题的异同，聚焦于解题思路和模型结构的一致性。尝试用自己语言概括解决连乘问题的“套路”或“秘诀”。参与构建板书上的思维模型，加深对问题解决一般方法的理解。即时评价标准：1.模型概括的抽象性：能否超越具体情境，发现两类问题在数学结构上的共性。2.方法提炼的准确性：能否较为准确地说出解决连乘问题的关键步骤或核心思想。形成知识、思维、方法清单：★8.结构化思维：将具体问题归类，找到共通的解决模式，是数学学习的重要能力。连乘问题教会我们面对复杂情境时，要将其分解为几个简单的、可操作的步骤。（教师总结性语言：“看，我们通过两个实际问题，不光学会了算，更找到了一把‘金钥匙’——那就是遇到多步问题时，学会寻找那个承上启下的‘中间问题’。掌握了这个方法，以后很多类似问题都难不倒你们了。”）第三、当堂巩固训练设计核心：构建分层、变式训练体系，并提供即时反馈。1.基础层（直接应用模型）：1.2.题目：“一箱饮料有6瓶，每瓶售价3元。超市今天卖出了5箱，一共卖了多少钱？”（要求画出示意图并列式解答）2.3.反馈：投影展示学生不同的图示（如画5个箱子，每个箱子里标6瓶，每瓶标3元），重点讲评每一步算式的实际意义。（口语化点评：“这位同学把‘箱’‘瓶’‘元’画得清清楚楚，让计算步骤一目了然，很棒！”）4.综合层（在新情境中迁移）：1.5.题目：“小明的相册有8页，每页可以插4张照片。他现在有160张照片，能插满几本这样的相册？”（此题需要先求一本相册容量，再用除法，是乘除混合的简单变式，旨在打破思维定势）2.6.反馈：小组讨论后汇报。关键辨析：这个问题还是连乘吗？第一步算什么？为什么最后用除法？通过对比，强调审题的重要性，明确模型的应用条件。7.挑战层（开放探究）：1.8.题目：“请你根据‘每天读6页书，读了4个星期’这两个信息，提出一个用连乘解决的数学问题，并解答。”（提示：需要补充哪个信息？）2.9.反馈：展示学生提出的不同问题（如“每个星期读7天，一共读了多少页？”或“每页大约有200个字，一共读了多少个字？”）。评价重点在于问题的合理性与完整性，鼓励创造性思考。（激励性语言：“你补充了‘每星期7天’这个信息，让问题变得完整且能连乘解决，真有侦探补充线索的智慧！”）第四、课堂小结设计核心：引导学生进行结构化总结与元认知反思。“同学们，这节课的‘数学小管家’之旅即将结束，我们来盘点一下收获。请大家闭上眼睛想一想，或者看着黑板，然后用‘我学会了…’、‘我明白了…’或者‘我发现…’开头，说一句话来总结这节课。”学生自由发言，可能涉及知识、方法或感受。教师根据学生发言，用思维导图形式在黑板上进行结构化梳理，核心枝干为：“连乘问题解决路径：1.审清题意，找全信息；2.分析关系，确定‘先求什么’（中间问题）；3.借助画图，理清步骤；4.列式计算（分步或综合），不忘检验。”“作业布置：今天的作业是‘自助餐’式的。必做部分（基础餐）：完成练习册上对应的基础计算和应用题。选做部分（营养餐）：1.找一找生活中还有哪些情况可以用连乘解决，记录下来并讲给家人听；2.（挑战）尝试编写一道连乘问题考考你的同桌。下节课，我们可能会请同学来分享你的发现和编写的问题哦！”六、作业设计基础性作业（必做）：1.计算：15×4×2，5×7×8，12×3×5。2.解决问题：一个小区有3栋楼，每栋楼有5个单元，每个单元住12户人家。这个小区一共住了多少户人家？（要求用两种方法列式解答）拓展性作业（选做，鼓励大多数学生尝试）：3.情境调查：请你当一次家庭“小调查员”，调查家中某种物品的“连乘”信息。例如：一袋大米有多少千克？家里有几袋？估算一下这些大米够全家吃多少天？（记录信息，并尝试提出一个连乘问题）4.错题分析：小明在解决“每个乒乓球2元，每盒有6个，买了4盒”这个问题时，列式为2×4=8（元），8×6=48（元）。他的解答对吗？如果不对，问题出在哪里？请画出正确的图示并解答。探究性/创造性作业（选做，供学有余力学生挑战）：5.创意设计：请你为班级的“图书角”设计一个简单的“图书推荐卡”发放方案。需要考虑：如果制作一种推荐卡，每张卡片推荐1本书，每本书制作5张卡片分给不同小组，班级一共想推荐8本书。你需要准备多少张卡片？请用图示和算式说明你的方案。你还能想到其他需要考虑的因素吗？七、本节知识清单及拓展★1.连乘的意义：连乘是指在一个算式中连续进行两次或两次以上的乘法运算。它通常用来解决涉及多个层次、每份数相同且需要连续累积的实际问题。★2.连乘的运算顺序：在没有括号的连乘算式里，要按照从左到右的顺序依次计算。这个顺序保证了计算步骤与实际问题的逻辑步骤一致。★3.中间问题（隐藏问题）：在两步计算的应用题中，不能直接从条件得到答案，需要先求出的那个问题叫作中间问题。找到它是解决连乘问题的关键。例如，算总人数时，可能需要先算出一个小组的人数。▲4.解决问题的步骤（针对两步问题）：审：仔细读题，找出已知条件和所求问题。析：分析数量关系，确定先求什么（中间问题），再求什么。解：列式计算（可以分步，也可以列综合算式）。验：检查计算是否正确，答案是否合理。★5.画图策略：用长方形图、圆圈图、点子图等直观方式表示题目中的数量和关系，可以帮助我们清晰地理解题意，特别是理解多个数量之间的层次关系。（提示：画图时，尽量让图形对齐，并标上数据，这样更一目了然。）★6.连乘的基本数量关系：总数量=每份数×份数×份数。注意，这里的“每份数”和“份数”可能根据分析角度的不同而发生变化。▲7.一题多解：有些连乘问题，由于选取的“中间问题”不同，可能会有不同的解题路径。例如，计算方阵总人数，可以先算一行，再算所有行；也可以先算一列，再算所有列。这体现了数学思维的灵活性，多种方法可以互相验证。▲8.易错点提醒：盲目列式：不分析关系，直接将所有数字乘起来。对策：养成先问“先求什么”的习惯。顺序错误：在列综合算式时，运算顺序与实际思考步骤不符。对策：先写分步算式，再合并，并思考每一步的意义。单位错误：分步计算时，中间结果的单位容易写错或遗漏。对策：每一步算式后都想想求得的是什么，并写上相应单位。▲9.与后续知识的联系：熟练解决连乘问题，是学习连除、乘除混合问题以及“归一问题”、“归总问题”的重要基础。其核心分析思路——寻找中间问题、理清数量关系——是贯通的。▲10.生活应用举例：计算包装总量：如“一箱有8盒，一盒有10支，5箱共有多少支笔？”计算面积铺垫：如“一块地砖面积是4平方分米，一条走廊铺了20行，每行铺15块，走廊面积是多少？”（为长方形面积计算做感性铺垫）规划资源：如“每人每天节约2升水，一个小组有6人，一周（7天）可以节约多少升水？”八、教学反思（一）教学目标达成度分析本课预设的核心目标是引导学生理解连乘问题的数量关系并掌握分析解决方法。从“当堂巩固训练”的反馈来看，基础层题目全班正确率约92%，综合层题目正确率约78%，说明大多数学生已能掌握模型的基本应用。挑战层中，约有三分之一的学生能提出合理的连乘问题，体现了较好的迁移与创造能力。学生在小结时能用“要先找一个隐藏的问题”、“画图很有用”等语言进行概括，表明其在元认知层面有所收获。情感目标方面，课堂观察可见学生（尤其是通过画图成功解决问题后）参与积极，小组讨论时有倾听有补充，氛围良好。总体而言，知识、能力、思维目标达成度较高，素养导向在核心探究环节得到了体现。（二）教学环节有效性评估1.导入环节：“图书馆书架”情境贴近校园生活，有效激发了兴趣。预设的认知冲突（直接说出答案与需要解释过程）成功将课堂焦点引向对“过程”和“道理”的探究，而非仅仅答案本身。（内心独白：这个“小陷阱”设得不错，让“理解过程”的必要性不言自明。）2.新授环节——任务链设计：五个任务由浅入深，形成了有效的认知阶梯。任务一（分解信息）和任务二（多元表征）是突破难点的关键。巡视中发现，部分学生在独立画图时确有困难，但通过小组交流和展示不同画法，他们大多能理解并模仿。任务四（策略应用）是重要的“放手”环节，大部分学生能独立完成，证明了前面“脚手架”的有效性。任务五（对比归纳）将学习推向高潮，学生能发现不同问题的共性，这是思维从具体到抽象的重要飞跃。（反思：任务二展示的几种图示，是否应提前准备一些范例图片，以备有小组完全无法画出时提供最低限度支持？）3.巩固与小结环节：分层练习满足了不同学生的需求。综合层的变式题（乘除混合）引发了有价值的讨论，有效防止了思维定势。挑战层的开放题虽然只有部分学生完成，但展示了可能性，激励了学优生。学生自主小结结合教师结构化板书，较好地实现了知识的内化与整合。（三）对不同层次学生的深度剖析1.基础薄弱学生：他们在“任务一”用语言描述数量关系时表现出困难，表达模糊。但在“任务二”有了画图这个抓手后，参与度明显提升。他们的图示可能简陋，但能基本反映关系。在巩固环节，他们能较好地完成基础层题目，但在综合层需要教师或同伴的个别提示。支持策略有效性：提供图示模板、鼓励用实物比划、安排与耐心同伴同组，这些措施起到了积极作用。2.中等水平学生：他们是课堂的“主力军”，能较快理解各环节要求，能画出较清晰的图，并能用一种方法正确解题。他们的提升点在于任务四中尝试第二种解法的意愿不强，在任务五的概括环节需要教师引导才能触及模型本质。（观察：如何激发这部分学生的发散思维和深