2025年结构力学试卷参考答案

2025年结构力学试卷参考答案一、静定结构内力计算1.简支梁AB跨度6m，左端A为铰支座，右端B为滚轴支座，梁上作用：AC段（C为跨中，距A3m）受均布荷载q=4kN/m，C点受集中力F=12kN（向下）。要求：（1）计算支座反力；（2）绘制剪力图（FQ图）和弯矩图（M图）。（1）支座反力计算：取梁整体为研究对象，列平衡方程：ΣMA=0：RB×6q×3×1.5（均布荷载对A点力矩）F×3（集中力对A点力矩）=0代入数据：RB×64×3×1.512×3=0→RB×6=18+36=54→RB=9kN（向上）。ΣFy=0：RA+RBq×3F=0→RA=4×3+12-9=12+12-9=15kN（向上）。（2）剪力图绘制：分段计算控制截面剪力：AC段（0≤x≤3m）：FQ(x)=RAqx=154x。x=0时，FQ=15kN；x=3m时，FQ=15-4×3=3kN（正值，剪力使隔离体顺时针转动）。CB段（3m≤x≤6m）：FQ(x)=RAq×3F=15-12-12=-9kN（集中力作用处剪力突变，突变值为F=12kN，故x=3m右侧FQ=3-12=-9kN）；x=6m时，FQ=RB=-9kN（负值，剪力使隔离体逆时针转动）。FQ图特征：AC段为斜直线（斜率-4kN/m），CB段为水平线（FQ=-9kN），集中力作用点（x=3m）处剪力突变12kN（由3kN降至-9kN）。（3）弯矩图绘制：分段计算控制截面弯矩：AC段（0≤x≤3m）：M(x)=RA×xq×x²/2=15x2x²。x=0时，M=0；x=3m时，M=15×32×9=45-18=27kN·m（受拉侧在下侧）。CB段（3m≤x≤6m）：M(x)=RA×xq×3×(x-1.5)F×(x-3)=15x12(x-1.5)12(x-3)=15x-12x+18-12x+36=-9x+54。x=3m时，M=-27+54=27kN·m（连续）；x=6m时，M=-54+54=0。M图特征：AC段为抛物线（开口向下，顶点在x=15/(2×2)=3.75m？不，AC段仅到x=3m，故顶点在x=3m处），CB段为斜直线（斜率-9kN·m/m），跨中C点（x=3m）弯矩最大为27kN·m。二、力法分析一次超静定刚架刚架ABC如图所示（A为固定端，B为刚结点，C为铰支座，AB竖直长4m，BC水平长4m），各杆EI相同，受均布荷载q=10kN/m作用于BC杆（向下）。要求：（1）确定力法基本体系；（2）建立力法方程并求解多余未知力；（3）绘制最终弯矩图。（1）基本体系选择：原结构为一次超静定（固定端A提供3个约束，铰支座C提供1个约束，刚架有3个结点，自由度=3×3(3+1)=5，超静定次数=3+1(3×23)=1？更简单方法：原结构有1个多余约束，选择去掉C点的水平约束（假设C为滚轴支座，实际应为水平链杆），或去掉C点的竖向约束（假设C为铰支座，多余约束为竖向反力）。此处假设C为铰支座（提供竖向约束），原结构为一次超静定，基本体系为将C点改为滚轴支座（仅保留水平约束），多余未知力X1为C点竖向反力（向上为正）。（2）力法方程：δ11X1+Δ1P=0，其中δ11为基本体系在X1=1作用下C点的竖向位移，Δ1P为基本体系在均布荷载作用下C点的竖向位移。计算δ11：基本体系为A固定、B刚接、C滚轴支座的刚架。在X1=1作用下，BC杆弯矩M1(x)=x（x为BC杆从B到C的坐标，0≤x≤4m），AB杆弯矩M1(y)=0（因X1=1为竖向力，AB杆无水平力，故弯矩为0）。δ11=∫(M1²)/(EI)ds=∫BC段M1²/EIdx+∫AB段M1²/EIdy=∫0到4(x²)/EIdx+0=(4³)/(3EI)=64/(3EI)。计算Δ1P：基本体系在BC杆均布荷载q=10kN/m作用下，BC杆弯矩MP(x)=-qx²/2=-5x²（下侧受拉），AB杆弯矩MP(y)=0（无水平荷载）。Δ1P=∫(M1×MP)/EIds=∫BC段x×(-5x²)/EIdx=-5∫0到4x³/EIdx=-5×(4⁴)/4EI=-5×256/4EI=-320/EI（负号表示位移向下，与X1方向相反）。代入力法方程：(64/(3EI))X1320/EI=0→X1=320×3/64=15kN（向上）。（3）最终弯矩图：M=M1×X1+MP=15x-5x²（BC杆），AB杆弯矩M=0（因X1=1时AB杆无弯矩，均布荷载也无AB杆弯矩）。BC杆弯矩：x=0（B点）时，M=0-0=0；x=4m（C点）时，M=15×4-5×16=60-80=-20kN·m（上侧受拉）；跨中x=2m时，M=30-20=10kN·m（下侧受拉）。AB杆弯矩始终为0。三、位移法分析有侧移刚架刚架ABCD如图（A、D为固定端，B、C为刚结点，AB=CD=3m，BC=6m，各杆EI相同），受水平荷载F=20kN作用于B点（向右）。要求：（1）确定位移法基本未知量；（2）建立位移法方程；（3）求解结点位移并绘制弯矩图。（1）基本未知量：结点B、C的角位移Z1、Z2（顺时针为正），以及结点B、C的水平侧移Δ（向右为正，因AB、CD为竖杆，BC为横杆，侧移时B、C水平位移相同）。（2）位移法方程：需考虑各杆的杆端弯矩与结点位移的关系，以及结点平衡条件。各杆线刚度：iAB=iCD=EI/3，iBC=EI/6。竖杆AB（下端A固定，上端B有水平侧移Δ和角位移Z1）：杆端弯矩MBA=4iABZ16iABΔ/3=4×(EI/3)Z12EIΔ/3；杆端弯矩MAB=2iABZ16iABΔ/3=2×(EI/3)Z12EIΔ/3（固定端A的弯矩）。竖杆CD（下端D固定，上端C有水平侧移Δ和角位移Z2）：杆端弯矩MCD=4iCDZ2+6iCDΔ/3=4×(EI/3)Z2+2EIΔ/3；杆端弯矩MDC=2iCDZ2+6iCDΔ/3=2×(EI/3)Z2+2EIΔ/3（固定端D的弯矩）。横杆BC（两端B、C有角位移Z1、Z2，无侧移）：杆端弯矩MBC=4iBCZ1+2iBCZ2=4×(EI/6)Z1+2×(EI/6)Z2=(2EI/3)Z1+(EI/3)Z2；杆端弯矩MCB=2iBCZ1+4iBCZ2=(EI/3)Z1+(2EI/3)Z2。结点B的力矩平衡（ΣMB=0）：MBA+MBC=0→[4EI/3Z12EIΔ/3]+[2EI/3Z1+EI/3Z2]=0→6EI/3Z1+EI/3Z22EIΔ/3=0→2Z1+(Z2)/3(2Δ)/3=0（方程1）。结点C的力矩平衡（ΣMC=0）：MCB+MCD=0→[EI/3Z1+2EI/3Z2]+[4EI/3Z2+2EIΔ/3]=0→EI/3Z1+6EI/3Z2+2EIΔ/3=0→Z1+6Z2+2Δ=0（方程2）。水平方向平衡（ΣFx=0）：AB杆剪力FQAB=(MBA+MAB)/3=[(4EI/3Z12EIΔ/3)+(2EI/3Z12EIΔ/3)]/3=(6EI/3Z14EIΔ/3)/3=(2EIZ14EIΔ/3)/3；CD杆剪力FQCD=(MCD+MDC)/3=[(4EI/3Z2+2EIΔ/3)+(2EI/3Z2+2EIΔ/3)]/3=(6EI/3Z2+4EIΔ/3)/3=(2EIZ2+4EIΔ/3)/3；水平荷载F=20kN向右，故FQAB（向左）+FQCD（向左）=F→(2EIZ14EIΔ/3)/3+(2EIZ2+4EIΔ/3)/3=20→(2EIZ1+2EIZ2)/3=20→Z1+Z2=30/EI（方程3）。（3）联立方程1、2、3（令EI=1简化计算）：方程1：2Z1+Z2/32Δ/3=0→6Z1+Z22Δ=0；方程2：Z1+6Z2+2Δ=0；方程3：Z1+Z2=30。将方程1+方程2：7Z1+7Z2=0→Z1+Z2=0，但方程3为Z1+Z2=30，矛盾，说明假设侧移方向或剪力符号有误。修正剪力方向：AB杆剪力FQAB=(MABMBA)/3（因固定端A弯矩MAB与B端弯矩MBA使杆产生剪力，正确公式为FQAB=(MABMBA)/L，L=3m），故FQAB=((2EI/3Z12EIΔ/3)(4EI/3Z12EIΔ/3))/3=(-2EI/3Z1)/3=-2EIZ1/9（向左）；CD杆剪力FQCD=(MDCMCD)/3=((2EI/3Z2+2EIΔ/3)(4EI/3Z2+2EIΔ/3))/3=(-2EI/3Z2)/3=-2EIZ2/9（向左）；水平平衡：FQAB+FQCD+F=0（F向右，剪力向左，故-2EIZ1/9-2EIZ2/9+20=0→Z1+Z2=90/EI（方程3修正）。重新联立方程（EI=1）：方程1：6Z1+Z22Δ=0；方程2：Z1+6Z2+2Δ=0；方程3：Z1+Z2=90。方程1+方程2：7Z1+7Z2=0→Z1+Z2=0，仍矛盾，说明侧移Δ的影响需重新考虑。正确方法是使用剪力与侧移的关系：竖杆AB的剪力FQAB=(12iAB/L²)Δ+(6iAB/L)(Z1)（根据位移法杆端剪力公式），其中iAB=EI/3，L=3m，故FQAB=(12×(EI/3))/9Δ+(6×(EI/3))/3Z1=(4EI/9)Δ+(2EI/3)Z1；同理FQCD=(4EI/9)Δ+(2EI/3)Z2（因CD杆与AB杆对称，Z2为C点角位移）。水平平衡：FQAB+FQCD=F→(-4EI/9Δ+2EI/3Z1)+(-4EI/9Δ+2EI/3Z2)=20→-8EI/9Δ+2EI/3(Z1+Z2)=20（方程3）。结点B力矩平衡：MBA+MBC=0，其中MBA=4iABZ16iABΔ/L=4×(EI/3)Z16×(EI/3)Δ/3=(4EI/3)Z1(2EI/3)Δ；MBC=4iBCZ1+2iBCZ2=4×(EI/6)Z1+2×(EI/6)Z2=(2EI/3)Z1+(EI/3)Z2。故平衡方程：(4EI/3Z12EI/3Δ)+(2EI/3Z1+EI/3Z2)=0→6EI/3Z1+EI/3Z22EI/3Δ=0→2Z1+Z2/32Δ/3=0（方程1）。结点C力矩平衡：MCB+MCD=0，MCB=2iBCZ1+4iBCZ2=(EI/3)Z1+(2EI/3)Z2；MCD=4iCDZ26iCDΔ/L=(4EI/3)Z2(2EI/3)Δ（CD杆侧移Δ与AB杆同向，故符号相同）。平衡方程：(EI/3Z1+2EI/3Z2)+(4EI/3Z22EI/3Δ)=0→EI/3Z1+6EI/3Z22EI/3Δ=0→Z1+6Z22Δ=0（方程2）。联立方程1（×3）：6Z1+Z22Δ=0；方程2：Z1+6Z22Δ=0；方程3：-8Δ/9+2(Z1+Z2)/3=20/EI（设EI=1）。由方程1-方程2：5Z1-5Z2=0→Z1=Z2。代入方程1：6Z1+Z1-2Δ=0→7Z1=2Δ→Δ=3.5Z1。代入方程3：-8×3.5Z1/9+2×2Z1/3=20→-28Z1/9+4Z1/3=20→-28Z1/9+12Z1/9=20→-16Z1/9=20→Z1=-20×9/16=-11.25（负号表示角位移逆时针），Z2=Z1=-11.25，Δ=3.5×(-11.25)=-39.375（负号表示侧移向左）。各杆端弯矩：MBA=4×(EI/3)×(-11.25)-2×(EI/3)×(-39.375)=(-45EI/3)+(78.75EI/3)=(33.75EI)/3=11.25EI；MBC=2×(EI/3)×(-11.25)+(EI/3)×(-11.25)=(-22.5EI/3)-11.25EI/3=-33.75EI/3=-11.25EI；MCB=(EI/3)×(-11.25)+2×(EI/3)×(-11.25)=-11.25EI/3-22.5EI/3=-33.75EI/3=-11.25EI；MCD=4×(EI/3)×(-11.25)-2×(EI/3)×(-39.375)=(-45EI/3)+(78.75EI/3)=33.75EI/3=11.25EI。弯矩图：AB杆B端弯矩11.25EI（左侧受拉），A端弯矩MAB=2×(EI/3)×(-11.25)-2×(EI/3)×(-39.375)=(-22.5EI/3)+(78.75EI/3)=56.25EI/3=18.75EI（左侧受拉）；CD杆C端弯矩11.25EI（右侧受拉），D端弯矩MDC=2×(EI/3)×(-11.25)-2×(EI/3)×(-39.375)=18.75EI（右侧受拉）；BC杆两端弯矩均为-11.25EI（上侧受拉）。四、影响线绘制与应用简支梁AB跨度L=8m，求截面C（距A点3m）的弯矩影响线，并计算当汽车荷载（前轴重20kN，后轴重60kN，轴距4m）沿梁行驶时，C截面的最大弯矩。（1）弯矩影响线绘制（静力法）：设单位荷载P=1作用于梁上距A点x处（0≤x≤8m），求C截面弯矩MC的表达式。当0≤x≤3m时，支座反力RB=x/8（向上），MC=RB×(L-3)=x/8×5=5x/8；当3≤x≤8m时，支座反力RA=(8-x)/8（向上），MC=RA×3=3(8-x)/8=24/8-3x/8=3-3x/8。影响线形状：x=0时MC=0，x=3m时MC=5×3/8=15/8=1.875，x=8m时MC=0，左段（0≤x≤3m）为斜率5/8的直线，右段（3≤x≤8m）为斜率-3/8的直线，整体为三角形。（2）最大弯矩计算：汽车荷载为前轴F1=20kN（x1），后轴F2=60kN（x2=x1+4m）。需使MC最大，应将荷载布置在影响线正号区域（0≤x≤8m，影响线全为正），且较大荷载作用在影响线较高处。设前轴距A点x，则后轴距A点x+4m。MC=F1×MC(x1)+F2×MC(x2)=20×(5x/8)+60×[3-3(x+4)/8]（当x+4≥3，即x≥-1，总成立）。化简：MC=100x/8+60×(24-3x-12)/8=12.5x+60×(12-3x)/8=12.5x+(720-180x)/8=12.5x+90-22.5x=90-10x。求最大值需使MC最大，因x越小，MC越大，但后轴x+4≤8m（否则后轴超出梁右端），故x≤4m。当x=0时，前轴在A点，后轴在x=4m（≤8m），MC=20×0+60×(3-3×4/8)=60×(3-1.5)=60×1.5