素养拓展05 解三角形中面积、周长、边(角)的最值范围问题(思维导图+2知识点+四大考点+过关检测)(解析版)-2026《寒假自学课-高一数学》人教A

素养拓展05解三角形中面积、周长、边（角）的最值范围问题知识点1：三角形面积和周长的最值、范围问题（1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化周长（2）面积公式：（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r.）（3）求周长的模型：（4）基本不等式①②(当且仅当时取“=”号)（5）利用三角恒等变换转化为内角有关的三角函数。①和差角公式：，②辅助角公式：（其中）．（6）解题思路步骤①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用②利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值知识点2：解三角形中最值或范围问题常用处理思路①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.【题型一：有关面积的】1．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知的内角的对边分别为，的面积为，已知.(1)求；(2)若，求的面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角形面积公式及余弦定理，结合题中条件即可求解；（2）用余弦定理结合重要不等式可得，利用三角形面积公式即可求解.【详解】（1）由余弦定理可得，所以.由三角形面积公式可知及，可得，即.因为，所以.又，所以.（2）由（1）知.因为，所以由余弦定理可得.由不等式可得，所以，即，当且仅当时等号成立，有最大值为16.所以，所以的面积的最大值为.2．（24-25高一下·湖北荆门·期末）在中，内角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若的面积，求面积的最小值.【答案】(1).(2).【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出；（2）由三角形面积公式得到，再由余弦定理和基本不等式得到，求出三角形面积的最小值.【详解】（1）中，，由正弦定理得，即，故，又，则，即，又，可得；（2），则，由余弦定理得，即，即当且仅当时，等号成立，故面积的最小值为.3．如图，已知平面四边形中，，，.若四点共圆.(1)求；(2)求四边形面积的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）应用余弦定理有，结合四点共圆有，即可求；（2）由（1）得，应用三角形面积公式得且为四边形面积，两式作平方相加、应用和角余弦公式得，即可求最值.【详解】（1）在中，在中，因为四点共圆，所以，则，上述两式相加得，所以（负值舍）.（2）由（1）得，化简得，则，①四边形的面积，整理得，则，②①②相加得，即，由于，当且仅当时，取得最小值，此时四边形的面积最大，由，解得，故四边形面积的最大值为.4．（24-25高一下·云南红河·期中）在锐角中，内角的对边分别为且.(1)求角；(2)求的面积的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理化简得，再由正弦定理即可求解；（2）由正弦定理得，又由三角形的面积公式和三角恒等变换得，最后由是锐角三角形得的范围，进而得解.【详解】（1）因为，所以，又为锐角三角形，即，所以，由正弦定理，所以，因为，所以，又因为为锐角，所以；（2）由正弦定理有，所以，所以的面积，因为是锐角，所以，即解得，所以，所以，所以，则的面积的取值范围为.5．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．(1)若，求a；(2)若为钝角三角形，求面积的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由二倍角公式化简得到，从而求出，由余弦定理得到；（2）由正弦定理，结合为钝角三角形，得到，从而由三角形面积公式求出.【详解】（1）因为，所以，即．因为，，所以，，．，解得；（2）的面积．由正弦定理得，因为为钝角三角形，所以或，即或，故，所以，所以．故面积的取值范围是．【题型二：有关周长的】1．（23-24高一下·广东惠州·期中）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若__________.(1)求角B；(2)若，求周长的最小值.【答案】(1).(2)6【分析】（1）分别选三个条件，结合三角恒等变换，以及边角互化，化简后即可求解；（2）由余弦定理可得，利用基本不等式可求出的最小值，即可求出周长最小值，再利用面积公式求出面积【详解】（1）选①，由正弦定理可得，即得，即有，由于，可得，即.选②，由正弦定理可得，因为，，所以，即.由于，可得.选③，由正弦定理和诱导公式可得，即为，由余弦定理可得.由于，可得.（2）由（1）知，由余弦定理可得，即为，而，即.若，则，可得（当且仅当时取得等号），则，所以周长的最小值为6.2．（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，已知.(1)求角的大小；(2)若，当的周长取最大值时，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理得到，再根据倍角公式得，进而得到；（2）根据余弦定理得，再利用均值不等式得，当且仅当时取等号，此时周长最大，再由面积公式求得此时的面积.【详解】（1）因为，由正弦定理得，因为，所以，又因为，且，所以，又因为，，所以，即.（2）在中，由余弦定理，得，即，所以，当且仅当时取等号，所以周长的最大值为，此时面积.3．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知分别为三个内角的对边，且，且(1)求；(2)若的面积为，求(3)求周长的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由正弦定理边化角，化简已知关系式可求；（2）由面积公式及余弦定理可得和，从而求出；（3）方法一，边化角求范围，进而得周长范围；方法二，由基本不等式及余弦定理求出，由三角形性质得，从而求得周长范围.【小题1】由正弦定理得其中，故，因为，所以，故，即，所以，因为，所以，故，解得；【小题2】由（1）知，则，所以，由余弦定理，，又，则，解得，所以；【小题3】（方法一）因为，由正弦定理，得又因为，所以所以又因为，所以所以，所以即，所以所以三角形的周长的取值范围.（方法二）因为，由余弦定理，得，即，又，当且仅当时等号成立.所以，即，所以，又因为，所以，所以，所以三角形的周长的取值范围为.4．（24-25高一下·广东湛江·月考）记锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，已知．(1)求角A；(2)若，求三角形周长的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据面积公式，余弦定理，结合两角差的正弦公式，化简可得，根据角A的范围，即可得答案.（2）根据正弦定理，可得，化简可得，根据锐角三角形，可求得角B的范围，根据正弦型函数的图象与性质，即可得答案.【详解】（1）由面积公式得，即，由余弦定理得，所以，则，所以，即，因为，则，所以，即（2）由正弦定理得，所以，所以，因为为锐角三角形，所以，解得，所以，所以，则，所以三角形周长为5．（24-25高一下·上海静安·期末）在中，角对应的边分别为，已知，为中点，．(1)证明为等腰三角形；(2)若，求周长的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由正弦定理和三角函数的基本关系式，化简得到，求得，得到，即可证得为等腰三角形；（2）设的周长为，由（1）知，由题意得到，且，化简得到，结合正切函数的性质，即可求解.【详解】（1）解：在中，由正弦定理，可得，又由，可得，整理得，所以，可得，即，因为，可得，所以，即，可得，所以为等腰三角形.（2）解：设的周长为，由（1）知：，因为为等腰三角形，为的中点，可得，则，且，所以，因为，所以，由正切函数的性质，可得，所以当时，即时，的周长取得最小值，最小值为.【题型三：有关边的】1．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）记的内角的对边分别为，已知．(1)若，求的大小；(2)若的外接圆半径为2，试确定的关系式，并求的最大值．【答案】(1)(2)，最大值为【分析】（1）根据余弦的和角公式可得，即可代入求解，（2）根据诱导公式可得，即可利用正弦定理边角互化，结合二倍角公式以及二次函数的性质即可求解最值.【详解】（1）由可得，即，进而得到，当可得，由于，故.（2）由可知为钝角，进而为锐角，故，因此，则，由正弦定理得，故当时，此时取最大值.2．（24-25高一下·海南·期末）在中，内角的对边分别为的面积为S，已知，且________在①，，且，②，③.这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）(1)求A；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）分别就三种情况，运用正弦定理和余弦定理，三角形内角和与和差角公式对已知等式进行合理变形，最后借助于角的范围，即可求得；（2）由正弦定理将边b，c分别用角C的三角函数式表示，代入所求式，化简得，再利用角的范围和正弦函数的图象，即得所求式的范围.【详解】（1）若选①，由得，，由正弦定理，，则，整理得，，因，则有，又，故；若选②，，因，代入得，，展开整理得，，即，因，则有，由正弦定理，，又因，故得，因为，所以；若选③，因为，所以，即，由余弦定理，得，，，在三角形中，则或（舍），故.（2）因为，则，因为，所以，所以.因为，所以，所以，所以.3．已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，.(1)求；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）借助向量平行的坐标运算计算并结合三角恒等变换公式化简后即可得；（2）借助正弦定理可得，再利用锐角三角形性质得到的范围即可得.【详解】（1）由，则有，即，由为锐角三角形，故、，故，则有，即，即；（2）由正弦定理可得，由为锐角三角形，故，解得，故，则，则.4．（24-25高一下·上海·期末）已知向量，设函数．(1)求函数的最小正周期：(2)若，且，求的值；(3)在锐角中，角的对边分别为，且，求的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）应用向量数量积的坐标运算、二倍角正余弦公式及辅助角公式得，进而求最小正周期；（2）由题设，结合已知及平方关系求；（3）由题设得、，再由已知及正弦定理得求目标式的范围.【详解】（1）由题设，所以最小正周期；（2）由（1）及已知，由，且，，所以，可得，所以，且，可得（负值舍）；（3）由题设，，可得，所以，则，由，可得，所以，由，可得，则，所以，故.5．（24-25高一下·天津河北·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若平面向量，其中，．(1)求角B的大小；(2)若，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算和正弦定理即可得到，再求解即可；（2）首先利用余弦定理和基本不等式得到，将转化为，再利用换元法求解即可.【详解】（1）因为，则，又，，所以，由正弦定理得，即，又A是内角，则，所以，即，又，所以；（2）由余弦定理得，即，所以（当且仅当时取等号），所以，又，所以，所以，令，，，则在上单调递增，所以，即，即，所以的最大值为.6．（24-25高一下·云南楚雄·月考）在锐角中，角所对的边分别为，且.(1)证明：；(2)若的平分线交于，，，求的值；(3)求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）由正弦定理得，由两角和与差的正弦公式可得，从而得到；（2）因为，所以由得，代入数值即可求得的值；（3）由是锐角三角形得，由正弦定理得，设，根据在上单调递增即可求得的取值范围.【详解】（1）证明：因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，所以，或（舍去），所以.（2）由（1）知，所以为锐角，因为，所以，因为，所以，所以，所以，即.（3）因为是锐角三角形，所以，解得，所以，由正弦定理得.令，则在上单调递增，而，所以，所以.7．（24-25高一下·安徽宿州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，D为边BC上一点，且．(1)求角A的大小；(2)若，且，求a的值；(3)若AD为角平分线，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)．【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换得到，从而求出；（2）先计算出，两边平方求出，又，联立两式解得，由余弦定理求出；（3）若AD为角平分线，则，在中，由正弦定理得到，，故，根据基本不等式求出最小值.【详解】（1）由已知，由正弦定理，可得，又因为，代入上式，化简得：，因为中，，所以，从而，故，因为，所以．（2）因为，所以，由（1）知，，所以，由已知，所以，即，又，联立两式解得，，由余弦定理，可得，即．（3）若AD为角平分线，则，在中，由正弦定理，得，即，所以，，所以即，又因为，所以，，从而，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．【题型四：有关角的】1．记内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求证：①；②；(2)求角的最大值．【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析(2)【分析】（1）（i）先化简原等式，然后由正弦定理得到，然后根据余弦定理进行化简即可.（ii）由（i）的结果利用正弦定理化简即可证明.（2）先根据余弦定理列出的表达式，然后利用基本不等式结合三角函数的性质求解即可.【详解】（1）（i）由，得，所以，由正弦定理得，

由余弦定理得，所以．（ii）由，得，

所以，

所以．（2）由（1）（i）的结论可得，在（1）（i）的证明中，已证得，由基本不等式可得，故，即（当且仅当时取等号），所以，因为，所以角的最大值为.2．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且.(1)求角的大小；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）应用同角三角函数关系计算化简，再结合正弦定理和余弦定理计算求解；（2）先应用诱导公式再应用两角和公式计算结合正弦函数值域求解.【详解】（1）因为，所以.所以.由正弦定理，得，即.因为，所以.（2）.因为为锐角三角形，且，所以，所以，所以，所以的取值范围为.3．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.(1)当时，求的内切圆的半径；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2).【分析】（1）应用正弦定理结合余弦定理计算得出角B，再应用面积计算内切圆半径；（2）应用余弦定理得出函数，再应用函数的单调性得出值域即可求解.【详解】（1）因为，，得，由及正弦定理得，由余弦定理得，又，故，设内切圆的半径为，则，解得.（2）由题意知，，在中，，由三角形的三边关系可得得，令，由对勾函数的性质可得当时单调递减，当时，单调递增，又，，，所以，所以的取值范围为.4．在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知.(1)证明：；(2)求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由正弦定理对题中条件进行整理，再结合三角形中的内角和化简整理即可得证.（2）由（1）及条件可得到的范围，再利用两角和差公式及二倍角公式化简整理已知式子，最后换元求解所求范围即可.【详解】（1）在中，由正弦定理可得：，

又因为，则，所以，化简整理得，则，

因为为锐角三角形，，，所以.（2）在锐角三角形中，由（1），得，所以由，可得，所以，令，所以上式，

在上单调递增，所以，即所以的取值范围为.1．的内角的对边分别为．(1)求；(2)若，求的周长最小值．【答案】(1)(2)9【分析】（1）首先利用正弦定理，边角互化，转化为边的关系，利用余弦定理求角的值；（2）根据（1）中等式结合基本不等式求周长的最小值.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理知，且，所以．（2）由（1）可知：，整理得，且，当且仅当时，等号成立，则，即，可得，所以的周长最小值.2．设锐角的内角所对边分别为，且(1)若的面积为，求的周长；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由结合两角和差正弦化简可得，再根据余弦定理及三角形面积公式计算即可求解；（2）记，利用辅助角公式结合正弦型函数性质计算即可求解.【详解】（1）因为，所以，所以，则，即，因为为锐角三角形，所以，得，所以，因为，所以，由余弦定理可得，即，所以，所以，即的周长为；（2）记由（1）知，，其中，此时，因为，所以，综上，的取值范围是.3．（24-25高一下·安徽淮南·月考）在中，角、、的对边分别为、、，已知．(1)求角的大小；(2)若的角平分线交于点，且，求面积的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）利用等面积法结合、可得出，利用基本不等式可求得的最小值，结合三角形的面积公式可求得面积的最小值.【详解】（1）因为，所以，所以，由于，则，所以，即，又，所以.（2）因为的角平分线交于点，且，，根据三角形面积公式可得，又，得，得，当时等号成立，所以，即的面积最小值为．4．（2025高一·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，，．(1)求的面积的最大值；(2)求的周长的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）法一，利用余弦定理和基本不等式求出范围，再利用面积公式；法二，利用正弦定理以及辅助角公式化简，再求范围即可.（2）法一，利用余弦定理和基本不等式求出范围；法二，利用正弦定理以及辅助角公式化简，再求范围即可.【详解】（1）解法1：由余弦定理得，结合基本不等式得，所以，当且仅当时取等号，所以，即的面积的最大值为．解法2：由正弦定理有，得，．所以．因为在中，，所以，即，且，则，因为，则，所以，即，当且仅当时等号成立.所以，即的面积的最大值为．（2）解法1：由余弦定理得，则，结合基本不等式得，所以，当且仅当时取等号．又因为，所以，所以周长的取值范围为．解法2：由正弦定理有，得，，所以．因为在中，，所以，即，且，所以．又因为，则，所以，即．5．（24-25高一下·湖南娄底·期末）在中，角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若为锐角三角形，且边，求面积的取值范围【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简得到，从而得到；（2）方法一：由为锐角三角形，得到的范围，三角形面积公式表示出的面积，整理成关于的函数，根据的范围得到面积的范围；方法二：根据直角三角形的临界条件，得到为锐角三角形时面积的取值范围.【详解】（1）由正弦定理得，因为，所以，所以，因为，所以，，因为，所以；（2）方法一：因为是锐角三角形，又，所以，解得，，因为，∴，则，从而.方法二：若为锐角三角形，所以，因为，，所以，所以，又因为，所以.6．（24-25高一下·浙江·月考）已知是锐角三角形，分别是角的对边，且有0．若在线段上的点满足且．(1)求角的度数；(2)求证：；(3)求的取值范围．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用二倍角的正弦公式和两角和的余弦公式、诱导公式求解；（2）利用余弦定理证明；（3）利用正弦定理可得，再根据三角恒等变换公式可得，再根据正弦函数的性质即可求解范围.【详解】（1）因为，且，．所以，所以或，因为，所以或或．因为是锐角三角形，所以．（2）设，则,在中,由余弦定理可得，,即，即，在中,由余弦定理可得，,即，即，所以．即．（3）由（2）知：，即，由正弦定理可知，，所以，，，又．锐角三角形，，所以，即，所以的取值范围为．7．在中，角所对的边分别是，且满足(1)求角的大小；(2)若，求面积的最大值；(3)求的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可；（2）根据余弦定理结合基本不等式求得，利用三角形面积公式进行求解即可；（3）根据将式子化简成只关于角A的函数，然后利用换元的方法，结合二次函数性质求解值域即可．【详解】（1）由正弦定理得，即，因为，所以，所以，所以，又因为，所以.（2）由余弦定理得：，代入得：，根据基本不等式，得：，当且仅当时，等号成立，的面积为：，故面积的最大值为.（3）令，则，所以可化为：因为，由二次函数的图像性质得到，当时，原式大于，当时，原式取得最大值，故的取值范围为8．（24-25高一下·山东济宁·月考）已知函数，在上的最大值为3．(1)求的值及函数的最小正周期与单调递增区间；(2)若锐角中，角所对的边分别为a，b，c，且，求的取值范围．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）将原式化简为，由最大值为3，求出的值，从而确定的解析式，再求周期与单调递增区间即可；（2）由，得到，借助角表示出，由正弦定理把求的取值范围转化为求的取值范围，再根据角的范围求解即可.【详解】（1）.所以当时，取到最大值3，即，，所以，其最小正周期为．令，解得，所以函数的单调递增区间为；（2）由（1）知，由，可得，即，因为，所以，所以，即.因为，所以，由正弦定理可知，因为为锐角三角形，所以，即，所以，所以，所以，即，所以的取值范围为．9．（24-25高一下·贵州黔南·期末）在中，，再从下面两个条件中，选出一个作为已知条件，解答下面的问题．条件①：；条件②：．(1)若，求的面积；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）选①，由正弦定理和同角三角函数关系得到，故，由余弦定理得到，利用三角形面积公式进行求解；选②，由余弦定理求出，，由三角形面积公式求出答案；（2）解法一：由余弦定理和基本不等式得到，结合三角形的三边关系可知，从而求出的取值范围；解法二：由正弦定理得到，结合三角恒等变换得到，结合，求出，得到答案.【详解】（1）选条件①：由正弦定理，得．因为，所以，所以，得．因为，所以．在中，当时，由余弦定理，得，即，所以，所以．选条件②：因为，整理得．由余弦定理，得．因为，所以．在中，当时，由余弦定理，得，即，所以，所以．（2）解法一：由题设及（1）可知．由余弦定理，得，化简得．又，所以，解得，当且仅当时等号成立，由三角形的三边关系可知，所以，即的取值范围为．解法二：由题设及（1）可知．由正弦定理，得，所以，得，因为，则，所以，故，所以，即的取值范围为．10．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)求证：；(2)若为锐角三角形，D为AB中点，.（i）求的取值范围；（ii）求CD的取值范围.【答案】(1)证明过程见解析(2)（i）（ii）【分析】（1）由正弦定理、三角恒等变换即可得证；（2）（i）由三角形是锐角三角形求得的范围可得的范围；（ii）首先得，其次根据正弦定理将表示成的函数，结合的范围即可得解.【详解】（1）因为，所以，所以，而，，从而，所以或（舍去），所以；（2）（i）因为为锐角三角形，所以，解得，所以的取值范围为；（ii）由已知，，而，从而，由正弦定理有，