河南省林州市林虑中学2026届高一下数学期末预测试题含解析

河南省林州市林虑中学2026届高一下数学期末预测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，则=（）A． B． C． D．2．已知实数，，，则（）A． B． C． D．3．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值加可表示成（）A． B． C． D．4．一条直线经过点，并且它的倾斜角等于直线倾斜角的2倍，则这条直线的方程是()A． B．C． D．5．过点A(3，3)且垂直于直线的直线方程为A． B． C． D．6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域为（）A． B． C． D．7．已知数列满足递推关系，则（）A． B． C． D．8．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则9．已知圆内接四边形ABCD各边的长度分别为AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，则AC的长为（）A．6 B．7 C．8 D．910．米勒问题，是指德国数学家米勒1471年向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大？）米勒问题的数学模型如下：如图，设是锐角的一边上的两定点，点是边边上的一动点，则当且仅当的外接圆与边相切时，最大．若，点在轴上，则当最大时，点的坐标为（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设不等式组所表示的平面区域为D.若直线与D有公共点，则实数a的取值范围是_____________.12．在中，角、、所对的边为、、，若，，，则角________．13．已知数列是等差数列，若，，则________．14．数列通项公式，前项和为，则________.15．已知三棱锥外接球的表面积为，面，则该三棱锥体积的最大值为____。16．等腰直角中，，CD是AB边上的高，E是AC边的中点，现将沿CD翻折成直二面角，则异面直线DE与AB所成角的大小为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）已知数列的前项和，，求数列，的前项和.18．如图，在中，，，点在边上，且，.（1）求；（2）求的长.19．如图，边长为2的正方形中.（1）点是的中点，点是的中点，将、分别沿，折起，使，两点重合于点，求证：；（2）当时，将、分别沿，折起，使，两点重合于点，求三棱锥的体积.20．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.21．已知点，，动点满足，记M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过坐标原点O的直线l交C于P、Q两点，点P在第一象限，轴，垂足为H．连结QH并延长交C于点R．（i）设O到直线QH的距离为d．求d的取值范围;（ii）求面积的最大值及此时直线l的方程．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】由得：，所以，故选D.2、C【解析】

先得出，，，然后利用在上的单调性即可比较出的大小.【详解】因为所以，，因为且在上单调递增所以故选：C【点睛】利用函数单调性比较函数值大小的时候，应将自变量转化到同一个单调区间内.3、C【解析】

设圆的半径为，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，问题得解.【详解】设圆的半径为，将内接正边形分成个小三角形，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，整理得：，此时，即：同理，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，整理得：此时所以故选C【点睛】本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题．4、B【解析】

先求出直线的倾斜角，进而得出所求直线的倾斜角和斜率，再根据点斜式写直线的方程.【详解】已知直线的斜率为，则倾斜角为，故所求直线的倾斜角为，斜率为，由直线的点斜式得，即。故选B.【点睛】本题考查直线的性质与方程，属于基础题.5、D【解析】过点A(3，3)且垂直于直线的直线斜率为，代入过的点得到.故答案为D.6、D【解析】

分离常数法化简f（x），根据新定义即可求得函数y＝[f（x）]的值域．【详解】，又>0，∴，∴∴当x∈（1，1）时，y＝[f（x）]＝1；当x∈[1，）时，y＝[f（x）]＝1．∴函数y＝[f（x）]的值域是{1，1}．故选D．【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，考查了分离常数法求一次分式函数的值域，是中档题．7、B【解析】

两边取倒数，可得新的等差数列，根据等差数列的通项公式，可得结果.【详解】由，所以则，又，所以所以数列是以2为首项，1为公比的等差数列所以，则所以故选：B【点睛】本题主要考查由递推公式得到等差数列，难点在于取倒数，学会观察，属基础题.8、D【解析】

对于A，利用线面平行的判定可得A正确.对于B，利用线面垂直的性质可得B正确.对于C，利用面面垂直的判定可得C正确.根据平面与平面的位置关系即可判断D不正确.【详解】对于A，根据平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线平行于这个平面，可判定A正确.对于B，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，判定B正确.对于C，根据一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，可判定C正确.对于D，若，则或相交，所以D不正确.故选：D【点睛】本题主要考查了线面平行和面面垂直的判定，同时考查了线面垂直的性质，属于中档题.9、B【解析】

分别在△ABC和△ACD中用余弦定理解出AC，列方程解出cosD，得出AC．【详解】在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB×BCcosB＝89﹣80cosB，在△ACD中，由余弦定理得AC2＝CD2+AD2﹣2AD×CDcosD＝34﹣30cosD，∴89﹣80cosB＝34﹣30cosD，∵A+C＝180°，∴cosB＝﹣cosD，∴cosD，∴AC2＝34﹣30×（）＝1．∴AC＝2．故选B．【点睛】本题考查了余弦定理的应用，三角形的解法，考查了圆内接四边形的性质的应用，属于中档题．10、A【解析】

设点的坐标为，求出线段的中垂线与线段的中垂线交点的横坐标，即可得到的外接圆圆心的横坐标，由的外接圆与边相切于点，可知的外接圆圆心的横坐标与点的横坐标相等，即可得到点的坐标．【详解】由于点是边边上的一动点，且点在轴上，故设点的坐标为；由于，则直线的方程为：，点为直线与轴的交点，故点的坐标为；由于为锐角，点是边边上的一动点，故；所以线段的中垂线方程为：；线段的中垂线方程为：；故的外接圆的圆心为直线与直线的交点，联立，解得：；即的外接圆圆心的横坐标为的外接圆与边相切于点，边在轴上，则的外接圆圆心的横坐标与点的横坐标相等，即，解得：或（舍）所以点的坐标为；故答案选A【点睛】本题考查直线方程、三角形外接圆圆心的求解，属于中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

画出不等式组所表示的平面区域，直线过定点，根据图像确定直线斜率的取值范围.【详解】画出不等式组所表示的平面区域如下图所示，直线过定点，由图可知，而，所以.故填：.【点睛】本小题主要考查不等式表示区域的画法，考查直线过定点问题，考查直线斜率的取值范围的求法，属于基础题.12、.【解析】

利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围得出角的值.【详解】由余弦定理得，，，故答案为.【点睛】本题考查余弦定理的应用和反三角函数，解题时要充分结合元素类型选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.13、【解析】

求出公差，利用通项公式即可求解.【详解】设公差为，则所以故答案为：【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的计算，属于基础题.14、1【解析】

利用裂项求和法求出，取极限进而即可求解.【详解】，故，所以，故答案为：1【点睛】本题考查了裂项求和法以及求极限值，属于基础题.15、【解析】

根据球的表面积计算出球的半径.利用勾股定理计算出三角形外接圆的半径，根据正弦定理求得的长，再根据圆内三角形面积的最大值求得三角形面积的最大值，由此求得三棱锥体积的最大值.【详解】画出图像如下图所示，其中是外接球的球心，是底面三角形的外心，.设球的半径为，三角形外接圆的半径为，则，故在中，.在三角形中，由正弦定理得.故三角形为等边三角形，其高为.由于为定值，而三角形的高等于时，三角形的面积取得最大值，由于为定值，故三棱锥的体积最大值为.【点睛】本小题主要考查外接球有关计算，考查三棱锥体积的最大值的计算，属于中档题.16、【解析】

取的中点，连接，则与所成角即为与所成角，根据已知可得，，可以判断三角形为等边三角形，进而求出异面直线直线DE与AB所成角.【详解】取的中点，连接，则，直线DE与AB所成角即为与所成角，，，，，，即三角形为等边三角形，异面直线DE与AB所成角的大小为.故答案为：【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题，考查了异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）【解析】

（1）根据题意得到，解方程组即可.（2）首先根据，得到，再利用错位相减法即可求出.【详解】（1）有题知，解得.所以.（2）当时，，当时，.检查：当时，.所以，.①，②，①②得：，.【点睛】本题第一问考查等差数列的性质，第二问考查利用错位相减法求数列的前项和，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.18、（1）；（2）7.【解析】试题分析：（I）在中，利用外角的性质，得即可计算结果；（II）由正弦定理，计算得，在中，由余弦定理，即可计算结果．试题解析：（I）在中，∵，∴∴（II）在中，由正弦定理得：在中，由余弦定理得：∴考点：正弦定理与余弦定理．19、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）折叠过程中，，保持不变，即，，由此可得线面垂直，从而有线线垂直；（2）由（1）知面，即是三棱锥的高，求出底面积可得体积．【详解】（1）证明：由，.可得：，，，面又面（2）解：在三棱锥中，，，面，由，，可得．【点睛】本题考查证明线线垂直，考查求棱锥的体积．立体几何中证明线线垂直，通常由线面垂直的性质定理给出，即先证线面垂直，而证线面垂直又必须证明线线垂直，注意线线垂直与线面垂直的转化．三棱锥中任何一个面都可以当作底面，因此一般寻找高易得的面为底面，常用换底法求体积．20、(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．21、(1)；(2)（i）（ii）面积最大值为，直线的方程为.【解析】

（1）根据题意列出方程求解即可（2）联立直线与圆的方程，得出P、Q、H三点坐标，表示出QH直线方程，采用点到直线距离公式求解；利用圆的几何关系，表示出三角形的底和高，再结合函数最值问题