《从“方向”与“积累”到“法则”：有理数乘法的深度建构》教学设计

《从“方向”与“积累”到“法则”：有理数乘法的深度建构》教学设计一、教学内容分析  本节课源自《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域，核心在于发展学生的“运算能力”和“抽象能力”。从知识图谱看，有理数乘法是继加法、减法之后，对有理数运算规则的又一次本质性拓展，它不仅是后续学习除法、乘方乃至整个代数运算的基石，更是“数系”从算术向代数过渡的关键枢纽，其符号法则深刻地体现了数学的抽象性与规定性。课标要求“掌握有理数的乘法运算”，此“掌握”并非机械记忆，而应是在理解算理基础上的灵活应用。过程方法上，本节课是渗透“数学建模”思想与“归纳推理”方法的绝佳载体。通过创设现实或数学情境，引导学生将实际问题抽象为乘法算式，经历“观察特例——归纳规律——猜想验证——形成法则”的完整探究过程，这正是数学再发现的核心路径。在素养价值层面，对“负负得正”这一反直觉规则的合理解释与接纳，能有效培养学生克服思维定势、基于逻辑接受数学规定的理性精神，并深刻感受数学符号语言的简洁与威力，提升数学抽象的核心素养。  学情诊断方面，学生已具备有理数、数轴、绝对值及有理数加减法的知识储备，对“负数”表征相反意义的量已有初步感知。然而，从“加减”到“乘除”是运算意义上的一次飞跃，学生容易将加减法的符号处理经验错误迁移至乘法。主要认知障碍可能在于：难以将“乘法”的“重复相加”本质与“负数”的“相反意义”进行有机结合，尤其对“负数乘以负数”的现实模型与算理理解存在困难。为此，教学需设计层层递进的情境与问题链，为学生搭建认知脚手架。课堂中将通过追问、小组讨论成果展示、针对性板演等方式进行动态评估，及时捕捉学生的思维卡点。针对理解较快的学生，将引导其探寻法则的逻辑必然性，尝试用不同模型解释；针对存在困难的学生，将通过数轴直观演示、返回生活实例类比等方式提供支持，确保所有学生都能在原有基础上获得实质性发展。二、教学目标  知识目标：学生能完整叙述有理数乘法法则，并清晰阐释法则中“符号确定”与“绝对值相乘”两部分规定的现实与数学依据；能准确、熟练地进行两个有理数的乘法运算，并初步处理含多个因数连乘的符号判断问题。  能力目标：学生经历从具体情境抽象数学算式、从特例归纳一般规律的过程，提升数学建模与归纳概括能力；能够运用数轴等工具直观解释乘法运算，发展数形结合思想；在探究与讨论中，提升数学语言表达与逻辑推理能力。  情感态度与价值观目标：学生在面对“负负得正”的认知冲突时，能保持好奇与探究欲，通过理性思考接受数学的和谐与严谨之美；在小组合作中，能积极倾听、勇于表达自己的观点，并尊重不同的解释模型。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的抽象思维与归纳思维。通过将多样化的现实情境（如方向、时间、负债等）统一抽象为符号与绝对值的运算，体会数学的高度抽象性；通过从一系列算式中寻找不变的关系与模式，形成对一般法则的合理猜想，体验归纳推理的力量。  评价与元认知目标：引导学生建立“先定符号，后算绝对值”的程序化自我监控意识；能够运用法则判断自己或同伴计算结果的正确性，并初步反思在探究过程中“从特殊到一般”的思考方法对自己的启发。三、教学重点与难点  教学重点：有理数乘法法则的归纳、理解与应用。其确立依据在于，该法则是本章乃至整个初中阶段代数运算的核心规则之一，是后续学习除法、乘方、整式运算乃至解方程的直接基础。从中考评价看，有理数运算是必考内容，而乘法法则是混合运算中符号处理的根本依据，掌握不牢将导致连锁错误。因此，对法则的深刻理解而不仅是记忆，是本节课必须达成的枢纽性目标。  教学难点：对“负数乘以负数得正”的算理理解。难点成因主要在于其抽象性与反直觉性。学生已有的“乘法是重复相加”的认知模型难以直接套用，生活经验中也缺乏直观对应（如“向后走”与“时间倒流”的结合）。突破的关键在于，设计合理的认知阶梯：先从“正数乘负数”入手，建立“符号代表方向或性质变化，绝对值代表积累程度”的初步模型，再通过类比或数轴连续运动等直观方式，过渡到“负数乘负数”，引导学生体会数学规定的逻辑自洽性与必要性。四、教学准备清单1.教师准备 1.1媒体与教具：交互式课件（内含动态数轴演示、探究任务卡片、分层练习题）；实物道具（可标记方向的小车模型或箭头卡片）。 1.2学习材料：设计分层学习任务单（A基础探究版，B挑战拓展版）；课堂巩固练习卷。2.学生准备 复习有理数的概念、数轴、绝对值；预习课本相关情景问题，并尝试思考“一个数乘以负数可能意味着什么”。3.环境布置 教室座位按4人异质小组排列，便于合作探究；黑板分区规划，预留“法则归纳区”、“探究过程区”和“例题板演区”。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设与冲突激发：同学们，我们之前用有理数解决了“方向”和“相反量”的问题。现在，请想象一个场景：一只蜗牛在数轴上爬行，它现在在原点。我们规定向右为正方向。  1.1如果它以每秒2个单位的速度向右爬，3秒后它在什么位置？（学生易答：+6）很好，这可以列式为：(+2)×(+3)=+6。这里的乘法和我们小学学的意义一样，是“正方向上的积累”。  1.2如果它以每秒2个单位的速度向左爬（即每秒2个单位），3秒后呢？（引导：它在向左积累，3秒后到了6）列式可以是：(2)×(+3)=6。看，一个负数乘一个正数，结果是负数，这好像能理解。  1.3核心问题抛出：那么，各位请思考一个更有意思的问题：如果这只蜗牛以每秒2个单位的速度向右爬(+2)，但时间是3秒前（即3秒），它当时应该在什么位置？我们该如何列式？又该如何理解这个算式呢？——“老师，时间还能是负的？”对，如果我们把“现在”记为0，未来记为正，过去就是负的。这个场景逼着我们不得不面对：(+2)×(3)或者更进一步的(2)×(3)到底等于什么？这就是我们今天要破解的“有理数乘法密码”。  2.路径明晰：我们将从一个大家熟悉的问题出发，一步步抽丝剥茧，通过观察、归纳、推理，共同“创造”出有理数的乘法法则，并理解它为何必须是那样。请带上你的思考和好奇，我们一起出发。第二、新授环节  本环节采用“问题驱动，分层探究”的模式，引导学生自主建构法则。任务一：从现实模型到算式抽象——确立研究框架教师活动：呈现导入中的蜗牛问题，并系统化。在黑板上画出数轴。提出系列引导性问题：“速度的正负代表什么？”（方向）“时间的正负代表什么？”（将来/过去）。明确研究框架：我们将研究“速度”（因数1）与“时间”（因数2）所有可能的正负组合，及其对应的“位置”（积）。引导学生共同完成表格前几行（正正、正负、负正），重点引导学生用语言描述运算意义。例如，对(2)×(+3)，可以解释为“以每秒向左2个单位的速度，爬行3秒（向后）后的位置是6”。学生活动：观察情境，理解“速度”与“时间”作为因数的实际含义。跟随教师引导，尝试用语言描述不同算式的现实意义。与同伴讨论，初步感知因数符号对结果符号的影响。完成学习任务单上表格的部分填写。即时评价标准：1.能否准确将情境中的“速度”和“时间”量化为带符号的数。2.描述算式意义时，语言是否清晰，能否关联“方向”与“积累”。3.小组讨论时，是否积极参与意见交流。形成知识、思维、方法清单： ★研究起点：有理数乘法可以源于对“运动”（速度×时间=位移）等现实模型的数学抽象。▲符号的双重意义：在乘法中，因数的符号既可表示“方向性”，也可表示“性质的变化”。→方法提示：将陌生问题（有理数乘法）映射到熟悉模型（运动），是数学建模的起点。任务二：归纳“异号两数相乘”的规律教师活动：聚焦(+2)×(3)与(2)×(+3)两类情况。引导学生利用模型解释：(+2)×(3)意为“现在以每秒向右2米的速度运动，那么3秒前它在哪？”（在起点左边6米处，即6）。组织学生计算几组异号数相乘的题目，如(+4)×(5)，(1.5)×(+2)。然后提问：“大家先不要记任何法则，就凭感觉和这些例子，看看异号两数相乘，积的符号有什么铁打的规律？绝对值呢？”——“大家发现了吗？好像符号总是‘负的’，绝对值就是把两个数的‘数字部分’乘起来。”学生活动：利用模型尝试解释(+2)×(3)。独立或同桌合作完成几组异号相乘的计算。观察、讨论并尝试用自己的语言归纳规律：“一个正数和一个负数相乘，结果好像是负数”，“结果的大小（绝对值）就是两个数绝对值的乘积”。部分学生可能用更生动的语言描述：“正负得负”。即时评价标准：1.能否脱离具体情境，从纯数字计算中归纳出符号与绝对值的处理规律。2.归纳的结论表述是否清晰、准确。3.是否能在小组内有效分享自己的发现。形成知识、思维、方法清单： ★异号相乘法则（猜想）：异号两数相乘，积为负；并把绝对值相乘。▲归纳推理的应用：从有限的、具体的特例中，发现普遍存在的规律模式，是数学发现的重要方法。→易错警示：计算时，常出现符号判断正确但绝对值相乘出错（如小数、分数乘法生疏），或先算绝对值后忘记定符号。任务三：挑战核心——“负负得正”的探究与解释教师活动：提出核心挑战：“现在，最神秘的情况来了：(2)×(3)等于什么？用蜗牛模型怎么想？”给予学生充分时间小组讨论。可能的引导方向：1.延续模型：速度是向左(2)，时间是3秒前(3)，求当时位置。可以理解为“3秒前，它在以每秒向右2米的速度运动”（因为时间是倒流的，速度方向也倒着理解？），这需要更强的抽象。2.数轴连续运动观：在数轴上，从原点开始，×(+3)意味着向原方向走3次单位长度；×(3)意味着向反方向走3次单位长度。那么，(2)×(3)可以理解为：先解释乘数(3)表示“连续反向操作3次”，而(2)表示每次操作的“步长”是向左2单位。那么“反向操作一次向左2”实际效果是？对，是向右2！所以操作3次，结果是向右6。3.从算式结构规律推理：观察序列：(2)×(+3)=6；(2)×(+2)=4；(2)×(+1)=2；(2)×(0)=0；(2)×(1)=?引导学生发现，随着第二个因数每次减1，积每次增加2。根据这个规律，(2)×(1)应该是+2，(2)×(2)=+4，(2)×(3)=+6。“看，从运算的内部规律一致性出发，也要求‘负负得正’！”学生活动：以小组为单位，热烈讨论如何解释(2)×(3)。可能尝试用语言描述模型，或利用教师提供的数轴工具进行演示。接受从“规律一致性”角度进行的推理。在任务单上完成几组负数乘负数的计算，如(3)×(4)，(1/2)×(6)，验证猜想。即时评价标准：1.是否积极参与对核心难点的攻坚讨论，能否提出自己的解释思路（无论是否完全正确）。2.能否理解至少一种对“负负得正”的解释（模型或规律推理）。3.计算验证时是否严谨、准确。形成知识、思维、方法清单： ★同号相乘法则（猜想）：同号两数相乘，积为正；并把绝对值相乘。★“负负得正”的合理性：数学规定并非任意，它需满足运算律（如分配律）的延续性和数学体系的内部和谐。这是数学理性精神的体现。▲解释多样性：一个数学结论可以通过多种路径（直观模型、逻辑推理、结构美学）去理解和接受。任务四：法则的整合、表述与零的处理教师活动：带领学生回顾以上所有发现，将“正正得正”、“正负得负”、“负正得负”、“负负得正”统一整合。提问：“能不能用一句更简洁、更数学的话来概括所有这些情况？”引导学生关注“符号的同与异”。最终共同提炼出完整法则：“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。”然后追问：“还有一个特殊的数我们没讨论，谁？”——0。“任何数同0相乘，结果是多少？为什么？”引导学生从乘法意义（几个0相加）或从数轴运动（运动速度为0或时间为0）多角度解释。学生活动：参与法则的整合与语言精炼过程。尝试用“同号”、“异号”来概括符号规则。独立阐述对“任何数乘0得0”的理解。在教师指导下，将完整法则与“0的规则”记录在笔记核心位置。即时评价标准：1.能否从具体表述上升到抽象概括的数学语言。2.对“0乘任何数得0”的理解是否透彻，能否从不同角度解释。3.笔记记录是否完整、条理清晰。形成知识、思维、方法清单： ★有理数乘法法则（完整版）：①同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数同0相乘，都得0。★运算的优先序：进行有理数乘法运算时，应遵循“先定符号，后算绝对值”的思考步骤，这是一种重要的程序化思维。→记忆口诀：“同号得正，异号得负”是符号法则的核心。▲规定与逻辑：0的规则是乘法的定义使然，保证了乘法意义的延续。任务五：法则的初步应用与符号运算专项教师活动：不急于进入复杂计算，先进行“符号判断”专项训练。出示如“(3)×(+5)的积的符号是____”、“下列各式中，积为正数的是（）”等题目。强调“定符号”是第一步也是关键一步。然后示范12个完整计算例题，板书规范步骤：先定符号，再算绝对值。引入含多个因数连乘的简单例子，如(1)×(2)×(3)，让学生观察并初步感知“积的符号由负因数的个数决定”，为后续学习埋下伏笔。学生活动：进行快速符号判断练习，巩固符号法则。观察教师板演，学习规范的解题步骤。尝试计算几个简单题目，并相互检查步骤是否完整。对多个因数连乘的例子产生好奇和初步认识。即时评价标准：1.符号判断的准确率与速度。2.解题步骤的规范性，是否体现“先定符号”的思维过程。3.对多个因数相乘的符号现象是否表现出观察兴趣。形成知识、思维、方法清单： ★运算步骤程序化：一判（符号），二算（绝对值），三写出结果。规范步骤是避免错误的有效保障。★多个因数相乘的符号规律（前瞻）：几个不为零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定（奇负偶正）。→易错点强调：计算绝对值时，需扎实完成算术乘法，避免低级计算错误；带分数应化为假分数再计算。第三、当堂巩固训练  设计分层练习，限时10分钟完成。  A层（基础巩固）：直接运用法则计算8道题，涵盖（正×正、正×负、负×正、负×负、含0、分数、小数等不同类型）。例如：①(+6)×(+4)；②(9)×(+3)；③(+7)×(2)；④(5)×(8)；⑤0×(4.5)；⑥(2/3)×(9)；⑦(1.2)×(5)；⑧(+4)×0。  B层（综合应用）：4道题，需在稍复杂情境中运用法则。例如：①已知|a|=3，|b|=5，且ab<0，求a+b的值（联系绝对值知识）。②温度每上升1千米下降6℃，地面温度是20℃，求3千米高空的气温（情境应用题）。③判断：若ab>0，则a,b一定同号（逆命题思考）。④计算：(10)×(+0.1)×(2)（简单多因数）。  C层（思维挑战）：12道题。例如：①探究：计算(1)×(1)=？；(1)×(1)×(1)=？……你发现（1）的n次幂（n为正整数）的规律了吗？②趣味题：在算式中填入适当的符号（+或），使等式成立：（__3）×(__4)=12（答案不唯一）。  反馈机制：学生完成后，首先小组内交换批改A层题目，教师公布答案，组内解决基础疑问。教师巡视，收集B、C层的典型解法或共性错误。请不同层次的学生上台板演并讲解思路（特别是B层②题和C层题）。教师针对收集到的错误，如符号判断失误、绝对值计算错误、带分数处理不当等，进行集中点评和强化。第四、课堂小结  引导学生从以下三个方面进行总结：  1.知识整合：“今天我们‘发明’了有理数的乘法法则。谁能用最简练的语言说说这个法则是什么？它的核心是什么？”（学生答：符号规则和绝对值计算）“我们还经历了怎样的探索过程？”（从实际问题→抽象算式→观察特例→归纳猜想→解释验证→形成法则）。  2.方法提炼：“回顾整个过程，你认为最关键的学习方法是什么？”（引导学生说出：从特殊到一般的归纳、用已有模型解释新问题、数学的抽象与推理等）。“在做题时，我们要坚持什么样的好习惯？”（先定符号，再算绝对值，步骤规范）。  3.作业布置与延伸：  必做作业（基础）：课本对应练习题。  选做作业（拓展）：（1）请你设计一个生活情境或小故事，用来解释“（3）×（2）=+6”。（2）探索：利用今天学的法则，验证乘法交换律和结合律在有理数范围内是否仍然成立（各举一例说明即可）。下节课我们将从这些运算律出发，让计算变得更巧妙。六、作业设计  基础性作业（必做）：  1.计算下列各题（共12题，全面覆盖各种两数相乘类型，包括整数、分数、小数）。  2.填空：①两数相乘，同号得____，异号得____，并把____相乘；②任何数与0相乘，都得____。  3.不计算，判断下列各题积的符号（8题）。  拓展性作业（建议大多数学生完成）：  1.（情境应用）某水库水位每天的变化情况记录如下（上升为正，下降为负，单位：厘米）：+3，2，1，+4。请问这四天总的水位变化量是多少？（要求用乘法加法混合列式并计算）。  2.（概念辨析）已知a,b是两个有理数。①若ab>0，你能判断a和b的符号吗？②若ab<0呢？③若ab=0呢？请分别说明理由。  探究性/创造性作业（选做）：  1.（数学探究）我们已经知道(1)×(1)=1。请计算：(1)×(1)×(1)；(1)×(1)×(1)×(1)。你能猜想并简要说明(1)^n（n为正整数）的规律吗？  2.（跨学科/创意）有理数乘法可以解释许多现象。请查找或自创一个例子，说明“负负得正”在物理、经济或其他领域中的体现，并撰写一个简短的说明（不超过200字）。七、本节知识清单及拓展  ★1.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。这是本节课最核心的规则，所有运算的出发点。  ★2.运算步骤：进行有理数乘法运算时，建议遵循“先定符号，后算绝对值”的固定程序。例如，计算(4.5)×(+2)，先判异号得负，再算4.5×2=9，结果为9。规范化操作能有效降低错误率。  ★3.符号规则的根源：“同号得正”可以理解为同方向积累或性质相同；“异号得负”表示反向抵消或性质相反。更深层地，该规则是为了保持数系扩展后，乘法运算律（如分配律）依然成立，是数学体系自洽性的要求。  ▲4.“负负得正”的理解角度：①运动模型：时间反演与方向反转的综合效应。②数轴连续操作模型：乘以负数相当于连续进行反向操作。③模式延续推理：观察乘积序列的变化规律。理解其合理性比死记更重要。  ★5.绝对值计算：符号确定后，绝对值的计算就是算术（小学）乘法。特别注意：带分数须化为假分数，小数相乘注意位数，可先确定小数点位置。  →6.易错点警示：①符号判断错误，尤其是对“异号得负”不熟练。②绝对值计算失误，特别是分数、小数乘法。③步骤跳跃，未先定符号直接计算数字。④处理带分数时忘记化为假分数。  ▲7.多个有理数相乘的符号规律（前瞻）：几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：若负因数有奇数个，积为负；有偶数个，积为正。这是两数相乘符号法则的直接推广。  ★8.与0相关的乘法：0乘任何数都得0。这是乘法定义的自然推论（0个任何数相加，或运动量为0）。  ▲9.有理数乘法的几何意义（数轴）：一个数a乘以正数b，可以看作将表示a的点沿原方向伸缩；乘以负数b，可以看作先反向，再伸缩。这为理解乘法提供了直观图像。  →10.思想方法小结：本节核心思想是数学模型思想（从实际抽象出算式）和归纳推理思想（从特例总结一般法则）。核心方法是程序化步骤法（先符号后绝对值）。八、教学反思  （一）目标达成度分析：从预设的当堂巩固训练反馈来看，约85%的学生能独立、准确地完成A层基础运算，表明“掌握运算法则”的知识与技能目标基本达成。在B层情境应用题中，约70%的学生能正确列出算式并计算，体现了初步的应用能力。然而，在解释“负负得正”算理（C层及课堂讨论）时，仅有部分学生能清晰表述一种理解方式，多数学生停留在“记住规则”层面。这说明情感态度目标中的“理性探究精神”和能力目标中的“逻辑解释能力”的达成是分层的，需在后续课程中持续渗透。元认知目标方面，通过课堂小结的提问，发现学生普遍能意识到“先定符号”步骤的重要性，自我监控意识初步建立。  （二）教学环节有效性评估：导入环节的“蜗牛问题”成功制造了认知冲突，激发了探究欲，尤其是“时间前”的设定，为理解负数乘数铺垫了良好基础。新授环节的五个任务链，整体上逻辑连贯，层层递进。任务三作为攻坚环节，虽然时间占用较多，但提供的多种解释路径（运动模型、规律推理）照顾了不同思维风格的学生。小组讨论氛围热烈，但巡视中发现，部分基础薄弱小组在模型解释环节陷入沉默，依赖教师或同组优生的讲解——这意味着“差异化”脚手架的设计还可更精细，例如为这些小组提供