浙江省舟山市五校联盟05-06学年高二上学期0月调研数学试题

舟山市五校联盟学年第一学期第一次调研高二数学试题卷考生须知：．本卷共4页满分分，考试时间分钟．．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．．考试结束后，只需上交答题纸，选择题部分．一、单项选择题：每小题5分，共分．1.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，由直线方程可知直线的斜率，即，可得，所以直线倾斜角为.故选：D.2.已知圆的方程为，则该圆的半径为（）A.B.3C.D.9【答案】B【解析】【分析】将圆的一般方程配方成标准方程，即得圆的半径.第1页/共21页【详解】由配方，可得，故该圆的半径为3.故选：B.3.如图，在平行六面体中，若，与相等的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算，准确化简，即可求解.【详解】在平行六面体中，由，根据空间向量的线性运算法则，可得.故选：C.4.曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】画出图像，转化为直线与半圆的交点问题，数形结合来进行求解.【详解】由题意可得，曲线的图像为以为圆心，2为半径的半圆，直线恒过，根据题意画出图形，如图所示．第2页/共21页由图可知当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离，即，解得；当直线l过点时，直线l的斜率，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为.故选：B5.空间四边形中，，则的值是（）A.B.C.D.0【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的定义及运算律列式计算，再利用空间向量夹角的定义求解.【详解】在空间四边形中，，则，所以.故选：D第3页/共21页6.方程表示平面上交于一点的三条直线的充要条件是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据充要条件的定义，结合两直线交点的求法、代入法进行求解即可.【详解】，或，由，直线，和直线的交点为，把代入中，得，显然直线，直线，直线是三条不同的直线，故选：A7.在空间直角坐标系中，已知，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】表示出点Q，的坐标，借助数量积的坐标运算建立函数关系求解.【详解】因点Q在直线上运动，则，设，于是，第4页/共21页因为，，所以，，因此，，于是得，当时，，此时点，所以当取得最小值时，点Q的坐标为.故选：D8.在平面直角坐标系的半径为上存在点，使，则圆心的横坐标的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求得圆的方程，再利用求得点M满足的圆的方程，进而利用两圆有公共点列出关于a的不等式求解即求得a的范围.【详解】由圆心C的横坐标为a，得圆心C的坐标为，则圆的方程为，设，由，得，整理得，因此点在以为圆心，为半径的圆上，依题意，圆与圆有公共点，则，即，整理得，解得，所以圆心的横坐标的取值范围为.故选：C第5页/共21页二、多项选择题：每小题6分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9.直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据题意结合截距式方程列式求解即可.【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为12，则直线在两坐标轴上的截距都存在且不过原点，设直线在轴上的截距分别为，则方程为，且，又因为直线过点，所以，即，解得或，故所求直线的方程为或，即或.故选：BD10.已知圆C：和直线l：，则下列说法正确的是（）A.当时，直线l被圆截得的弦长为B.当时，圆上到直线的距离为1的点有3个C.存在实数，使得直线与圆相切D.若直线与圆相交，则实数的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，利用弦长公式，直接求出弦长，即可求解；对于B，由选项A知圆心到直线的距离为，C和D第6页/共21页位置关系，即可求解.【详解】由得，所以圆的圆心为，半径为，对于A，当时，直线l：，圆心到直线的距离为，所以直线l被圆截得的弦长为，故A正确，对于B，由选项A知圆心到直线的距离为，又，则，，所以由图可知，圆上到直线的距离为1的点有个，故B错误，对于C，由，得到，解得或，所以当或时，圆心到直线的距离等于半径，即存实数，使得直线与圆相切，所以C正确，对于D，因为直线与圆相交，则，整理得到，解得，所以D正确，故选：ACD.已知四棱锥，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为正方形，点是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（）A.B.当时，三棱锥的体积为2第7页/共21页C.若为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为D.若为的中点，当平面时，【答案】ABD【解析】【分析】若为的中点，根据等边三角形、正方形、面面垂直的性质及线面垂直的判定和性质判断证明A；根据已知有到平面的距离是到平面的距离的2倍，结合平面及棱锥的体积公式计算判断B交于是已知求其余弦值，进而得到正弦值判断C；且是中点，连接，且必过，即是的中点，连接，进而证明平面，再由已知求得比例判断D.【详解】若为的中点，为等边三角形，则，由平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，则，由底面为正方形，则，，平面，所以平面，平面，则，A对，当，故到平面的距离是到平面的距离的3倍，由平面，则，而等边的边长均为，则，所以，又底面为正方形的边长也为，则，所以，B对，第8页/共21页如下图，所以异面直线与所成角为或其补角，而，由平面，平面，则，同理，而，所以，，则，则，则，C错，若为的中点，连接，则必过，即是的中点，若，连接，其中，且平面，平面，所以平面平面，而平面，平面，所以，而是的中点，则是中点，在中，则，，由，由，，而，则，D对.第9页/共21页故选：ABD非选择题部分三、填空题：每小题5分，共分．12.已知向量，且与互相垂直，则_________．【答案】【解析】【分析】由向量的线性运算、数量积的坐标运算公式列方程即可求解.【详解】已知向量，则又与互相垂直，所以，解得.故答案为：.13.过圆外一点作圆的切线，切点分别为、，则_________．【答案】【解析】果.【详解】结合题意，作图如下：第10页/共21页圆圆心，半径，，则，，由圆的对称性可知，则，解得.故答案为：.14.已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为_________．【答案】6【解析】【分析】设直线与直线的交点分别为，且，则，代入直线，即可得点的坐标，则可算出和直线的方程，再求的交点到的距离，最后利用三角形的面积公式计算即可．【详解】设直线与直线的交点分别为，且，则由题意可知，点关于点的对称点在上,可得，解得，即，则，且直线，联立的方程得，解得，即的交点坐标为，则点到直线的距离，第11页/共21页所以这三条直线围成的三角形面积为．故答案为：6．四、解答题：本大题共5小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知两直线，．（1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；（2）已知两点，，①判断直线与以A，B为直径的圆D的位置关系；②动点P在直线运动，求的最小值．【答案】（1）（2）①相离；②【解析】1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程；（2段最短可求答案.【小问1详解】联立方程，解得；因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即；【小问2详解】①以、为直径圆的方程为，整理得，故该圆的圆心为，半径为，故圆心到直线的距离为，第12页/共21页故直线与圆的位置关系为相离.②设点关于直线对称的点为，则，解得，即；则,故的最小值为.16.已知直线经过点．（1）若在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程；（2）若直线交轴负半轴于点轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为SS的最小值及此时直线的方程．【答案】（1）或（2）24，【解析】1）分类讨论截距是否为0，结合截距式计算即可；（2）设坐标，根据截距式结合基本不等式计算即可.【小问1详解】若截距为0，则该直线方程为；若截距不为0，不妨设轴上的截距为，则轴上的截距为，第13页/共21页该直线方程为，将点代入解得，即，综上直线的方程为或；【小问2详解】由题意可设，则，且，由基本不等式可知，所以，则，当且仅当时取得最小值，此时.17.已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，、、分别为、、的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】1）取中点，可证得四边形为平行四边形，所以，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）由题意可得，，从而平面，所以．设平面第14页/共21页而可得结论；（3为原点，所在直线分别为与平面的法向量，利用向量夹角公式求解即可．【小问1详解】取中点，连接，．因为P为中点，Q为中点，所以且，又因为M为中点，且直三棱柱中，，则，所以四边形为平行四边形，所以．由于平面，平面，可得平面．【小问2详解】因为为等腰直角三角形，，为的中点，所以，因为直三棱柱中，平面，平面，所以．因为，平面，所以平面，因为平面，所以．设，则．在直角中，，在直角中，，在直角中，，所以，根据勾股定理得，因为，，，平面，所以平面，第15页/共21页【小问3详解】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．设，则，．设平面的法向量为，则，即，令，则，所以．设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以．则．设二面角的平面角为，，所以．18.已知顶点坐标分别为．（1）求的外接圆的方程；第16页/共21页（2）设点，若圆上存在点，使得成立，求实数的取值范围；（3）设斜率为的直线与圆交于两点（不与原点斜率分别为，且，证明：直线恒过定点．【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】1）设圆的一般方程，代入三点坐标，求出参数值，即得圆的方程；（2）设，利用可得点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，由题意知圆与圆有公共点，故得，求解即得参数的取值范围；（3）设直线的方程为，与圆的方程联立，写出韦达定理，结合，推出，依题排除，得，将其代入直线方程即可求得定点.【小问1详解】设圆的一般方程为：，依题意，有，解得，故的外接圆圆的方程为.【小问2详解】设，由代入点的坐标，可得，整理得，易得，则点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆(当时为点，看作半径为0的圆).第17页/共21页圆的方程化为标准方程，圆心，半径为2，而，所以在圆外，所以，解得即实数的取值范围为.【小问3详解】依题意，设直线的方程为，由联立消去，可得，则由可得，设，则（*则，即，将（*）式代入整理上式得：，故得或.当时，直线经过原点，不合题意；第18页/共21页当时，直线经过定点.19.定义：若一个四面体的两组对棱分别相等（即体为空间菱形．已知空间菱形中，．（1）若平面平面，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求该空间菱形的体积；（3上是否存在一点与平面的夹角为出的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】1）根据面面垂直与直二面角的关系，结合题中定义、等腰三角形的性质进行运算证明即可；（2）根据（1）的结论，结合线面垂直的判定定理、棱锥的体积公式进行求解即可；（3）把空间菱形补成长方体，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】设中点为点，连接，因为四面体为空间菱形．所以，根据等腰三角形的性质可知：，所以