专题09 利用导函数研究函数的隐零点问题 (典型例题+题型归类练)（解析版）

专题09利用导函数研究函数的隐零点问题(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍1、不含参函数的隐零点问题已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有：①关系式成立；②注意确定的合适范围.2、含参函数的隐零点问题已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.3、函数零点的存在性（1）函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.①若，则的零点不一定只有一个，可以有多个②若，那么在不一定有零点③若在有零点，则不一定必须异号(3)若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一.二、典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．（1）求的单调区间和极值；（2）若存在实数，使得成立，求整数的最小值．第(2)问解题思路第1步：变量分离，等价转化：存在实数，使得成立，优先考察变量分离法，将代入：等价转化为：第2步：构造函数：，则目标转化为：第3步：借助导数研究：（不容易确定正负，且含有，通常进行二阶导）；第4步：求二阶导：，显然，从而说明在上单调递增第5步：借助零点存在定理，找出的根：,，所以：存在，使得，即，也即第6步：得到的单调性：当时，，单调递减.当时，,单调递增.第7步：求：当时，所以第8步：得到结论：由题意，所以整数的最小值为1.【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增,当时，有极小值，无极大值.(2)

1【详解】（1）由，可得又恒成立，则在上单调递增，且所以当时，，当时，所以在上单调递减，在上单调递增.所以当时，有极小值，无极大值.(2)存在实数，使得成立即存在实数，使得，即成立设，即，所以在上单调递增.,所以存在，使得，即，也即所以当时，，单调递减.当时，,单调递增.所以当时，所以，由题意，所以整数的最小值为1.例题2．（2022·甘肃·金昌市教育科学研究所高三阶段练习（理））已知函数（1）若，求函数的单调区间；（2）若存在，使成立，求整数的最小值．第(2)问解题思路第1步：变量分离，等价转化：存在，使成立，优先考察变量分离法，将代入：，由于等价转化为：第2步：构造函数：，则目标转化为：第3步：借助导数研究：（不容易确定正负，且含有，通常进行二阶导）；令：第4步：求二阶导：，在上单调递增第5步：借助零点存在定理，找出的根：，，根据零点存在性定理，可知在上有唯一零点，设该零点为，则，且，即，第6步：得到的单调性：当时，，单调递减.当时，,单调递增.第7步：求：，第8步：得到结论：可知，又，，∴的最小值为5．【答案】（1）的增区间为，减区间为（2）5【详解】（1）由题意可知，，，当时，令，或；时，，在单调递增；时，，在单调递减；综上所述，的增区间为，减区间为（2）原式等价于，即存在，使成立．设，，则，设，则，∴在上单调递增．又，，根据零点存在性定理，可知在上有唯一零点，设该零点为，则，且，即，∴.由题意可知，又，，∴a的最小值为5．题型归类练1．（2021·山西·太原五中高三阶段练习（理））设函数.(1)求函数的单调增区间；(2)当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：）【答案】(1)答案见解析(2)存在，的最小值为0(1)因为，所以，①当时，由，解得；②当时，由，解得；③当时，由，解得；④当时，由，解得；⑤当时，由，解得，综上所述，当时，的增区间为；当时，的增区间为；时，的增区间为.(2)当时，，所以，而，因为均为上的增函数，故为上的增函数，而，，故在上有且只有一个零点，且且时，；当时，，故在上为减函数，在上为增函数，故，因为，所以，所以，而整数，使得关于x的不等式有解，故，故存在整数满足题意，且的最小值为0.2．（2021·广东·广州市协和中学高二期中）设函数，其导函数为.（1）求函数的单调区间；（2）若，为整数，且当时，，求的最大值.【答案】（1）若，在上单调递增；若，的单调减区间是：，增区间是：；（2）2.【详解】（1）的定义域为，，若，则，在上单调递增；若，则解得.当变化时，，变化如下表：-0+减极小值增综上所述：若，在上单调递增；若，的单调减区间是：，增区间是：.（2）由于，所以.故当时，等价于（），①令，则.由（1）知，当时，函数在上单调递增，而，，所以在存在唯一的零点.故在存在唯一的零点.设此零点为，则.当时，；当时，.所以在的最小值为.又由，可得，所以.由于①式等价于，故整数的最大值为2.3．（2022·福建莆田·高二期末）已知函数．(1)若是的极值点，求a；(2)当时，证明：．【答案】(1)1(2)证明见解析(1)依题意，的定义域为，由，得，因为是的极值点，所以，即，即当1时，，当时，，所以在单调递增；当时，，所以在单调递减；所以f（x）在处取得极大值，符合题意因此(2)当时，要证，只需证，即证，等价于证明令，则令，则，所以对恒成立，故在单调递减，又，所以，所以在上恰有一个零点，且．当时，，即，所以在单调递增；当时，，即，所以在单调递减，所以．又因为，即，即，即，即，所以所以，又因为，所以，即，因此，即，圆4．（2022·辽宁沈阳·高二期末）设函数，，其导函数为．(1)求函数的单调区间；(2)若，为整数，且当，，求的最大值．【答案】(1)详见解析；(2)2.(1)因为的定义域为R，．当时，则，在R上单调递增；当时，则，解得，当x变化时，，变化如下表：x－0＋单调减极小值单调增综上，当时，在R上单调递增；当时，的单调减区间是，增区间是；(2)由于，∴．故当时，等价于，令，则．由（1）知，函数在上单调递增，而，，∴在存在唯一的零点，故在存在唯一的零点．设此零点为m，则．当时，；当时，，∴在的最小值为．又由，可得，∴．由于，故整数的最大值为2．5．（2022·广东珠海·高二期末）已知，函数(1)讨论函数在上的单调性；(2)讨论函数在上值是否存在最小？若存在，求出的值域；若不存在，请说明理由.【答案】(1)函数在上单调递增.(2)函数在上存在最小值，且的值域为.(1)因为，，所以，所以函数在上单调递增.(2),令，，在上单调递增，又因为，所以存在使得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又因为，则，，，令，，所以在上单调递增，而故的值域为.所以的值域为.6．（2022·四川省成都市新都一中高二期末（理））已知函数．(1)求的单调区间；(2)若对任意的，，不等式恒成立，求整数k的最大值．【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是；(2).(1)对函数求导得，令，得，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是；(2)不等式，对任意的，恒成立，∴，即，设，则，令，则，函数在上单调递增，又，所以存在唯一的，使得，即，当时，，，所以函数单调递减；当时，，，所以函数单调递增，所以当时，函数有极小值，同时也为最小值，因为，又，∴，所以整数k的最大值是.7．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数.(1)讨论函数的单调性与极值；(2)当时，函数在上的最大值为，求使得上的整数k的值（其中e为自然对数的底数，参考数据：，）.【答案】(1)单调性见解析，极大值为，无极小值(2)(1)，.当，即时，恒成立，则函数在上单调递增，无极值；当，即时，令，即，解得，当时，，故函数在上单调递增；当时，，故函数在上单调递减，所以当时，函数取得极大值，且极大值为.综上所述，当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在上单调递增；在