专题10 利用导函数研究函数的极值点偏移问题 (典型例题+题型归类练)（解析版）

专题10利用导函数研究函数的极值点偏移问题(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍1、极值点偏移的含义函数满足对于定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称．可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点，如图(1)所示，函数图象的顶点的横坐标就是极值点；①若的两根为，，则刚好满足，则极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移（如图1）．若，则极值点偏移．若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同．如图(2)(3)所示．故单峰函数定义域内任意不同的实数，，满足，则与极值点必有确定的大小关系：若，则称为极值点左偏如图（2）；若，则称为极值点右偏如图（3）．2、极值点偏移问题的一般解法2.1对称化构造法主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点．(2)构造函数，即对结论型，构造函数或；(3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式．(4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．(5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．(6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．2.2．差值代换法（韦达定理代换令.）差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．2.3．比值代换法比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解．二、典型例题例题1．（2022·辽宁丹东·模拟预测）已知函数．(1)若，证明：；(2)若有两个不同的零点，求的取值范围，并证明：．【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解．(1)当时，，定义域为令，则当时，；当时，；所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，所以，得；(2)因为有两个不同的零点，则在定义域内不单调；由当时，在恒成立，则在上单调递减，不符合题意；当时，在上有，在上有，所以在上单调递增，在上单调递减．不妨设令则当时，，则在上单调递增所以故，因为所以，又，则，又在上单调递减，所以，则．第（2）问解题思路（对称化构造）第1步：缩小的范围：由当时，在恒成立，则在上单调递减，不会有两个零点，不符合题意；所以第2步：找准的范围：当时，在上有，在上有，所以在上单调递增，在上单调递减．不妨设第3步：分析法：要证，只需证由于，结合图象在上单调递减，只需证由于替换得到，只需证：；这样只要构造函数其中，然后证明即可；此题为典型对称化构造的极值点偏移问题，构造时借助图象，先分析，再构造.例题2．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性和最值；(2)若关于的方程有两个不等的实数根，求证：.【答案】(1)见解析(2)见解析（1），其中若，则在上恒成立，故在上为减函数，故无最值.若，当时，；当时，；故在上为增函数，在上为减函数，故，无最小值.（2）方程即为，故，因为为上的增函数，所以所以关于的方程有两个不等的实数根即为：有两个不同的实数根.所以，所以，不妨设，，故，要证：即证，即证，即证，即证，设，则，故，所以在上为增函数，故，所以在上为增函数，所以，故成立.第（2）问解题思路（差值代换）第1步：等价化简：方程即为，故，注意到这里等号有边的结构是这样的结构，而在上的增函数，所以等号左右两边相等可以化简原方程第2步：化简原方程：；所以关于的方程有两个不等的实数根即为：有两个不同的实数根.所以这样得到，可进一步作差值代换，减少变量第3步：差值代换：，不妨设，，进一步得到：由等号左右两边同时除以得到：第4步:引入差值代换=进一步化简得：，代入得：第5步：这样要证的不等式等价转化为：，化简后：，即证，这样通过构造函数：，只需证明例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（1）若，(为的导函数)，求函数在区间上的最大值；（2）若函数有两个极值点，求证：【答案】（1）当时，；当时，；当时，；（2）证明见解析．【详解】（1）因为，，①当时，因为，所以，所以函数在上单调递增，则；②当，即时，，，所以函数在上单调递增，则；，③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，则；④当，即时，，，函数在上单调递减，则．综上，当时，；当时，；当时，.（2）要证，只需证：，若有两个极值点，即函数有两个零点，又，所以是方程的两个不同实根，即，解得，另一方面，由，得，从而可得，于是．不妨设，设，则．因此，．要证，即证：，即当时，有，设函数，则，所以为上的增函数．注意到，，因此，．于是，当时，有．所以成立，．第（2）问解题思路（比值代换）第1步：分析法：要证，只需证，接下去就是找到的表达式；（找到目标，便于后面等价替换，或者构造函数）第2步：分析条件：函数两个极值点，得：是方程的两个不同实根，而，这样，可以得的：第3步：对上面结果处理：两式相加：对两式相减：第4步：将代入并化简：，于是第5步：引入参数比值代换：不妨设，设，则．则进一步化简为：．第6步：回到目标：要证，只需证，所以问题转化为只需证：第7步：构造函数只需证三、题型归类练1．（2022·河南·南阳中学高二阶段练习（理））已知函数有两个零点．(1)求a的取值范围；(2)设是的两个零点，证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析.(1)解：由，得，设，则，，因为，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．又因为，所以，，，所以a的取值范围是．(2)证明：不妨设，由（1）知，则，，，又在上单调递增，所以等价于，即．设，则．设，则，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又因为，，，所以存在，使得，当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增．又因为，，所以当时，，当时，，所以当时，，单调递减，因为，所以，所以，即原命题得证．2．（2022·全国·高二期末）已知函数．(1)讨论的零点个数．(2)若有两个不同的零点，证明：．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(1)因为，所以1不是的零点．当，可变形为，令，则的零点个数即直线与图象的交点个数．因为，，得，又，所以在上单调递减，在上单调递增．因为，且当时，，所以当时，没有零点；当时，有一个零点；当时，有两个零点．(2)证明：由（1）知，当时，有两个零点．设，则，由得，所以，即．令，则，易得在上单调递减，在上单调递增．要证，即证．因为，且在上单调递增，所以只需证．因为，所以即证．令则，所以在上单调递减．因为，所以．因为，所以，故．3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中为常数，且．(1)当时，若在，上的最大值为1，求实数的值；(2)若，且函数有两个不相等的零点，，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析(1)解：（1）函数的定义域为，①当，即时，函数在，上单调递增，其最大值为，不符合题意；②当，即时，函数在，，上单调递增，在单调递减，，，所以，不符合题意；③当，即时，函数在，，在，单调递减，其最大值为，不符合题意；④当，即时，函数在，，上单调递增，在，单调递减，，，所以，符合题意；综上所述，实数的值为；(2)证明：，令，得，当时，函数在，递减，在单调递增，函数有两个不相等的零点，，不妨设，则，，构造函数，，则，，在单调递减，，，恒成立．，恒成立．即，，，且函数在单调递增，，．4．（2022·广东深圳·高二期末）设函数，已知直线是曲线的一条切线.(1)求的值，并讨论函数的单调性；(2)若，其中，证明：.【答案】(1)；在上单调递减，在上单调递增(2)证明见解析.(1)设直线与曲线相切于点，，；又，，即；设，则，在上单调递增，又，有唯一零点，，，解得：；，，则当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增.(2)由（1）知：；当时，；当时，，；要证，只需证；在上单调递减，只需证，又，则只需证对任意恒成立；设，；设，则，在上单调递减，，又当时，，，在上单调递增，，即在时恒成立，又，，原不等式得证.5．（2021·江苏·高二专题练习）已知函数，.(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求实数a的值；(2)若函数在定义域内有两个不同的极值点，.（i）求实数a的取值范围；（ii）当时，证明：.【答案】(1)2(2)（i）；（ii）证明见解析(1)因为，则，又，所以在点处的切线方程为，即，又该切线为，则且，所以；(2)（i）函数定义域为，因为函数在内有两个不同的极值点，，即等价于函数在内有两个不同的零点，.设，由，当时，，在上单调递增，至多只有一个零点；当时，在上，单调递增；在上，单调递减，所以，当时，，函数有两个零点，则必有，即，解得，又，易证，证明如下：令，，当时，，单减，当时，单增，故，故，得证.，所以在和上各有一个零点，故有两个零点时，a的范围为；（ii）法1：由（i）可知，是的两个零点，不防设，由且，得.因为令，则，记，，由，令，.又，则，即，所以在上单调递增，故，即成立.所以不等式成立.法2：欲证，由，，则只需证：.不妨设，则且，则，所以令，则，记，，由，即在上单调递增，故，即成立.故.6．（2021·全国·高三阶段练习）已知函数(，为常数)在内有两个极值点.（1）求参数的取值范围；（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析．【详解】解：(1)由，得.记，由题意知，在上存在两个零点.因为，