内蒙古自治区包头市2026届数学高一下期末质量检测模拟试题含解析

内蒙古自治区包头市2026届数学高一下期末质量检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若将函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为（）A． B． C． D．2．七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A． B． C． D．3．在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，A=45°，B=30°，b=2，则a=（）A．2 B．63 C．224．当点到直线的距离最大时，的值为（）A． B．0 C． D．15．在中，，且，若，则（）A．2 B．1 C． D．6．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的.祖暅原理的内容是：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都是h），其中：三棱锥的体积为V，四棱锥的底面是边长为a的正方形，圆锥的底面半径为r，现用平行于这两个平面的平面去截三个几何体，如果得到的三个截面面积总相等，那么，下面关系式正确的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，7．在中，“”是“”的()A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件8．等差数列中，，且，且，是其前项和，则下列判断正确的是（）A．、、均小于，、、、均大于B．、、、均小于，、、均大于C．、、、均小于，、、均大于D．、、、均小于，、、均大于9．我国魏晋时期的数学家刘徽，创立了用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积的方法，称为“割圆术”，为圆周率的研究提供了科学的方法.在半径为1的圆内任取一点，则该点取自圆内接正十二边形外的概率为A． B．C． D．10．在天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水的概率为”，这是指（）A．明天该地区有的地方降水，有的地方不降水B．明天该地区有的时间降水，其他时间不降水C．明天该地区降水的可能性为D．气象台的专家中有的人认为会降水，另外有的专家认为不降水二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数f(x)的图象恒过定点P，则点P的坐标是____________.12．数列满足：，，则______.13．设为，的反函数，则的值域为______.14．函数的最小正周期为__________．15．若关于的方程（）在区间有实根，则最小值是____．16．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，现两人各自独立射击一次，均中靶的概率为______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，已知平面，为矩形，分别为的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：面平面；（3）求点到平面的距离.18．已知，设.（1）若图象中相邻两条对称轴间的距离不小于，求的取值范围；（2）若的最小正周期为，且当时，的最大值是，求的解析式，并说明如何由的图象变换得到的图象.19．如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．20．已知是第三象限角，．（1）化简；（2）若，求的值．21．习主席说：“绿水青山就是金山银山”.某地相应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2018年投入1000万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加.（1）设年内（2018年为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出、的表达式；（2）至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入.（参考数据：，，）

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

根据正弦型函数的图象平移规律计算即可.【详解】.故选：B.【点睛】本题考查三角函数图象的平移变化，考查对基本知识的理解和掌握，属于基础题.2、B【解析】

设正方形的边长为，计算出阴影部分区域的面积和正方形区域的面积，然后利用几何概型的概率公式计算出所求事件的概率.【详解】设正方形的边长为，则阴影部分由三个小等腰直角三角形构成，则正方形的对角线长为，则等腰直角三角形的边长为，对应每个小等腰三角形的面积，则阴影部分的面积之和为，正方形的面积为，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为，故选：B．【点睛】本题考查面积型几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于计算出所求事件对应区域的面积和总区域的面积，考查计算能力，属于中等题.3、C【解析】

利用正弦定理得到答案.【详解】asin故答案选C【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.4、C【解析】直线过定点Q(2,1),所以点到直线的距离最大时PQ垂直直线,即,选C.5、A【解析】

取的中点，连接，根据，即可得解.【详解】取的中点，连接，在中，，且，所以，.故选：A【点睛】此题考查求向量的数量积，涉及平面向量的线性运算，根据数量积的几何意义求解，可以简化计算.6、D【解析】

由祖暅原理可知：三个几何体的体积相等，根据椎体体积公式即可求解.【详解】由祖暅原理可知：三个几何体的体积相等，则，解得，由，解得，所以.故选：D【点睛】本题考查了椎体的体积公式，需熟记公式，属于基础题.7、A【解析】

余弦函数在上单调递减【详解】因为A,B是的内角，所以,在上余弦函数单调递减,在中，“”“”【点睛】充要条件的判断，是高考常考知识点，充要条件的判断一般有三种思路：定义法、等价关系转化法、集合关系法。8、C【解析】

由，且可得，，，，结合等差数列的求和公式即等差数列的性质即可判断.【详解】，且，，数列的前项都是负数，，，，由等差数列的求和公式可得，，由公差可知，、、、均小于，、、均大于.故选：C.【点睛】本题考查等差数列前项和符号的判断，解题时要充分结合等差数列下标和的性质以及等差数列求和公式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9、D【解析】

由半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为，腰为1的等腰三角形，求得十二边形的面积，利用面积比的几何概型，即可求解.【详解】由题意，半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为，腰为1的等腰三角形，所以该正十二边形的面积为，由几何概型的概率计算公式，可得所求概率，故选D.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.10、C【解析】

预报“明天降水的概率为”，属于随机事件，可能下雨，也可能不下雨，即可得到答案.【详解】由题意，天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水的概率为”，这是指明天下雨的可能性是，故选C.【点睛】本题主要考查了随机事件的概念及其概率，其中正确理解随机事件的概率的概念是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、（2,4）【解析】

令x-1=1,得到x=2,把x=2代入函数求出定点的纵坐标得解.【详解】令x-1=1,得到x=2,把x=2代入函数得，所以定点P的坐标为（2,4）.故答案为：（2,4）【点睛】本题主要考查对数函数的定点问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.12、【解析】

可通过赋值法依次进行推导，找出数列的周期，进而求解【详解】由，，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，当故数列从开始，以3为周期故故答案为：【点睛】本题考查数列的递推公式，能根据递推公式找出数列的规律是解题的关键，属于中档题13、【解析】

求出原函数的值域可得出其反函数的定义域，取交集可得出函数的定义域，再由函数的单调性可求出该函数的值域.【详解】函数在上为增函数，则函数的值域为，所以，函数的定义域为.函数的定义域为，由于函数与函数单调性相同，可知，函数在上为增函数.当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值.因此，函数的值域为.故答案为：.【点睛】本题考查函数值域的求解，考查函数单调性的应用，明确两个互为反函数的两个函数具有相同的单调性是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14、【解析】

先将转化为余弦的二倍角公式,再用最小正周期公式求解.【详解】解：最小正周期为.故答案为【点睛】本题考查二倍角的余弦公式,和最小正周期公式.15、【解析】

将看作是关于的直线方程，则表示点到点的距离的平方，根据距离公式可求出点到直线的距离最小，再结合对勾函数的单调性，可求出最小值。【详解】将看作是关于的直线方程，表示点与点之间距离的平方，点到直线的距离为，又因为，令，在上单调递增，所以，所以的最小值为．【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式以及对勾函数单调性的应用，意在考查学生转化思想的的应用。16、0.56【解析】

根据在一次射击中，甲、乙同时射中目标是相互独立的，利用相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．【详解】由题意，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，所以两人均中靶的概率为，故答案为0.56【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式的应用，其中解答中合理利用相互独立的概率乘法公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】

(1)利用线面平行的判定定理，寻找面PAD内的一条直线平行于MN，即可证出；（2）先证出一条直线垂直于面PCD，依据第一问结论知，MN也垂直于面PCD，利用面面垂直的判定定理即可证出；（3）依据等积法，即可求出点到平面的距离．【详解】证明：（1）取中点为，连接分别为的中点，是平行四边形，平面，平面，∴平面证明：（2）因为平面，所以，而,面PAD，而面，所以,由,为的终点，所以由于平面，又由（1）知，平面，平面，∴平面平面解：（3），，，则点到平面的距离为（也可构造三棱锥）【点睛】本题主要考查线面平行、面面垂直的判定定理以及等积法求点到面的距离，意在考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算能力．18、（1）；（2）;平移变换过程见解析.【解析】

（1）根据平面向量的坐标运算,表示出的解析式,结合辅助角公式化简三角函数式.结合相邻两条对称轴间的距离不小于及周期公式,即可求得的取值范围;（2）根据最小正周期,求得的值.代入解析式,结合正弦函数的图象、性质与的最大值是,即可求得的解析式.再根据三角函数图象平移变换,即可描述变换过程.【详解】∵∴∴（1）由题意可知,∴又,∴（2）∵,∴∴∵,∴∴当即时∴∴将图象上所有点向右平移个单位,得到的图象；再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到的图象（或将图象上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到的图象；再将得到的图象上所有点向右平移个单位,得到的图象）【点睛】本题考查了正弦函数图像与性质的综合应用,根据最值求三角函数解析式,三角函数图象平移变换过程,属于中档题.19、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】

（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，AF∥平面PCE；（Ⅱ）由（Ⅰ）得EG∥AF，只需证明AF⊥面PDC，即可得到平面PEC⊥平面PCD．【详解】证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，∴FG为△CDP的中位线，FG∥CD，FG=CD．∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，∴AE∥CD，AE=CD．∴FG=AE，FG∥AE，∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，∴AF∥平面PCE；（Ⅱ）∵PA=AD．∴AF⊥PDPA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又因为CD⊥AB，AP∩AB=A，∴CD⊥面APD∴CD⊥AF，且PD∩CD=D，∴AF⊥面PDC由（Ⅰ）得EG∥AF，∴EG⊥面PDC又EG⊂平面PCE，∴平面PEC⊥平面PCD．【点睛】本题考查了空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．20、（1）；（2）．【解析】

（1）由诱导公式变形即得；（2）同样用诱导公式化简后，利用平方关系求值．【详解】（1）；（2），，又是第三象限角，∴，∴．【点睛】本题考查诱导公式，考查同角间的三角函数关系．在用平方关系示三角函数值时，要注意确定角的范围．21、（1），；（2）2022年【解析】

（1）根据题意，知每