高中物理之解答抛体运动试题的重要数学基础

在高中物理试题中，有关抛体运动和类抛体运动的试题一直是热点和难点，深刻理解抛体运动以及解答有关试题都需要熟悉抛物线的有关结论。抛物线属于圆锥曲线，与圆类比，我们把一条与抛物线有两个交点的直线叫做此抛物线的割线，有一个公共点的直线叫抛物线的切线，而直线与抛物线交点之间的线段叫做弦，即抛物线上两点的连线叫做弦。过焦点的弦叫做焦点弦。过圆锥曲线的焦点且与过焦点的轴垂直的弦称为通径。有关抛物线的一些数学、物理重要结论：1、抛物线切线的性质和结论（对称轴为y轴）：性质1：两切线交点与两切点的水平距离相同。（两切线交点与两切点之间的水平（x轴）距离相同。（对称轴是y轴））性质2：单位抛物线(UnitParabola)上的点与切点的平水距离是该点与切线的竖直距离的平方。

2、抛物线的光学性质抛物线的一个特点：平行于对称轴的光打在曲线上反射后汇于焦点。反过来就是，通过焦点的光打在抛物线（三维空间就是抛物面）上反射后平行于对称轴。3、抛物线的切线与弦的性质弦AB（过焦点或不过焦点）两端点处切线的交点P与弦中点的连线平行于对称轴。4、抛物线中的阿基米德三角形的重要性质过圆锥曲线上任意两点A、B分别作两条切线相交于点P，则称△PAB为阿基米德三角形。其中∠P为顶角，AB为底边，当AB过圆锥曲线的焦点，此时△PAB叫阿基米德焦点三角形。性质1：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的对称轴；性质2：阿基米德三角形底边上中线的中点在抛物线上，且过该中点的切线平行于底边。5、直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边中线定理是数学中关于直角三角形的一个定理，具体内容为：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。6、物理结论应用到物理上，物体做曲线运动从A点运动到B点，如果轨迹为抛物线（匀变速曲线运动——类抛体曲线运动），则物体在A、B两点处的速度方向延长线（包含反向延长）的交点P到位移AB的中点O的方向就是加速度的方向（平行于抛物线的对称轴）。根据运动的合成与分解的知识可知，物体在A、B两点的速度大小满足vAsinα=vBsinβ，其中α、β分别是速度方向与位移AB之间的夹角。

有了这些数学、物理结论，那再来解答相关的抛体运动及类抛体运动试题就会方便得多。题目一、7、某同学投掷篮球空心入筐，篮球的出手点与篮筐的距离为7.2m，篮球进入篮筐时的速度方向恰好与出手时的速度方向垂直。不考虑空气阻力，重力加速度大小g取10m/s2。则篮球从出手到入筐的时间为(

)A．1.6s

B．1.4s

C．1.2s

D．1.0s

这道题来源于武汉市2024届高中毕业生二月调研考试物理试卷第7题。

这是一道单选题，而且是数值计算类选择题。考查的物理知识是斜抛（斜向上抛出）运动，但初速度大小方向均未知，仅知道末速度与初速度相互垂直，要由篮球的位移（末位置与初位置之间的距离）及加速度计算出运动时间。一个最基本的思路是，把篮球的斜抛运动看作水平方向的匀速运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动进行解答，本人通过亲手推导，最后可化解成：这个结果事先是无法想到的，这正是定量推导的神奇之处！由上式解得t=1.2s。答案：C。这个最基本的方法容易想到，但在考场上不一定能完成，甚至也不一定有信心去尝试。当然，部分考生也许想到一个特殊情形，那就是假如篮球是在与篮筐同一水平面上的距离L=7.2m的某点被以θ=45°倾斜角斜向上抛出，这样自然是满足题目条件的，也可以在较短时间内解出答案。而更加有备无患的方法是根据中学数学、物理中关于抛物线的一些重要结论及经验积累进行解答。

上图中，A是篮球的抛出点，B是篮球的入筐点，AB=L=7.2m，篮球加速度为g=10m/s2方向竖直向下，即P→M方向，M是AB的中点。根据前面的数学、物理结论可知，∠PAM=∠PBM=90°，PM=AM=BM，∠APM=∠PNB=∠PAM，AB=NB=

L=7.2m。这时，我们可以把篮球的斜抛曲线运动看作是初速度方向上的匀速运动和竖直方向上的自由落体运动的合运动，这样，竖直方向上的分位移就等于7.2m，由位移公式即可解出时间t=1.2s。所以答案是C。题目二、在平行于纸面内的匀强电场中，有一电荷量为q的带正电粒子，仅在电场力作用下，粒子从电场中A点运动到B点，粒子在A点的速度大小为2v0，粒子的初、末速度与AB连线的夹角均为30°，如图所示，已知A、B两点间的距离为d，则该匀强电场的电场强度为（）

【来源】2020届山东省烟台市高三下学期高考适应性练习物理试题（二）第8题。注意，vB=2v0，本题答案是选D！！题目三．如图所示，一质量为m电荷量为q的带正电粒子在匀强电场中只在电场力作用下运动，由A运动到B的时间为t，经过A、B点时速度分别为v0和2v0，两点速度方向与AB直线夹角θ均为37°，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，则下列说法正确的是（）

A．电场中B点电势高于A点电势

D．由A运