2026年数学建模与问题解决能力测试题针对大学生

2026年数学建模与问题解决能力测试题针对大学生第一部分：问题分析题（共3题，每题15分，合计45分）题目1（15分）：城市交通拥堵治理的数学建模分析背景：某中等城市（如中国某三线城市的A区）近年来交通拥堵问题日益严重，尤其在早晚高峰时段。市政府计划通过优化信号灯配时、增设智能交通诱导系统、调整公共交通线路等措施来缓解拥堵。假设该市A区的主要道路网络由5条主干道和8条次干道构成，形成十字交叉路口3个，T型路口5个。交通流量数据统计显示，早晚高峰时段主干道平均车流量为每小时2000辆，次干道为每小时1500辆。问题：1.建立一个简化的数学模型，描述该区域交通拥堵的形成机理，并分析拥堵的关键因素（如车流量、道路容量、信号灯配时等）。2.若市政府提出两种治理方案：方案A是延长主干道信号灯绿灯时间10分钟，方案B是在次干道增设单行线并优化信号灯配时。请分别用数学方法评估两种方案的预期效果，并比较其优缺点。3.建议如何进一步改进模型，使其更贴近实际交通系统的动态变化？题目2（15分）：区域水资源分配的优化决策背景：某干旱地区（如中国西北某省份的B县）水资源严重短缺，该区域主要依赖地下水开采和季节性降水。据统计，B县每年可利用的地下水资源总量约为1.2亿立方米，需满足农业灌溉、工业生产和居民生活三方面的用水需求。当前，农业用水占比70%，工业用水占比15%，生活用水占比15%，但农业灌溉效率低，水资源浪费严重。问题：1.建立一个线性规划模型，优化该区域的水资源分配方案，使总用水需求得到满足且浪费最小。2.若政府出台政策要求农业灌溉效率提升20%，请重新求解模型，并分析政策对水资源分配的影响。3.结合实际情况，提出至少两种非数学手段（如技术改造、价格调控等）来辅助水资源优化分配。题目3（15分）：电子商务平台用户增长模型的构建背景：某新兴电商平台（如东南亚某国的C商城）计划通过社交推广和广告投放两种方式扩大用户规模。数据显示，社交推广的转化率为5%，广告投放的转化率为3%，但社交推广的单位成本为10元，广告投放的单位成本为20元。当前平台用户数为10万，每月社交推广投入预算为500万元，广告投放预算为300万元。问题：1.建立一个微分方程模型，描述平台用户数的增长速率，并假设社交推广和广告投放的影响是独立的，求用户数随时间的增长函数。2.若平台希望每月新增用户达到5万，请计算需要多久时间，并分析两种推广方式的最优组合。3.若推广成本因市场竞争而上升，如何调整模型以反映这一变化？第二部分：数据分析题（共2题，每题20分，合计40分）题目4（20分）：空气质量监测数据的趋势预测背景：某城市（如中国南方某工业城市的D区）环保局收集了过去5年的PM2.5监测数据（单位：μg/m³），并记录了同期工业排放量（万吨/年）和季节性因素（春季、夏季、秋季、冬季的权重分别为1.2、0.8、1.0、1.5）。部分数据如下表所示：|年份|PM2.5均值|工业排放量|季节权重|||-||-||2019|52|120|春季||2020|58|130|夏季||2021|61|125|秋季||2022|65|140|冬季||2023|70|150|春季|问题：1.用多项式回归方法拟合PM2.5与年份、工业排放量和季节权重的关系，并预测2027年的PM2.5均值。2.分析工业排放量和季节权重对PM2.5的影响程度，并给出政策建议。3.若新增数据中工业排放量因环保政策减少20%，请重新预测2027年的PM2.5均值。题目5（20分）：超市销售数据的关联规则挖掘背景：某连锁超市（如中国东部某市的E超市）收集了过去一个月的顾客购物小票数据，发现某些商品组合经常被同时购买。部分数据如下表所示（“是”表示顾客购买了该商品，“否”表示未购买）：|客户ID|商品A|商品B|商品C|商品D||--|-|-|-|-||1|是|否|是|是||2|否|是|否|是||3|是|是|否|否||...|...|...|...|...|问题：1.用Apriori算法挖掘关联规则，找出置信度大于70%的商品组合（如“购买商品A的顾客有80%会购买商品D”）。2.分析这些关联规则对超市营销的启示（如捆绑销售、货架布局优化等）。3.若超市计划推出“买商品A送商品C”的促销活动，请基于关联规则评估活动效果。第三部分：算法设计题（共1题，25分）题目6（25分）：物流配送路径优化问题背景：某生鲜电商平台（如中国西南某城市F区的G物流公司）需要在上午10点前将10份订单（每份包含冷藏商品）配送到5个社区门店。配送员从中央仓库出发，每条路线的耗时和限速如下表所示：|路线|起点|终点|耗时（分钟）|限速（km/h）|||--|--|-|--||1|仓库|门店A|15|40||2|门店A|门店B|20|35||3|门店B|门店C|25|30||...|...|...|...|...|问题：1.设计一个贪心算法，按最小耗时优先的原则规划配送路径，并计算总配送时间。2.若新增条件要求冷藏商品必须在2小时内送达，请改进算法以满足时效性约束。3.提出至少两种优化策略（如动态调整路线、增加配送点等），并说明其可行性。答案与解析问题分析题题目1（15分）1.模型建立：-使用交通流理论，设主干道车流量为Q₁，次干道车流量为Q₂，信号灯周期为T，绿灯占比α。拥堵程度可表示为拥堵指数U=(Q₁/2αT)²+(Q₂/2(1-α)T)²。-关键因素：道路容量限制（Q₁≤C₁，Q₂≤C₂）、信号灯配时不合理、交叉口通行效率低。2.方案评估：-方案A：延长绿灯时间后，主干道流量增加10%，拥堵指数变为1.21U；次干道流量不变，拥堵指数仍为U。-方案B：单行线+信号优化后，次干道拥堵指数降低至0.64U，主干道因分流改善，指数降为0.81U。-优缺点：方案A成本较低但效果有限；方案B效果显著但需改造投入。3.模型改进建议：-引入实时车流量数据，动态调整信号灯配时；考虑多智能交通设备（如匝道控制）联合优化。题目2（15分）1.线性规划模型：-目标函数：MinZ=70x₁+15x₂+15x₃，约束条件：x₁+x₂+x₃≤1.2亿，x₁≤0.7x₁+0.3x₂+0.15x₃（农业优先分配）。-求解得：农业0.84亿、工业0.18亿、生活0.18亿。2.政策影响：-农业效率提升后，模型约束变为x₁≤0.56x₁+0.3x₂+0.15x₃，优化解为农业0.68亿、工业0.22亿、生活0.1亿。3.非数学手段：-技术改造：推广滴灌农业；价格调控：对工业用水阶梯收费。题目3（15分）1.微分方程模型：-dy/dt=0.05×10×(10万-t)+0.03×20×(10万-t)，解得y(t)=-0.8t²+1000t+10万。2.最优组合：-社交推广需投入约333万元，广告投放167万元，新增用户约5万（需4.5个月）。3.成本上升调整：-若社交成本升至15元，需重新求解，社交推广占比下降。数据分析题题目4（20分）1.多项式回归：-拟合方程：PM2.5=50+6t+0.4排放+0.8季节权重，2027年预测值72.4μg/m³。2.影响分析：-工业排放影响更大（系数0.4），建议加强企业减排监管。3.政策情景：-排放减少20%后，预测值降至68.3μg/m³。题目5（20分）1.关联规则挖掘：-商品A→商品D（置信度78%），商品B→商品C（置信度72%）。2.营销启示：-捆绑商品A+D促销；将商品B与C相邻陈列。3.促销效果：-预计商品C销量提升15%，符