2025年大学电磁理论考试题及答案

2025年大学电磁理论考试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1.关于位移电流的物理意义，以下表述正确的是（）A.位移电流是真实的电荷定向移动形成的电流B.位移电流仅存在于电介质中，导体中不存在C.位移电流的引入使安培环路定理在时变场中保持形式不变D.位移电流的磁效应与传导电流不同2.均匀平面波在理想介质中传播时，电场强度E与磁场强度H的关系为（）A.E与H同相位，且E×H的方向为传播方向B.E与H相位差90°，且E·H=0C.E与H振幅比为介质的波阻抗η，方向垂直D.E的振幅是H的η倍，传播方向由E和H的叉乘决定3.理想导体表面的电磁场边界条件中，错误的是（）A.导体外表面切向电场强度Et=0B.导体外表面法向磁感应强度Bn=0C.导体外表面切向磁场强度Ht等于表面电流密度JsD.导体外表面法向电位移矢量Dn等于表面电荷密度ρs4.某均匀平面波的电场表达式为E=exE0cos(ωt−βz)+eyE0cos(ωt−βz+π/2)，其极化方式为（）A.线极化B.右旋圆极化C.左旋圆极化D.椭圆极化5.关于静电场的无旋性，以下推导正确的是（）A.由∇×E=0，可知E可表示为标量电位的梯度E=−∇φB.由∇·D=ρ，可知静电场是有源场，因此无旋C.静电场的无旋性仅适用于各向同性介质，各向异性介质中不成立D.无旋性意味着电场沿任意闭合路径的积分不一定为零二、填空题（每空2分，共20分）1.时谐场中，麦克斯韦方程组的微分形式为：∇×H=______，∇×E=______，∇·B=0，∇·D=ρ。2.良导体中电磁波的趋肤深度δ=______（μ为磁导率，σ为电导率，ω为角频率）。3.电介质的极化强度P与电场强度E的关系为______（χe为电极化率）。4.镜像法的核心思想是用______替代边界上的感应电荷或极化电荷，同时保持原问题的______不变。5.均匀平面波从空气（ε1=ε0，μ1=μ0）垂直入射到理想介质（ε2=4ε0，μ2=μ0）表面时，反射系数Γ=______，透射系数τ=______。6.时变电磁场中，坡印廷矢量S的定义为______，其物理意义是______。三、计算题（共50分）1.（12分）无限长带电圆柱壳，内半径a，外半径b，电荷体密度ρ=k/r（k为常数，a<r<b），圆柱壳外为真空。求空间各区域的电场强度分布（r<a，a<r<b，r>b）。2.（14分）已知时谐电磁场的电场强度在自由空间中为E=eyE0e−jβz（E0为常数，β=ω√(μ0ε0)），求：（1）对应的磁场强度H；（2）平均坡印廷矢量Sav；（3）若该电磁波垂直入射到z=0处的理想导体表面，写出反射波的电场和磁场表达式（假设反射波沿+z方向传播）。3.（14分）均匀平面波从空气（ε0，μ0）以入射角θi入射到理想介质（ε=9ε0，μ=μ0）表面，电场平行于入射面（p极化）。求：（1）布儒斯特角θB；（2）当θi=θB时，反射系数Γp；（3）若电磁波为s极化（电场垂直入射面），且θi=30°，求反射系数Γs和透射系数τs。4.（10分）频率f=10GHz的电磁波在铜（σ=5.8×107S/m，μ=μ0，ε=ε0）中传播，求：（1）趋肤深度δ；（2）波阻抗ηc；（3）衰减常数α（结果保留3位有效数字）。四、综合题（共15分）矩形波导的截面尺寸为a=2cm，b=1cm，填充介质为空气（ε0，μ0）。求：（1）TE10模的截止频率fc；（2）当工作频率f=10GHz时，TE10模的波导波长λg和相速度vp；（3）若波导内电场表达式为Ey=E0sin(πx/a)e−jβz，写出对应的磁场强度H的表达式（需明确各分量）。答案一、选择题1.C（位移电流的引入修正了安培环路定理，使其适用于时变场）2.A（理想介质中E与H同相位，叉乘方向为传播方向，振幅比为η）3.B（理想导体内部B=0，故外表面法向Bn=μ0Hn=0，但Hn不一定为0，Bn不一定为0）4.B（Ex和Ey振幅相等，相位差+π/2，沿+z传播时为右旋圆极化）5.A（无旋场的定义是旋度为零，可表示为标量场的梯度）二、填空题1.J+∂D/∂t；−∂B/∂t2.√(2/(ωμσ))3.P=χeε0E4.镜像电荷；边界条件5.(η2−η1)/(η2+η1)=(1/2−1)/(1/2+1)=−1/3；2η2/(η2+η1)=2×(1/2)/(1/2+1)=2/3（η=√(μ/ε)，空气η1=120π，介质η2=60π）6.S=E×H；单位时间内通过单位面积的电磁能量三、计算题1.解：（1）r<a时，取高斯面半径r，内部无电荷，∮D·dS=0→D=0→E=0。（2）a<r<b时，高斯面内电荷Q=∫a^rρ·2πr'·Ldr'=∫a^r(k/r')·2πr'Ldr'=2πkL(r−a)。由高斯定理：D·2πrL=2πkL(r−a)→D=k(r−a)/r→E=D/ε0=k(r−a)/(ε0r)。（3）r>b时，高斯面内电荷Q=∫a^bρ·2πr'Ldr'=2πkL(b−a)。由高斯定理：D·2πrL=2πkL(b−a)→D=k(b−a)/r→E=k(b−a)/(ε0r)。2.解：（1）由∇×E=−jωμ0H，E=eyE0e−jβz，∇×E=|exeyez||∂/∂x∂/∂y∂/∂z||0E0e−jβz0|=ex(∂E/∂z)−ez(∂E/∂x)=ex(−jβE0e−jβz)故−jωμ0H=ex(−jβE0e−jβz)→H=ex(βE0)/(ωμ0)e−jβz=ex(E0/η0)e−jβz（η0=√(μ0/ε0)=120π）。（2）Sav=1/2Re[E×H]=1/2Re[eyE0e−jβz×ex(E0/η0)e+jβz]=1/2Re[−ezE0²/η0]=−ezE0²/(2η0)（负号表示沿−z方向，但原波沿+z传播，可能符号错误，正确应为+z方向，可能计算时H的方向应为−ex？需重新检查：∇×E的z分量为∂Ey/∂x−∂Ex/∂y=0，x分量为∂Ey/∂z−∂Ez/∂y=−jβE0e−jβz，y分量为0，故∇×E=ex(−jβE0e−jβz)。由∇×E=−jωμ0H→H=(jβE0)/(ωμ0)exe−jβz=(β/ωμ0)exE0e−j(βz−π/2)，即H的相位比E滞后π/2，故H的瞬时表达式为Hx=(E0/η0)cos(ωt−βz−π/2)=(E0/η0)sin(ωt−βz)，因此E×H的瞬时值为eyE0cos(ωt−βz)×ex(E0/η0)sin(ωt−βz)=−ez(E0²/η0)cos(ωt−βz)sin(ωt−βz)，平均后Sav=−ezE0²/(2η0)，但实际传播方向应为+z，说明H的方向应为−ex，可能原假设E沿ey，传播沿+z时，H应沿−ex，故正确H=−ex(E0/η0)e−jβz，此时Sav=+ezE0²/(2η0)。（3）理想导体表面z=0处，总电场切向分量为0，入射波Ei=eyE0e−jβz，反射波Er=eyE0'ejβz（沿+z传播），总电场Et=Ei+Er=ey(E0e−jβz+E0'ejβz)。由边界条件Et(z=0)=0→E0+E0'=0→E0'=−E0，故反射波电场Er=−eyE0ejβz。反射波磁场Hr由∇×Er=−jωμ0Hr，Er=−eyE0ejβz，∇×Er=ex(∂Er/∂z)−ez(∂Er/∂x)=ex(jβE0ejβz)，故Hr=−ex(jβE0)/(ωμ0)ejβz=ex(E0/η0)ejβz（沿+z传播时，H的方向与传播方向满足E×H沿传播方向，即Er×Hr应沿+z，Er=−ey，Hr=ex，则−ey×ex=ez，正确）。3.解：（1）布儒斯特角θB=arctan(√(ε2/ε1))=arctan(√(9/1))=arctan(3)≈71.57°。（2）p极化时，θi=θB，反射系数Γp=0（布儒斯特角条件）。（3）s极化时，反射系数Γs=(η2cosθi−η1cosθt)/(η2cosθi+η1cosθt)，其中η1=η0，η2=η0/√(εr2)=η0/3，由折射定律sinθt=sinθi/√(εr2)=sin30°/3=1/6→θt≈9.594°，cosθt=√(1−(1/6)²)=√(35/36)=√35/6≈0.986。代入得Γs=((η0/3)cos30°−η0cosθt)/((η0/3)cos30°+η0cosθt)=(cos30°/3−cosθt)/(cos30°/3+cosθt)≈(0.866/3−0.986)/(0.866/3+0.986)≈(0.289−0.986)/(0.289+0.986)=−0.697/1.275≈−0.547。透射系数τs=2η2cosθi/(η2cosθi+η1cosθt)=2(η0/3)cos30°/((η0/3)cos30°+η0cosθt)=2cos30°/(cos30°+3cosθt)≈20.866/(0.866+30.986)=1.732/(0.866+2.958)=1.732/3.824≈0.453。4.解：（1）趋肤深度δ=√(2/(ωμ0σ))，ω=2πf=2π×10^10≈6.28×10^10rad/s，δ=√(2/(6.28×10^10×4π×10^−7×5.8×10^7))=√(2/(6.28×4π×5.8×10^10×10^−7×10^7))=√(2/(6.28×4×3.14×5.8×10^10))≈√(2/(4.56×10^12))≈√(4.38×10^−13)≈6.62×10^−7m=0.662μm。（2）波阻抗ηc=√(jωμ0/σ)=√(ωμ0/(2σ))(1+j)=δ√(ωμ0/2)(1+j)=δ(1/δ)(1+j)=(1+j)/σδ？正确公式：ηc=√(jωμ/σ)=√(ωμ/(2σ))(1+j)=R_s(1+j)，其中R_s=√(ωμ/(2σ))=1/(σδ)，代入数值：ηc=√(j×6.28×10^10×4π×10^−7/5.8×10^7)=√(j×(6.28×4π×10^3)/5.8×10^7)=√(j×(7.89×10^4)/5.8×10^7)=√(j×1.36×10^−3)=√(1.36×10^−3)×√j=0.0369×(1+j)/√2≈0.0261(1+j)Ω。（3）衰减常数α=√(πfμσ)=√(π×10^10×4π×10^−7×5.8×10^7)=√(π²×4×5.8×10^10×10^−7×10^7)=√(4π²×5.8×10^10)=2π×√(5.8×10^10)≈6.28×7.62×10^5≈4.79×10^6Np/m（另一种方法α=1/δ≈1/(6.62×10^−7)≈1.51×10^6Np/m，可能之前计算δ有误，正确δ=√(2/(ωμσ))=√(2/(2πf×4π×10^−7×σ))=√(1/(4π²fμσ))=1/(2π√(fμσ))，代入数值：f=10^10Hz，μ=4π×10^−7H/m，σ=5.8×10^7S/m，δ=1/(2π√(10^10×4π×10^−7×5.8×10^7))=1/(2π√(4π×5.8×10^10×10^−7×10^7))=1/(2π√(4π×5.8×10^10))=1/(2π×√(7.28×10^11))=1/(2π×8.53×10^5)=1/(5.36×10^6)≈1.87×10^−7m=0.187μm，则α=1/δ≈5.36×10^6Np/m，可能之前的δ计算错误，正确公式为δ=√(2/(ωμσ))=√(1/(πfμσ))，故α=√(πfμσ)=√(π×10^10×4π×10^−7×5.8×10^7)=√(4π²×5.8×10^10)=2π×√(5.8×10^10)=2π×7.62×10^5≈4.79×10^6Np/m（以正确公式为准）。四、综合题1.解：（1）TE10模的截止波数kc=π/a，截止频率fc=kc/(2π√(μ0ε0))=1/(2a√(μ0ε0))=c/(2a)（c=3×10^8m/s），a=2cm=0.02m，故fc=3×10^8/(2×0.02)=7.5×10^9Hz=7.5GHz。（2）工作频率f=10GHz>fc，波数β=√(k²−kc²)，k=2πf/c=2π×10^10/3×10^8≈209.4rad/m，kc=π/a=π/0.02≈157.1rad/m，β=√(209.4²−157.1²)=√(43848−24680)=√(19168)≈138.4rad/m，波导波长λg=2π/β≈2×3.14/138.4≈0.0454m=4.54cm，相速度vp=ω/β=2πf/β≈2π×10^10/138.4≈4.54×10^8m/s（大于光速）。（3）TE10模的电场只有Ey分量，磁场有Hx和Hz分量。由麦克斯韦方程∇×