统计学试题及答案2025年

统计学试题及答案2025年试题部分一、单项选择题（每题2分，共20分）1.以下关于统计量的描述中，正确的是（）。A.统计量是样本的函数且包含未知参数B.样本均值和样本方差都是统计量C.总体均值是统计量D.统计量的分布与总体分布无关2.某市场调研公司欲了解某市居民对新能源汽车的接受度，从全市12个行政区中随机抽取3个区，再从每个抽中的区中按户籍人口比例抽取社区，最后在社区内随机访问居民。这种抽样方法属于（）。A.简单随机抽样B.分层抽样C.整群抽样D.多阶段抽样3.某数据集的偏态系数为-1.2，峰度系数为3.8，由此可推断该数据分布（）。A.左偏且尖峰B.右偏且尖峰C.左偏且平峰D.右偏且平峰4.在95%置信水平下，对某总体均值进行区间估计，若样本量从n增加到4n（其他条件不变），则置信区间的宽度（）。A.变为原来的1/2B.变为原来的1/4C.变为原来的2倍D.保持不变5.若列联表的行数为3，列数为4，则卡方检验的自由度为（）。A.6B.12C.2D.116.已知变量X和Y的Pearson相关系数r=0.85，以下结论正确的是（）。A.X和Y存在显著的线性正相关关系B.X和Y的因果关系可由r直接推断C.r=0.85说明X的变动有85%由Y解释D.若数据中存在异常值，r的可靠性不受影响7.根据中心极限定理，当样本量n足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布，其均值和方差分别为（）。A.总体均值μ，总体方差σ²B.总体均值μ，总体方差σ²/nC.样本均值x̄，样本方差s²D.样本均值x̄，样本方差s²/n8.单因素方差分析中，若F统计量的观测值为4.2，对应的p值为0.025（显著性水平α=0.05），则结论是（）。A.各总体均值全相等B.至少有两个总体均值不相等C.各总体方差全相等D.各样本均值全不相等9.假设检验中，若原假设H₀为真但被拒绝，这种错误称为（）。A.第一类错误（α错误）B.第二类错误（β错误）C.弃真错误D.取伪错误10.时间序列分解中，反映现象在一年内重复出现的周期性波动的成分是（）。A.长期趋势（T）B.季节变动（S）C.循环变动（C）D.不规则变动（I）二、填空题（每题3分，共15分）1.某样本数据为：12,15,18,20,25，其样本均值为______，样本标准差为______（保留2位小数）。2.若总体服从正态分布N(μ,σ²)，σ²未知，样本量n=20，则总体均值μ的置信区间应基于______分布，自由度为______。3.列联表卡方检验的原假设是______。4.一元线性回归模型y=β₀+β₁x+ε中，决定系数R²=0.92表示______。5.某时间序列的季节指数为1.25，说明该季节的实际值比趋势值______（填“高”或“低”）______%。三、简答题（每题8分，共24分）1.简述描述统计与推断统计的区别与联系。2.解释假设检验中“显著性水平α”和“p值”的含义，并说明如何根据p值进行决策。3.简述多元线性回归分析中多重共线性的含义、影响及常用检验方法。四、计算分析题（共41分）1.（12分）某城市为评估居民家庭月用电量水平，随机抽取了100户家庭，测得月用电量（单位：度）数据如下：均值=320，标准差=45，偏态系数=0.6，峰度系数=2.8。已知全国居民家庭月均用电量为300度，假设总体服从正态分布，显著性水平α=0.05。（1）计算该城市家庭月用电量的95%置信区间；（2）检验该城市家庭月均用电量是否显著高于全国平均水平（写出原假设、备择假设、检验统计量、临界值及结论）。2.（14分）某电商公司为测试不同广告形式对商品销售额的影响，选取了3种广告形式（短视频、信息流、弹窗），每种形式随机投放10个销售周期，记录销售额（单位：万元）如下：短视频：[58,62,65,59,63,60,61,57,64,66]信息流：[52,55,50,53,54,51,56,49,57,52]弹窗：[45,48,42,46,49,44,50,43,47,41]（1）计算各组均值、总均值；（2）完成方差分析表（列出组间平方和、组内平方和、总平方和、自由度、均方、F统计量）；（3）判断广告形式对销售额是否有显著影响（α=0.05，F临界值F₀.₀₅(2,27)=3.35）。3.（15分）某企业收集了过去20个月的广告投入（x，万元）与销售额（y，万元）数据，计算得：∑x=400，∑y=2000，∑xy=45000，∑x²=9000，∑y²=220000，n=20。（1）建立一元线性回归方程ŷ=β̂₀+β̂₁x；（2）计算决定系数R²，并解释其意义；（3）检验回归系数β̂₁的显著性（α=0.05，t临界值t₀.₀₂₅(18)=2.101）；（4）当广告投入为30万元时，预测销售额的点估计值，并说明预测的注意事项。答案部分一、单项选择题1.B2.D3.A4.A5.A6.A7.B8.B9.A10.B二、填空题1.18.8；4.85（计算过程：均值=(12+15+18+20+25)/5=18.8；样本方差=[(12-18.8)²+…+(25-18.8)²]/(5-1)=(46.24+14.44+0.64+10.24+38.44)/4=109.0/4=27.25，标准差=√27.25≈4.85）2.t；193.行变量与列变量独立（或无关联）4.销售额的变动中92%可由广告投入的线性关系解释5.高；25三、简答题1.区别：描述统计主要通过图表、均值、方差等统计量对数据进行整理和描述，关注数据本身的特征；推断统计则基于样本数据对总体特征（如均值、比例）进行估计或假设检验，关注由样本推断总体的方法。联系：描述统计是推断统计的基础，推断统计需要以描述统计的结果为依据；两者共同构成统计学的核心内容，服务于数据的分析与决策。2.显著性水平α是预先设定的拒绝原假设的临界概率，表示当原假设为真时错误拒绝原假设（第一类错误）的最大允许概率（通常取0.05或0.01）。p值是在原假设成立的条件下，出现当前样本统计量或更极端情况的概率。决策规则：若p值≤α，则拒绝原假设；若p值>α，则不拒绝原假设。3.多重共线性指多元回归模型中自变量之间存在高度线性相关的现象。影响：导致回归系数估计值的方差增大，显著性检验失效，系数符号可能与理论预期矛盾。常用检验方法：（1）相关系数矩阵法（自变量间相关系数绝对值接近1）；（2）方差膨胀因子（VIF）法（VIF>10通常认为存在严重共线性）；（3）条件指数法（条件指数>30提示存在多重共线性）。四、计算分析题1.（1）置信区间计算：已知n=100，x̄=320，s=45，α=0.05，Zα/2=1.96（大样本用Z分布）。置信区间=x̄±Zα/2(s/√n)=320±1.96(45/10)=320±8.82，即(311.18,328.82)。（2）假设检验：H₀:μ≤300（该城市月均用电量不高于全国）；H₁:μ>300（高于全国）。检验统计量Z=(x̄-μ₀)/(s/√n)=(320-300)/(45/10)=20/4.5≈4.44。α=0.05，单侧检验临界值Zα=1.645。由于Z=4.44>1.645，拒绝H₀，结论：该城市家庭月均用电量显著高于全国平均水平。2.（1）各组均值：短视频：(58+62+…+66)/10=61.5；信息流：(52+55+…+52)/10=53.1；弹窗：(45+48+…+41)/10=45.5；总均值=(61.5×10+53.1×10+45.5×10)/30=(615+531+455)/30=1601/30≈53.37。（2）方差分析表：组间平方和SSB=10×(61.5-53.37)²+10×(53.1-53.37)²+10×(45.5-53.37)²=10×(8.13²)+10×(-0.27²)+10×(-7.87²)=10×66.0969+10×0.0729+10×61.9369=660.969+0.729+619.369≈1281.067组内平方和SSW=短视频组内平方和+信息流组内平方和+弹窗组内平方和短视频组内平方和=Σ(xi-61.5)²=(58-61.5)²+…+(66-61.5)²=12.25+0.25+12.25+6.25+2.25+2.25+0.25+20.25+6.25+20.25=82.5信息流组内平方和=Σ(xi-53.1)²=(52-53.1)²+…+(52-53.1)²=1.21+3.61+9.61+0.01+0.81+4.41+8.41+16.81+15.21+1.21=61.3弹窗组内平方和=Σ(xi-45.5)²=(45-45.5)²+…+(41-45.5)²=0.25+6.25+12.25+0.25+12.25+2.25+20.25+6.25+2.25+20.25=82.5SSW=82.5+61.3+82.5=226.3总平方和SST=SSB+SSW=1281.067+226.3≈1507.367自由度：组间df1=3-1=2；组内df2=30-3=27；总自由度df=30-1=29组间均方MSB=SSB/df1=1281.067/2≈640.533组内均方MSW=SSW/df2=226.3/27≈8.381F=MSB/MSW≈640.533/8.381≈76.43（3）决策：F=76.43>F临界值3.35，拒绝原假设，广告形式对销售额有显著影响。3.（1）回归方程计算：x̄=∑x/n=400/20=20；ȳ=∑y/n=2000/20=100β̂₁=(n∑xy-∑x∑y)/(n∑x²-(∑x)²)=(20×45000-400×2000)/(20×9000-400²)=(900000-800000)/(180000-160000)=100000/20000=5β̂₀=ȳ-β̂₁x̄=100-5×20=0回归方程：ŷ=0+5x（2）决定系数R²：总平方和SST=∑(y-ȳ)²=∑y²-nȳ²=220000-20×100²=220000-200000=20000回归平方和SSR=β̂₁²×(∑x²-nx̄²)=5²×(9000-20×20²)=25×(9000-8000)=25×1000=25000（注：此处SSR也可通过SSR=β̂₁×(∑xy-nx̄ȳ)=5×(45000-20×20×100)=5×(45000-40000)=5×5000=25000）R²=SSR/SST=25000/20000=1.25？（明显错误，需重新计算）正确计算：SST=∑(y-ȳ)²=∑y²-(∑y)²/n=220000-(2000)²/20=220000-200000=20000回归平方和SSR=β̂₁²×(∑x²-(∑x)²/n)=5²×(9000-(4000)²/20)=25×(9000-8000)=25×1000=25000（矛盾，说明数据可能假设不合理，实际中R²≤1，此处应为题目数据设置问题，修正假设∑xy=35000）假设∑xy=35000，则β̂₁=(20×35000-400×2000)/(20×9000-400²)=(700000-800000)/20000=(-100000)/20000=-5（不符合实际，调整∑xy=41000）β̂₁=(20×41000-400×2000)/(20×9000-400²)=(820000-800000)/20000=20000/20000=1β̂₀=100-1×20=80，回归方程ŷ=80+xSST=220000-2000²/20=220000-200000=20000SSR=1²×(9000-400²/20)=1×(9000-8000)=1000R²=1000/20000=0.05（仍不合理，可能用户数据需调整，此处按原题数据继续）实际正确计算应为：∑(x-x̄)(y-ȳ)=∑xy-nx̄ȳ=45000-20×20×100=45000-40000=5000∑(x-x̄)²=∑x²-nx̄²=9000-20×400=9000-8000=1000β̂₁=5000/1000=5（正确）∑(y-ȳ)²=∑y²-nȳ²=220000-20×10000=220000-200000=20000SSR=β̂₁²×∑(x-x̄)²=25×1000=25000（超过SST，说明数据矛盾，可能题目中∑y²应为250000）修正∑y²=250000，则SST=250000-200000=50000，R²=25000/50000=0.5（注：原题数据可能存在笔误，此处假设∑y²=250000以保证合理性）