9.2.3 《总体集中趋势的估计》教学设计

9.2.3《总体集中趋势的估计》教学设计一、概念理解平均数：一组数据的算术平均值，公式为\bar{X}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}。中位数：将数据按大小排列后，处于中间位置的数（或中间两数的算术平均数）。众数：一组数据中出现次数最多的数（或类别）。二、情境引入与概念应用（一）基础计算与结论推导若某影视作品首周7天票房（亿元）为：23.5,18.2,15.7,12.3,10.8,9.6,8.4，则平均数为23.5+18.2+15.7+12.3+10.8+9.6+8.47≈14.07，中位数为12.3，无众数（数据无重复若第8天票房为50亿元，新数据总和为98.5+50=148.5（亿元），平均数变为148.58≈18.56，中位数变为14.0（排序后中间两数为12.3和15.7，算术平均数为14.0结论：平均数受极端值影响大，中位数对极端值不敏感。一组关税税率数据为12%、15%、18%、22%、25%，其中位数为18%（排序后中间位置的数值）。随机抽取100人调查某影视作品观众年龄分布：12岁以下15人，1318岁32人，1925岁28人，2635岁18人，36岁以上7人，其众数为1318岁（出现次数最多的年龄组）。（二）判断正误（×）众数一定是数据中的某个具体值。（解析：分类数据的众数是类别名称，而非具体数值）（√）中位数的计算必须先对数据排序。（解析：中位数的定义依赖数据的有序排列）（√）平均数能反映数据的总体水平，但易受异常值干扰。（解析：平均数的算术特性导致其对极端值敏感）三、课堂探究（一）统计量的抗极端值特性探究例题分析某直播带货主体统计了近期5场直播的销售额（单位：元），误将第三场销售额7000元录成70000元。已知真实数据的平均数为7000元，中位数为7000元。计算错误录入后的统计量：真实数据总和：5×7000=35000（元）错误数据总和：35000−7000+70000=98000（元）错误平均数：980005=19600（错误中位数：假设真实数据排序为x1≤x2≤7000≤x4≤x5，错误数据排序为x1≤x2≤x4≤x5≤70000，中位数为x4（通常仍接近7000，具体值取对比结论：平均数的变化幅度更大，说明其抗极端值能力弱，中位数更稳健。（二）频率分布直方图中集中趋势的估计方法平均数：每个小矩形底边中点的横坐标与该小矩形面积（频率）的乘积之和。中位数：使直方图左右两侧面积均为0.5的横坐标（即累计频率达到0.5时的数值）。众数：直方图中最高矩形底边中点的横坐标（反映数据出现频率最高的区间中心）。实例：居民月均用水量频率分布直方图分析众数：最高矩形对应区间为4.27.2，区间中点为4.2+7.22=5.7，故众数估计值为5中位数：计算累计频率：前两组频率和为0.077×3+0.107×3=0.552>0.5，说明中位数落在第2组4.27.2设中位数为x，列方程：0.077×3+0.107×解得：x≈6.71平均数：各小组中点×频率×组距求和，计算得≈8.96（三）统计量的选择与应用场景1.情境适配选择描述“班级学生身高”：用平均数或中位数，理由：身高为数值型数据，分布通常较均匀，两者均能反映集中趋势。描述“学生选科倾向”：用众数，理由：选科为分类数据，核心关注最受欢迎的科目类别。2.误区分析某主体宣称“相关人员平均年收入20万元”，但实际多数人员收入在10万元左右。原因：存在少数高收入极端值，导致平均数被拉高（虚高）。结论：数据存在极端值时，中位数更能反映真实集中趋势；分类数据优先用众数；均匀分布的数值型数据用平均数或中位数。四、课堂练习统计5种进口商品的加征关税时，错把某商品25%的税率输成52%。已知原来5种商品税率的平均数为30%，求错误平均数与实际平均数的差值。（答案：5.4%）统计8部影视作品的评分时，错将某部作品8.0分输入为80分。已知原来8部作品的平均评分为7.5分，求错误平均数与实际平均数的差值。（答案：9.0分）已知200辆汽车通过某段公路时时速的频率分布直方图，求该组数据的众数、平均数和中位数。某城市相关部门随机选取100人就某公共服务推行情况进行问卷调查，根据频率分布直方图，求未知参数x的值、数据的平均数和中位数。五、课后作业（一）基础题一组数据为10,12,15,18,20，求其平均数、中位数和众数。（答案：平均数15，中位数15，无众数）若一组数据的平均数为10，中位数为8，分析该数据可能的分布形态。（提示：右偏分布，存在较大极端值）（二）提升题根据课本相关习题（频率分布直方图类），估计数据的众数、平均数和中位数。（三）拓展题调查班级同学的身高或体重数据，计算其平均数、中位数和众数，并结合数据分布特征分析哪个统计量更适合描述该组数据的集中趋势。六、知识对比与课堂小结统计量定义频率分布直方图中的估计方法适用场景优缺点平均数一组数据的算术平均值各小矩形面积×底边中点横坐标之和数值型数据、分布均匀优点：能反映数据整体水平；缺点：易受极端值影响中位数数据排序后处于中间位置的数值（或中间两数的算术平均数）左右两侧面积均为0.5的分界线横坐标数值型数据、偏态分布（存在极端值）优点：稳健性强，不受极端值影响；缺点：对数据细节反映不足众数数据中出现次数最多的数或类别最高矩形底边中点的横坐标分类数据、存在明显峰值的数值型数据优点：直观反映集中趋势，易理解；缺点：信息单一，可能不唯一或不存在七、检测题（一）选择题一组数据：2,3,5,5,7,8，其中位数是（）A.5B.5.5C.6D.7频率分布直方图中，众数的估计值是（）A.最高矩形左端点B.最高矩形中点C.所有矩形中点平均值D.无法确定（二）解答题某商场5天销售额（万元）记录为：10,12,15,1