第四单元两位数乘两位数：算理理解与算法建模-人教版三年级下册数学新授与衔接教学设计

第四单元两位数乘两位数：算理理解与算法建模——人教版三年级下册数学新授与衔接教学设计一、教学内容分析  从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，本课内容隶属于“数与代数”领域中的“数与运算”主题，是整数乘法运算学习的关键节点。在知识图谱上，它上承三年级上册“多位数乘一位数”与第四单元“两位数乘整十数”的口算基础，下启四年级“三位数乘两位数”乃至小数乘法运算的扩展，起着承前启后的枢纽作用。其核心在于引导学生从“运算能力”和“推理意识”两大素养维度进行深度学习。就过程方法而言，本课不仅是竖式算法的机械记忆，更是引导学生经历“点子图（直观模型）→横式（算理分解）→竖式（算法抽象）”的完整建模过程，深刻体验“转化”与“数形结合”的数学思想，将未知的“两位数乘两位数”转化为已学的“两位数乘一位数”和“两位数乘整十数”的组合。在素养价值层面，通过对算法背后算理的层层剖析，旨在培育学生严谨的思维习惯和乐于探究的科学态度，使其理解数学规则并非凭空而来，而是有据可依的逻辑体系，从而提升其数学学习的自信心与内在动力。  学情预判方面，学生已熟练掌握表内乘法、两位数乘一位数及整十数乘法的笔算与口算，具备初步的乘法分配律感性认识（如口算14×12时，会想到14×10+14×2），这为理解算理奠定了良好基础。然而，潜在的认知障碍可能在于：其一，对竖式中第二部分乘积的书写位置（为什么“末尾要与十位对齐”）理解困难，易产生机械记忆；其二，在综合应用时，易与加法、两位数乘一位数竖式混淆。因此，教学将采用“前测启思”策略，课始通过一道转化式口算题（如：“你能用以前的知识，想办法口算出23×14的结果吗？”）激活旧知、暴露思维原貌。在教学推进中，将通过“观察点子图分法—记录多种算法—对比沟通联系”的探究链条，辅以教师巡视、小组汇报、关键追问等形成性评价，动态诊断学生从直观到抽象的思维跨越情况。针对理解较快的学生，将引导其尝试解释算理、总结算法；针对存在困难的学生，则提供更长时间操作点子图、分步骤填空式学习单等“脚手架”，确保每位学生都能在自身认知起点上获得发展。二、教学目标  知识目标：学生能借助点子图等直观模型，清晰阐述两位数乘两位数（不进位）的算理，即将两位数拆分成整十数与一位数，分别相乘后再相加。在此理解基础上，能正确规范地书写两位数乘两位数的竖式计算过程，特别是理解并说明第二部分乘积的末位与十位对齐的缘由。  能力目标：在探索算法多样化的过程中，学生能够运用“先分后合”、“转化”的策略，将新问题转化为已解决的旧知，发展解决问题的策略性能力。同时，通过对比、归纳不同算法（口算、横式、竖式）之间的内在联系，提升其分析、比较与概括的数学思维能力。  情感态度与价值观目标：在小组合作探究与交流中，学生能乐于分享自己的思考方法，并认真倾听、辨析同伴的见解，体验算法多样化的魅力，感受团队智慧的力量，从而增强合作意识和学习数学的兴趣与自信。  科学（学科）思维目标：本课重点发展学生的“模型思想”与“推理意识”。引导其经历“具体情境（问题）—几何直观（点子图）—算式表征（横式、竖式）”的数学模型建构过程，并能有逻辑地推理出竖式每一步计算对应的实际意义，实现从具体操作到形式化符号运算的思维跨越。  评价与元认知目标：学生能依据“算理清晰、算法正确、书写规范”的简易量规，对自己或同伴的竖式计算过程进行初步评价。在课堂小结时，能回顾学习路径，反思“我是如何学会这个新知识的”，初步形成“联系旧知解决新知”的学习策略元认知。三、教学重点与难点  教学重点：两位数乘两位数（不进位）笔算乘法的算理理解与算法掌握。其确立依据源于课程标准对“运算能力”的核心要求，即不仅“会算”，更要“懂理”。算理是算法赖以成立的数学逻辑基础，深刻理解“为什么这样算”，是学生实现算法迁移、灵活应用乃至创新的前提，也是本单元乃至后续所有多位数乘法学习的基石。从学科大概念看，它深刻体现了“位值制”与“乘法分配律”的核心思想。  教学难点：理解竖式计算中第二部分乘积的书写位置（即其末位与十位对齐）的算理依据。难点成因在于其抽象性：学生从直观的点子图分块计算，过渡到抽象的竖式符号运算时，容易将第二部分乘积误认为是“第二部分乘数乘另一个乘数的个位”，从而与第一部分乘积的个位对齐。这需要突破从“第二部分的积代表多少个‘十’”到“在竖式中应写在十位上”的认知转换，是学生思维从具体走向形式化的关键挑战。四、教学准备清单1.教师准备 1.1媒体与教具：交互式课件（内含动态点子图拆分演示）、实物投影仪。 1.2学习材料：每人一份印有14×12点阵图的学习单、不同颜色彩笔、分层巩固练习卡。2.学生准备 复习两位数乘一位数、整十数乘两位数的笔算，准备直尺。3.环境布置 学生46人组成异质合作小组，黑板划分出“算法展示区”、“算理探究区”和“核心结论区”。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设，提出问题： 1.1（课件出示）学校为充实图书角，新购买了一批书籍。每套书有14本，我们年级一共买了12套。“同学们，你们能帮老师算一算，一共买了多少本书吗？”列出算式：14×12。 1.2“14乘12，这个算式和我们以前学的乘法有什么不一样？”（引导学生发现是“两位数乘两位数”）“对，这是我们没学过的新问题！那能不能用我们已有的‘武器’——学过的乘法知识，来攻克这个新堡垒呢？”2.激活旧知，明确路径： 2.1先让学生独立思考片刻，尝试口算。可能有的学生想到14×10+14×2。 2.2教师肯定：“这个想法很棒，把12套拆成10套和2套来想，转化成了我们学过的乘法！今天，我们就一起当一回数学探险家，借助‘点子图’这个神奇的地图，深入探索14×12的奥秘，不仅要找到结果，更要搞清楚计算背后的道理，最终掌握笔算的新本领。”第二、新授环节任务一：点子图上的“分”与“算”——直观感知算理1.教师活动：教师下发学习单（14×12的点子图），提出问题：“大家先自己试试，能不能把12×14在点子图上‘画’出来？”巡视，发现学生可能将12列分成10列和2列。邀请一名学生上台，用不同颜色彩笔在实物投影下分一分、圈一圈，并引导其说出：“我把12套分成了10套和2套，先算10套是14×10=140本，再算2套是14×2=28本，最后加起来是168本。”教师板书对应横式：14×12=14×10+14×2=140+28=168。“还有不同的分法吗？”可能引导发现也可以按行分（把14行分成10行和4行）。2.学生活动：独立观察点子图，尝试用彩笔进行分割，并思考对应的算式。聆听同伴分享，理解不同的分割策略及其对应的计算过程。尝试用语言描述自己的分法与算法。3.即时评价标准：1.分割方式是否清晰合理，能对应乘法的意义。2.能否将分割后的图形与正确的乘法算式（包括乘整十数）相对应。3.表达时是否尝试说明“先算…再算…最后算…”的逻辑顺序。4.形成知识、思维、方法清单： ★核心算理（转化策略）：计算两位数乘两位数，可以将其中的一个乘数拆分成一个整十数和一个一位数，分别与另一个乘数相乘，再把两次乘得的积相加。（教学提示：这是本课所有算法共同的“魂”，务必让每个学生通过操作真切感受到。） ▲算法多样化：点子图的分割方法可以不同（分乘数12或分乘数14），但都体现了“先分后合”、“化新为旧”的数学思想。 ●图形与算式的对应：点子图中的每一块区域，都对应着一个乘法算式及其结果，这是数形结合的直观体现。任务二：从“形”到“式”——横式记录思维过程1.教师活动：承接任务一，教师指向板书上的横式14×10+14×2。“刚才我们在点子图上分、圈、算的过程，可以用这样的横式清清楚楚地记录下来。这个横式就像我们思考的‘剧本’。”“请大家仔细观察这个横式，想一想，140和28这两个积，在刚才的点子图上分别指的是哪一部分？”引导学生再次建立对应关系。接着，教师呈现另一种分割法（分14）得到的横式：12×14=12×10+12×4=120+48=168。“对比这两种横式，它们有什么共同点？”引导学生发现都是“一拆、两乘、一加”。2.学生活动：对照点子图和横式，加深对每一步计算实际意义的理解。比较两种横式，在教师引导下归纳其共同的计算策略结构。3.即时评价标准：1.能否准确指出横式中每个数字在点子图中的对应部分。2.能否发现不同横式背后统一的“拆分分别相乘相加”的思维模式。4.形成知识、思维、方法清单： ★横式的桥梁作用：横式是连接直观模型（点子图）与抽象算法（竖式）的中间桥梁。它清晰地记录了计算的心理过程。 ●算理的形式化表达：横式14×12=14×10+14×2，是乘法分配律（a+b)×c=a×c+b×c）在具体算例中的早期孕伏，不必提及术语，但需体会结构。任务三：竖式的“诞生”——算法的抽象与优化1.教师活动：这是突破难点的关键步骤。教师提出挑战：“横式能记录我们的思考，但数学家们追求更简洁、通用的记录方式——竖式。我们能不能试着把14×10+14×2这个思考过程，‘装’进一个竖式里呢？”首先，教师带领学生回顾两位数乘一位数的竖式写法，写出14×2的竖式，得到28。“那么，14×10在竖式里该怎么表示呢？”学生可能知道结果是140，但如何写在竖式里？教师引导学生思考：14×10就是14个十，得140，也就是14个十。“在竖式中，140的4（代表4个十）应该写在哪一位上？”学生讨论后明确应写在十位上。教师规范书写：将14×10的竖式（第二层）理解为先用十位上的1去乘14，得14个十，末尾的0暂时不写，4对齐十位，1写在百位。然后将两个积（28和140）相加的竖式过程完整呈现。2.学生活动：跟随教师引导，尝试将横式的两步计算迁移到竖式中。重点讨论第二部分积的书写位置，理解“4对齐十位”是因为它表示“4个十”。观察完整竖式的形成过程，并与横式每一步进行对照。3.即时评价标准：1.能否在教师引导下，将第二部分积“140”正确地书写在竖式中的相应位置（末位对齐十位）。2.能否口头或用手指指出竖式中每一步计算对应横式中的哪一部分。4.形成知识、思维、方法清单： ★竖式书写规范（难点突破）：用第二个乘数十位上的数去乘第一个乘数时，乘得的积的末位要和第二个乘数的十位对齐。因为此时乘得的是多少个“十”。（教学提示：此处必须慢下来，结合点子图的“十列”区域和横式的“×10”反复讲透。） ★完整竖式步骤：1.相同数位对齐；2.先用个位上的数去乘；3.再用十位上的数去乘，积的末位对齐十位；4.把两次乘得的积加起来。任务四：勾连与沟通——深化学法融通1.教师活动：将点子图、横式、竖式并列呈现在黑板或课件上。“现在我们有了三种‘兵器’：点子图、横式和竖式。它们之间有什么联系呢？请小组讨论，找找看竖式里的‘28’、‘140’分别藏在点子图的哪里、对应横式的哪一步？”组织小组汇报，教师用箭头勾连三者关系。最后总结：“点子图让我们‘看见’道理，横式让我们‘说清’过程，竖式为我们提供‘简洁高效’的工具。它们血脉相通，核心思想都是‘先分后合’。”2.学生活动：以小组为单位，合作探究三种表征方式之间的内在联系，指一指、说一说。派代表进行汇报，在全班分享中发现的一致性与关联性。3.即时评价标准：1.小组讨论是否围绕核心问题展开，成员间是否有交流与补充。2.汇报时能否清晰、准确地在三种表征间建立对应关系。4.形成知识、思维、方法清单： ★多元表征间的联系：数学知识可以用多种方式（直观、符号、语言）表示，理解这些表示方式之间的联系是深化理解的关键。 ●学习方法的提炼：遇到新问题，可以尝试“联系旧知—借助直观（模型）—探索方法—抽象概括”的学习路径。任务五：初次尝试与格式巩固1.教师活动：出示例题巩固：21×13。“现在，请同学们独立尝试用竖式计算。完成后再思考：竖式中的‘63’和‘21’分别是怎么得到的？它们各表示多少？”巡视指导，重点关注第二步积的书写位置和数位对齐。选取一份正确和一份典型错误（如第二部分积末位对齐了个位）的作业进行投影对比讲评。“大家来做小法官，看看哪份作业正确，错在哪里？为什么？”2.学生活动：独立完成竖式计算21×13。对照问题反思每一步的意义。参与集体评议，辨析错误原因，巩固正确书写格式。3.即时评价标准：1.竖式计算过程是否规范、正确。2.能否解释竖式中每一步乘积的实际数值意义（如“21”表示21个十，即210）。4.形成知识、思维、方法清单： ●易错点警示：第二部分乘积的末位对齐错误是最常见的错误，根源在于对“乘的是十位上的数，得到的是多少个十”理解不清。 ★检验理解的标准：不仅要求计算正确，还要求能说出竖式中每个数字所代表的实际数量。这是检验算理是否真懂的试金石。第三、当堂巩固训练  设计分层练习，学生根据自身情况至少完成A层，鼓励挑战B、C层。 A层（基础应用）：完成课本“做一做”中的基本竖式计算题，如23×13、33×31。要求书写规范，并口头说一说第二部分积表示什么。 B层（综合理解）：解决简单实际问题，如“一盒彩笔有24支，老师买了12盒，一共多少支？”要求列竖式计算，并说明算式中关键数字的含义。 C层（挑战推理）：1.纠错题：出示一道第二步积对位错误的竖式，请学生诊断并改正。2.思维拓展：不计算，判断下面各题积的十位上是几？31×23，24×12。（引导学生从个位相乘可能进位来分析） 反馈机制：学生完成后，首先在小组内交换检查A层作业，依据“数位对齐、计算正确、书写工整”进行互评。教师巡视收集B、C层的典型解法与共性疑问，进行集中投影讲评，重点反馈算理表述的准确性和解决问题策略的合理性。“刚才巡视时，老师发现很多同学对‘判断积的十位’特别有兴趣，我们请有想法的同学来分享一下他的推理秘诀。”第四、课堂小结  知识整合：“同学们，今天的数学探险之旅即将结束，我们收获了哪些重要的‘宝藏’呢？请大家闭上眼睛回忆一下，或者用一两句话告诉你的同桌。”随后，邀请几位学生分享，教师适时补充，并引导学生共同完成黑板的“核心结论区”，形成以“算理（转化）→算法（竖式步骤）→关键点（对位）”为主干的结构化板书。 方法提炼：“回想一下，我们今天是怎么学会‘两位数乘两位数’这个新知识的？”引导学生回顾从点子图操作到竖式抽象的全过程，提炼“借助直观理解算理，抽象概括掌握算法”的学习方法。 作业布置与延伸：公布分层作业：1.必做（基础）：完成练习册中关于不进位乘法的基本计算题。2.选做（拓展）：（1）生活小调查：寻找一个生活中用到两位数乘两位数计算的实际例子，记录下来并计算。（2）数学小探究：尝试用竖式计算12×14，并思考与今天学的14×12在计算过程中有什么异同？“预习小提示：今天我们研究的是不进位乘法，如果计算中出现了进位，竖式又该注意什么呢？大家可以带着这个问题预习下一课。”六、作业设计 基础性作业（必做）： 1.竖式计算：32×11=，22×13=，21×34=，23×33=。 2.改正错误：指出并改正下面竖式中的错误（设计一个第二步积对位错误的例子）。 3.说理题：选择一道你完成的竖式计算题，向家人或同学解释第二步乘积的末位为什么要和十位对齐。 拓展性作业（建议大部分学生完成）： 情境应用题：学校举行广播操比赛，三年级每班有24名学生参加，共有12个班。参加比赛的学生一共有多少名？请用竖式计算，并写出答案。 探究性/创造性作业（学有余力学生选做）： 1.编制问题：请你当小老师，创设一个用“31×12”解决的实际生活问题，并解答。 2.算法探究：除了今天学的竖式方法，你还能想出其他方法来计算31×12吗？（可以画图、列不同的横式等），比较一下，你更喜欢哪种方法？为什么？七、本节知识清单及拓展 ★核心概念：两位数乘两位数（不进位）笔算乘法：指用竖式计算两个两位数相乘，且乘的过程中不需进位的特定类型，是学习更复杂乘法的基础。 ★算理（转化的思想）：把两位数乘两位数转化为“两位数乘整十数”和“两位数乘一位数”这两个已学知识，再求和。例如，14×12可看作14×10和14×2的和。 ★竖式算法步骤：1.相同数位对齐；2.用第二个乘数的个位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和个位对齐；3.用第二个乘数的十位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和十位对齐；4.把两次乘得的数相加。 ●关键易错点：第二步用十位上的数去乘时，乘得结果的末位必须与十位对齐。这是本课最难理解之处，因为它表示的是多少个“十”。 ●点子图的作用：一种直观模型，通过分割点子图，可以清晰“看到”算理，将抽象的数学计算可视化，是理解算理的重要工具。 ▲横式与竖式的联系：横式（如14×12=14×10+14×2）清晰展示了思维过程，竖式是对这一过程的简洁、规范化记录。两者本质相通。 ★乘法与位值：竖式计算深刻依赖于位值制。个位乘得的是多少个“一”，十位乘得的是多少个“十”，书写时必须对齐相应的数位。 ●检验计算的方法：除了重新算一遍，可以估算（如14×12约等于10×10=100，结果168合理），也可以交换乘数位置再乘（未正式学交换律，但可直觉感知）。 ▲算法多样化与优化：计算14×12，可以通过分12（14×10+14×2），也可以通过分14（10×12+4×12），方法不同，结果相同。竖式是经过优化的通用、简洁算法。 ●书写格式规范：使用直尺画横线，数字大小适中，数位严格对齐，保持作业整洁，是培养严谨数学态度的细节。 ▲为后续学习奠基：理解不进位乘法的算理，是学习进位乘法、三位数乘两位数乃至小数乘法的思维基础。“先分后合”、“位值对齐”的思想将一以贯之。八、教学反思  （一）目标达成度分析本节课预设的核心目标是算理理解与算法掌握。从课堂观察和当堂巩固练习反馈来看，约80%的学生能正确完成不进位乘法竖式，并能基本表述“第二部分积对齐十位是因为乘的是十位”。在小组汇报“勾连三种表征”任务时，学生的准确指认表明数形结合思想得到了较好渗透。然而，在快速计算练习中，仍有少数学生出现对位失误，说明算理内化为自动化技能仍需后续练习巩固。情感目标方面，学生在点子图操作和算法交流中表现出较高兴趣，合作有序。  （二）教学环节有效性评估导入环节的生活情境能快速聚焦问题，但“是否可以从学生更熟悉的‘班级座位排列’（每行14人，共12行）切入，数学味更浓，与点子图的衔接也更无缝？”新授环节的五个任务构成了稳固的认知支架。任务三（竖式诞生）是重中之重，放慢节奏、结合横式反复追问“这个4代表什么？该写在哪？”是有效的。任务五的对比纠错抓住了典型问题，生成性资源利用得好。但任务四的小组讨论时间稍显仓促，部分小组仅停留在表面