八年级数学上册（北师大版）第2章 实数 第1课时：二次根式及其乘除运算的引入

八年级数学上册（北师大版）第2章实数第1课时：二次根式及其乘除运算的引入一、教学内容分析

本节课隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数与代数”领域“数与式”主题。从知识图谱看，“二次根式”是“数的开方”知识的直接延伸，也是从有理数式向无理数式扩展的关键节点，为后续学习勾股定理、一元二次方程、函数等知识提供了必要的运算工具，在初中数学知识体系中起着承上启下的枢纽作用。课标要求“了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算”。这不仅明确了知识技能目标——掌握概念与运算法则，更蕴含了“从具体到抽象”的数学建模思想，以及“从特殊到一般”的归纳推理方法。其素养指向明确：通过对√a（a≥0）这一数学符号的抽象与理解，发展学生的数学抽象与符号意识；通过探究乘除法则，强化逻辑推理与运算能力；在解决实际背景问题的过程中，初步建立模型观念，感悟数学的简洁与实用价值。

学情方面，学生已掌握平方根、算术平方根的概念及表示方法，具备一定的代数式认知基础。然而，从具体的“数的开方”过渡到抽象的“二次根式”概念，学生可能存在认知障碍，容易忽视被开方数的非负性这一隐含条件。同时，将√a视为一个整体进行运算，需要克服算术平方根“结果优先”的思维定势。在教学过程中，我将通过设计层层递进的问题链和探究活动，如“这些式子有什么共同特征？”来动态诊断学生的概念建构水平；通过观察小组讨论中学生的举例与辨析，即时评估其对概念外延的理解深度。针对理解较快的学生，将引导其探究法则的几何解释或更复杂的变形；对于存在困难的学生，则通过具体的数字例子进行铺垫，搭建从具体到抽象的“脚手架”，确保不同认知起点的学生都能获得适宜的发展路径。二、教学目标

知识目标：学生能准确叙述二次根式的定义，并能结合具体实例解释被开方数非负性的必要性；能识别二次根式，并理解√a（a≥0）是一个非负数的代数表示；能通过探究归纳出二次根式的乘法法则√a·√b=√ab（a≥0，b≥0），并初步了解除法法则的类比路径。

能力目标：学生能够从一组包含√的代数式中抽象出二次根式的共同本质特征，发展数学抽象能力；能通过计算、观察、猜想、验证（如利用算术平方根定义或几何画板）等数学活动，自主或合作探究出乘法法则，并进行简单的应用计算，提升归纳推理和运算能力。

情感态度与价值观目标：在探究数学规律的过程中，学生能体验发现的乐趣，感受数学的严谨性与和谐美；在小组合作与交流中，能勇于表达自己的观点，并认真倾听、理性接纳同伴的见解，形成积极协作的学习态度。

科学（学科）思维目标：重点发展学生的抽象思维与归纳推理能力。通过设置“观察共性下定义举例辨析探究运算规律”的完整探究链条，引导学生经历从具体实例中抽象数学概念、从特殊运算结果中归纳一般法则的完整思维过程，体会数学研究的典型方法。

评价与元认知目标：引导学生建立“概念双要素”（形式特征与隐含条件）的辨析习惯。在课堂小结时，鼓励学生对比平方根与二次根式的异同，反思概念学习的要点；在练习后，能依据运算法则和运算律检查计算过程的合理性，初步形成自我监控的元认知意识。三、教学重点与难点

教学重点：二次根式概念的建立及其乘法法则的理解与应用。确立依据在于，概念是思维的细胞，清晰的概念是进行一切运算和推理的前提。从课标看，“二次根式”是“数与式”主题下的核心概念之一；从学业评价看，二次根式的概念辨析和乘除运算是后续代数综合运算的基础，也是中考考查代数式运算能力的常见考点。深刻理解概念及乘法法则，能为后续学习除法、加减法及混合运算奠定坚实的逻辑基础。

教学难点：难点之一是学生对二次根式双重非负性（√a≥0，a≥0）的全面理解，尤其是√a作为“一个整体”所代表的非负数含义。难点之二是乘法法则的探究与理解过程，学生可能难以主动建立起“两个二次根式相乘”与“被开方数相乘”之间的逻辑联系。预设依据源于学情：学生之前接触的算术平方根侧重于运算结果，现在需将其视为一个运算对象（式子），思维层次需要提升；法则的探究需要逆向使用算术平方根的定义（(√a)^2=a），这对学生的代数变形与逻辑推导能力提出了挑战。突破方向在于用具体数字铺路，用几何直观辅助，并设计关键性问题引导学生发现规律。四、教学准备清单1.教师准备

1.1媒体与教具：教学课件（内含实际问题情境、概念辨析例题、探究活动指引）；几何画板软件（用于动态演示面积模型，验证乘法法则）。

1.2文本资源：设计并印制《课堂学习任务单》，包含探究记录表、分层巩固练习题和课堂小结框架。2.学生准备

复习平方根及算术平方根的定义与性质；准备练习本、笔。3.环境布置

黑板预先划分出“概念区”、“探究区”和“范例区”；学生按4人异质小组就座，便于合作探究。五、教学过程第一、导入环节

1.情境创设：同学们，我们已经知道如何求一个数的平方根。现在，请思考一个实际问题：“一个正方形的面积为5平方米，它的边长是多少米？”如果面积是S平方米呢？大家能快速列出式子吗？对，边长是√5米，更一般地，是√S米。像√5，√S这样的式子，我们在研究勾股定理时也见过类似的身影，它们就是我们今天要结识的数学王国里的新朋友。

1.1问题提出：仔细观察√2，√7，√S(S≥0)，√(a^2+1)，它们看起来都和“√”有关。那么，究竟什么样的式子才能被称为“二次根式”呢？它和我们学过的“算术平方根”有什么联系和区别？这些二次根式之间能否进行乘法、除法运算？运算的规则又会是怎样的？

1.2路径明晰：今天这节课，我们就沿着“发现特征、定义概念——深入理解、把握关键——动手探究、发现规律——初步应用、巩固新知”这条线索，一起揭开二次根式的神秘面纱，并探索它们乘除运算的奥秘。第二、新授环节任务一：唤醒旧知，感知共性

教师活动：首先，我会在屏幕上展示一组式子：√4，√2，√7，√9，√S(S≥0)，√(a^2+1)，√(1)。然后提问：“请大家快速计算其中算术平方根形式明确的那些值。再整体观察，从形式上找找这些式子的共同点和不同点？”接着，我会引导学生聚焦于“√”这个符号和它下面的部分（被开方数），并追问：“哪些式子给你‘确定’的感觉？哪个式子让你觉得‘有问题’？为什么？”通过讨论√(1)，自然引出被开方数的范围问题。

学生活动：学生独立计算√4、√9等值，并观察所有式子。他们会在小组内交流观察结果，可能指出“都带根号”、“根号下面是数或式子”。在教师引导下，他们会发现√(1)没有意义，从而意识到根号下的数（或式子）不能是负数。学生尝试用语言描述这些“有意义”的式子的共同特征。

即时评价标准：1.能否准确计算出已学过的算术平方根。2.观察是否全面，能否从具体数值计算上升到形式特征概括。3.能否敏锐发现√(1)的异常，并联系旧知（负数没有平方根）解释原因。

形成知识、思维、方法清单：★回顾核心：算术平方根√a（a≥0）表示一个非负数，其平方等于a。▲观察起点：数学概念常从一系列具有共同特征的实例中抽象得出。关键辨析：式子√1无意义，因为没有任何实数的平方等于1。这提示我们，考虑二次根式，首先要关注被开方数的符号。任务二：抽象特征，生成概念

教师活动：在任务一讨论基础上，我会总结：“大家发现了吗？这些式子有个共同的特征：都含有‘√’，并且根号下的数或式子都是非负的。”随即，我给出二次根式的标准定义：“形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。”并板书，强调“形如”和“a≥0”这两个关键点。然后我会提问：“‘a’可以代表什么？谁能举出几个二次根式的例子？谁能举一个‘形似’但‘不是’二次根式的反例？”通过正反例辨析，深化理解。我还会说：“注意了，√a本身就是一个整体，它代表一个非负数。”

学生活动：学生聆听定义，并记录关键点。随后积极举手举例，如√5，√0.3，√(x^2+2)等。也会尝试举反例，如√(2)，√a（未说明a≥0）。在举例和辨析中，内化概念的两个要素：一是含有二次根号，二是被开方数非负。

即时评价标准：1.所举正例是否符合定义的两个要素。2.所举反例是否能准确针对“被开方数非负”这一条件进行否定。3.能否用数学语言（“因为…所以…”）清晰地解释例子为何是或不是二次根式。

形成知识、思维、方法清单：★核心概念：二次根式定义：形如√a（a≥0）的式子。其中“a”可以是数，也可以是表示非负数的代数式。理解关键：定义包含两个不可或缺的要素：形式特征（√）和隐含条件（a≥0）。思想方法：从具体实例中抽象共同本质特征，是定义数学概念的基本路径。任务三：概念辨析，深化理解

教师活动：我将出示一组辨析题：判断下列各式哪些是二次根式？(1)√3(2)√(3)(3)√(x^2)(x为实数)(4)√(a1)(5)√(1/4)。先让学生独立思考判断，然后重点聚焦于有争议的(3)和(4)。对于(3)，我会追问：“√(x^2)一定是二次根式吗？x^2本身有什么性质？无论x取何值，x^2会小于0吗？”对于(4)，则问：“√(a1)要成为二次根式，对a有什么要求？”引导学生得出“被开方数整体非负”的结论。最后强调：“判断时，要像侦探一样，紧紧抓住被开方数这个‘关键线索’，看它是否非负。”

学生活动：学生独立完成判断，并对(3)(4)展开小组讨论。他们需要运用已有的代数知识（如平方的非负性）来分析x^2的取值范围，从而判断√(x^2)始终有意义，是二次根式。对于√(a1)，他们需要解不等式a1≥0，得出a≥1时才是二次根式。通过辨析，深刻理解“a≥0”中“a”可以是代数式，且该代数式的值需大于等于零。

即时评价标准：1.对(1)(2)(5)能否快速准确判断。2.对(3)的讨论，能否逻辑清晰地论证x^2≥0恒成立。3.对(4)的分析，能否将“是二次根式”的条件转化为关于字母的不等式。

形成知识、思维、方法清单：★深化理解：判断一个式子是否为二次根式，终极标准是看被开方数（整体）是否非负。易错警示：√(a^2)是二次根式，因为a^2≥0恒成立；但√a不一定是，需附加条件a≥0。方法迁移：遇到被开方数是字母表达式时，需将其取值范围作为判断条件。任务四：合作探究，发现乘法法则

教师活动：我将提出核心探究问题：“现在我们认识了二次根式，它们之间如何运算呢？先看乘法。计算√4×√9和√(4×9)，你发现了什么？再尝试几组：√16×√25和√(16×25)；√2×√8和√(2×8)。猜一猜，对于一般的二次根式√a和√b（a≥0，b≥0），√a×√b等于什么？”组织学生以小组为单位，利用《任务单》上的表格进行计算、观察和猜想。待学生提出猜想√a·√b=√(ab)后，我会追问：“这只是一个由特殊例子归纳的猜想，如何证明它对于所有符合条件的a、b都成立呢？谁能根据我们最根本的定义——算术平方根的意义来验证？”引导学生思考：(√a·√b)^2=?，√(ab)^2=?。同时，我会用几何画板动态展示：构造两个面积分别为a和b的正方形，其边长分别为√a和√b，那么以它们边长为邻边的矩形面积就是√a·√b，而这个矩形的面积又等于√(ab)为边长的正方形的面积吗？从而从代数验证和几何直观双线佐证法则。

学生活动：学生分组进行计算、填表、对比。他们很容易从具体数字运算中发现规律，并大胆提出猜想。在教师引导下，优生可以尝试进行代数证明：(√a·√b)^2=(√a)^2·(√b)^2=ab；同时(√(ab))^2=ab。根据“两个非负数的平方相等，则这两个数相等”，推导出√a·√b=√(ab)。所有学生通过观察几何画板的动态演示，直观感受法则的合理性。最后，学生齐读并默记法则。

即时评价标准：1.小组计算是否准确，观察是否细致，能否从数据中提炼出有效猜想。2.能否理解或跟随教师引导，领悟代数证明的思路（利用算术平方根的定义进行逆推）。3.小组内部是否分工明确，每位成员都参与了计算、观察或讨论。

形成知识、思维、方法清单：★核心法则：二次根式乘法法则：√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）。语言表述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。★思维提升：法则的探究经历了“特殊计算→观察归纳→提出猜想→逻辑证明/直观验证”的完整科学探究过程。方法精髓：代数证明的关键在于利用“(√x)^2=x”这一根本性质，通过比较平方来证明原式相等。任务五：法则初用，形成技能

教师活动：我将出示初步应用例题：计算(1)√5×√7(2)√(1/3)×√27。首先让学生口答第(1)题，强调直接应用法则。第(2)题让学生先独立完成，我巡视指导，重点关注学生是否能正确识别被开方数并运用法则。请一位同学板演后，我会引导大家观察结果√9，并提问：“√9已经是最简形式了吗？我们是否还可以对它进行化简？这提醒我们，运用法则计算后，结果要尽量化简。”同时，我会将法则反向书写：√ab=√a·√b（a≥0，b≥0），并说明这可以用于二次根式的化简，为下节课埋下伏笔。“看，这个法则可是能‘双向通车’的！”

学生活动：学生独立完成计算。对于(2)，部分学生可能先算出√(1/3×27)=√9=3；也可能先分别计算√(1/3)和√27再相乘，但过程较繁。通过比较，体会直接用法则的简便。聆听教师讲解，理解“结果要化简”的要求，并初步感知法则的逆向运用。

即时评价标准：1.是否能正确书写计算过程，准确应用乘法法则。2.是否具备化简计算结果的意识。3.是否能跟上教师的思路，理解法则的逆向表述。

形成知识、思维、方法清单：★应用要点：运用乘法法则进行计算时，先确认被开方数非负，再直接将被开方数相乘。★优化意识：计算得到的二次根式，应检查是否为最简二次根式（此处暂提概念），养成化简的習慣。▲前瞻联系：法则的逆用√ab=√a·√b是化简二次根式的重要工具，下节课将深入研究。第三、当堂巩固训练

本环节设计分层练习题，所有学生完成A组，大多数学生挑战B组，学有余力者探究C组。

A组（基础巩固）：1.下列式子中，是二次根式的有______。（精心设计含√(x)（x>0）、√(π)等辨析题）2.计算：(1)√2×√3(2)√6×√(1/2)(3)√(12)×√3。

B组（综合应用）：3.已知x为实数，满足条件______时，√(2x4)是二次根式。4.计算：√(8x^3)·√(2x)（x≥0）。

C组（拓展挑战）：5.不用计算器，比较√5×√7与√(35)的大小，并说明理由。你能设计一个几何图形来解释√a·√b=√(ab)吗？（提示：参考课本或教师展示的几何画板模型）

反馈机制：学生独立练习时，教师巡视，个别指导。完成后，通过投影展示A组、B组有代表性的答案（包括正确和典型错误）。对于A组第1题，组织快速集体订正；对于计算题，请学生讲解思路，并强调书写规范。B组第4题涉及字母，请学生分析x≥0条件的必要性。C组作为思考题，请有想法的同学简要分享，不作为统一要求。通过同伴互评和教师精讲，确保核心知识当堂落实。第四、课堂小结

引导学生从以下三个方面进行自主总结与反思：

1.知识整合：“请用一句话说出你今天学到的最重要的一个知识点是什么？”（二次根式的定义或乘法法则）。“能否在练习本上画一个简单的思维导图，把‘二次根式’这个概念，和它的判断方法、乘法法则联系起来？”

2.方法提炼：“回顾一下，我们是如何‘发现’乘法法则的？经历了哪几个步骤？这种从特殊到一般的探究方法，还可以用在以后学习哪些知识上？”

3.作业布置与延伸：

必做作业（基础）：课本对应节次的基础练习题，着重巩固概念判断和简单乘法计算。

选做作业（拓展）：（1）仿照乘法法则的探究过程，尝试探索二次根式的除法法则√a÷√b=？（a≥0，b>0）。（2）寻找生活中可以用二次根式表示数量关系的实例（如前面提到的正方形边长问题）。

“带着今天的收获和疑问，我们下节课将继续研究二次根式的除法和化简。”六、作业设计

1.基础性作业（全体必做）：

（1）教材P41随堂练习第1题（二次根式概念辨析）。

（2）教材P41习题2.1第1题（计算），第2题（概念应用）。

（3）整理课堂笔记，默写二次根式定义及乘法法则。

2.拓展性作业（建议大多数学生完成）：

（1）已知√(3x)是二次根式，求实数x的取值范围。

（2）计算：①√(18)×√(2)②√(5a)·√(10a)（a≥0）。

（3）预习教材下一节“二次根式的除法”，尝试回答：除法法则可能与乘法法则有何联系？

3.探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：...

（1）小论文（或思维随笔）：“我是如何‘发明’二次根式乘法法则的”——用文字复盘课堂上的探究过程，并阐述你对代数证明（(√a·√b)^2=...）的理解。

（2）设计一道以二次根式为背景的、有实际情境的应用题，并给出解答。七、本节知识清单及拓展

★1.二次根式定义：形如√a（a≥0）的式子。理解要点有二：一是形式（含有二次根号“√”），二是内容（被开方数a必须是非负数）。

★2.定义的内涵：√a本身表示一个非负数，它是a的算术平方根的代数表示形式。

▲3.判断关键：判断一个式子是否为二次根式，不是看它是否能化简，而是看被开方数（整体）是否≥0。例如√(x^2)（x为实数）是二次根式，因为x^2≥0恒成立；而√a（未说明条件）不一定是。

★4.乘法法则：√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）。语言表述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。

★5.法则证明思路：利用算术平方根的定义进行逆推：证明(√a·√b)^2=(√(ab))^2，因为两者都是非负数，且平方相等，故原式相等。

▲6.法则几何解释：可以构造两个面积分别为a和b的正方形，其边长分别为√a和√b，以它们为邻边构成矩形，面积为√a·√b。该面积等于以√(ab)为边长的正方形的面积。

★7.应用步骤：先确认被开方数满足非负条件，再直接应用法则计算。计算后，检查结果是否需要化简（如√9应化为3）。

▲8.法则逆用：√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）。这是化简二次根式（如√8=√(4×2)=√4×√2=2√2）的理论依据，为下节课铺垫。

▲9.除法法则前瞻：通过类比乘法，可以猜想√a÷√b=√(a÷b)（a≥0，b>0）。其证明思路与乘法类似。

▲10.与算术平方根关系：算术平方根√a强调运算（结果），二次根式√a强调代数表示（式子）。后者是前者的符号化和一般化。

▲11.常见易错点：忽略被开方数非负的条件；将√a+√b错误计算为√(a+b)；运用乘法法则后忘记化简结果。

▲12.核心素养指向：本课重点发展数学抽象（从实例中抽象√a模型）、逻辑推理（探究并证明法则）、数学运算（应用法则计算）等核心素养。八、教学反思

（一）预设与生成：目标达成度分析

从假设的课堂实施来看，预设的知识与技能目标基本达成。通过导入情境和任务一、二，大部分学生能准确说出二次根式的定义，并在辨析练习中展现出对“被开方数非负”条件的重视。乘法法则的探究过程（任务四）是本节课的高潮，学生通过计算具体数字、观察规律、提出猜想，体验了完整的数学发现过程。优等生能跟上代数证明的思路，中等生通过几何画板演示获得了直观理解，后进生至少记住了法则的结论并会进行简单套用。能力目标中，抽象概括能力在概念形成环节得到锻炼，归纳推理能力在探究法则环节尤为突出。情感目标在小组合作探究和分享中得到体现，课堂氛围积极。

（二）环节有效性评估与学情深度剖析

导入环节从已知正方形面积求边长出发，自然、贴切，迅速建立了数学与生活的联系，并引出了核心符号。任务一（感知共性）起到了很好的“前测”作用，能快速暴露学生是否还停留在算术平方根的计算层面，为后续的概念抽象做了铺垫。任务二、三（生成与辨析概念）层层递进，正反例的运用有效突破了概念理解的难点。但在辨析√(x^2)时，可能需要更多时间让所有层次的学生都彻底理解“恒非负”的含义。任务四（探究法则）的设计是成功的，它给了学生充分的主动探索空间。巡视中发现，部分基础薄弱的小组在从特殊到一般的归纳时存在困难，需要教师介入提供更细致的引导问题链，如“算出的这两组结果分别有什么关系