第11讲阿氏圆最值模型

在平面几何的最值问题中，我们常常会遇到与定点、定长相关的线段和差的极值求解。此前我们探讨了“将军饮马”模型，其核心思想是利用轴对称实现线段的等效转化，从而化折线为直线，利用“两点之间线段最短”来解决问题。然而，当问题中涉及到线段的比例关系，特别是动点在一个定圆上运动时，“将军饮马”模型便不再适用。此时，我们需要引入另一个重要的几何模型——阿氏圆模型，也称为阿波罗尼斯圆模型。本讲将深入剖析阿氏圆的本质，阐述其在解决特定类型最值问题中的应用，并通过实例展示其解题思路与技巧。一、阿氏圆的概念与性质1.1阿氏圆的定义在平面内，到两个定点（通常称为焦点）的距离之比为一个不等于1的常数的动点的轨迹，是一个圆。这个圆被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。更精确地说，设A、B为平面内的两个定点，P为动点，若存在常数k（k>0且k≠1），使得PA/PB=k，则动点P的轨迹是以线段AB的内分点和外分点为直径两端点的圆。这里需要特别强调“k≠1”，因为当k=1时，动点P的轨迹是线段AB的垂直平分线，这是我们更早学习过的基本轨迹。1.2阿氏圆的基本性质理解阿氏圆的性质，有助于我们更好地运用它来解决问题。1.圆心位置：阿氏圆的圆心O位于直线AB上。2.半径大小：其半径r可以通过线段AB的长度以及比例系数k计算得出。具体而言，若设AB=m，根据阿波罗尼斯圆的性质，圆心O到定点A和B的距离分别为OA=(k²/(k²-1))*d和OB=(1/(k²-1))*d（其中d为圆心到线段AB某分点的距离，具体表达式可通过几何关系推导，此处不赘述，重点在于理解其与k和AB长度相关）。更直观地，若M、N分别为线段AB的内分点和外分点（满足AM/MB=AN/NB=k），则以MN为直径的圆即为所求阿氏圆，其半径r=(k/(|k²-1|))*m。3.内外分点：满足PA/PB=k的点P的轨迹圆，必然经过线段AB的内分点M和外分点N。内分点M在线段AB上，外分点N在AB的延长线上（或反向延长线上，取决于k与1的大小关系）。这些性质是我们利用阿氏圆解决最值问题的理论基础，尤其是“到两定点距离之比为常数”这一核心特征，是构造和识别阿氏圆模型的关键。二、阿氏圆最值问题的核心思路阿氏圆最值问题通常的形式是：在一个给定的圆（阿氏圆）上有一个动点P，在圆外（或圆内）有两个定点A、B，求形如“PA+k·PB”（或“|PA-k·PB|”）的式子的最值，其中k为不等于1的正实数。直接处理这种带有系数的线段和差最值问题比较困难，阿氏圆模型的价值就在于它能通过“比值”关系，将其中一条线段（通常是带有系数k的那条，如k·PB）进行转化，使其系数“归一”，进而将问题转化为我们熟悉的“两点之间线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”等基本几何原理来解决。核心思想是“系数化1”，即通过构造与阿氏圆相关的相似三角形，将k·PB转化为另一条线段PC，使得PC=k·PB，从而原式PA+k·PB转化为PA+PC。此时，问题就转化为在动点P的运动过程中，PA+PC的最值问题，若A、C为定点，则当P、A、C三点共线时，PA+PC取得最值（最小值为AC的长度，最大值理论上为圆的直径加上AC，但需根据具体图形判断）。三、构造相似三角形实现线段转化如何实现k·PB向PC的转化？这是解决阿氏圆最值问题的关键步骤。假设给定的阿氏圆的圆心为O，半径为r。圆上动点P，定点B。我们希望找到一个点C，使得PC/PB=k（即PC=k·PB）。根据阿氏圆的定义，如果点B和点C是这个阿氏圆的两个焦点，那么对于圆上任意一点P，都有PO'/PB=k'（其中O'为另一个焦点）。但在我们的问题中，给定的圆未必是以B为焦点之一的阿氏圆。因此，我们需要反过来思考：以给定圆为阿氏圆，以B为一个焦点，去寻找另一个焦点C。具体操作如下：1.连接圆心与定点：连接OB（B为系数不为1的线段的端点）。2.寻找相似比：我们需要构造一个三角形与△OBP相似，使得相似比为k（或1/k，取决于k是大于1还是小于1）。设圆的半径为r，若能找到一点C，使得OC/OB=OP/OC=k（或OC/OP=OP/OB=k），则△OPC∽△OBC（或△OPB∽△OCP）。3.计算OC长度：根据相似三角形的性质，OP/OB=OC/OP=>OP²=OB·OC。已知OP=r，OB为定长，因此OC=r²/OB。这个OC的长度是确定的。4.确定点C位置：点C一定在直线OB上。根据k的大小和OC的计算结果，确定C点在OB上的具体位置（是在线段OB上，还是在OB的延长线上）。通过这样的构造，我们就能得到△OPC∽△OBC，从而PC/PB=OP/OB=k（或其他设定的比例），即PC=k·PB。这样就成功地将k·PB转化为了PC。关键公式：OC=r²/OB。这个公式给出了我们寻找点C的具体位置的方法，是构造相似三角形的“定海神针”。四、典型例题解析为了更好地理解上述方法，我们通过一个典型例题来进行演示。例题：已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，r=2为半径作圆。点P是圆C上的一个动点，连接AP、BP。求AP+(1/2)BP的最小值。分析：题目要求的是AP+(1/2)BP的最小值。这里出现了带系数的线段(1/2)BP，系数k=1/2≠1，符合阿氏圆模型的特征。动点P在以C为圆心，r=2的圆上。我们的目标是将(1/2)BP转化为一条不含系数的线段。步骤：1.确定目标线段和定点：需要转化的是(1/2)BP，因此关注定点B和动点P，以及圆心C和半径r。2.计算OC（此处应为CC'，为避免与圆心C混淆，我们设要找的点为C'）：根据公式，我们希望构造一个点C'，使得PC'/BP=1/2，即BP=2PC'。根据相似三角形的构造思路，应有CP²=CB·CC'。已知CP=r=2，CB是Rt△ABC的直角边BC，长度为3。所以，CC'=CP²/CB=2²/3=4/3。3.确定点C'的位置：因为我们要构造的是△CPC'∽△CBC'（注意对应关系），所以点C'应在直线CB上，且与点B在圆心C的同一侧（因为k=1/2<1，通常点C'会在线段CB上）。由于CC'=4/3，CB=3，所以点C'在线段CB上，距离C点4/3个单位长度。4.验证相似与转化：连接C'P。因为CC'/CP=(4/3)/2=2/3，CP/CB=2/3，所以CC'/CP=CP/CB。又因为∠PCC'=∠BCP（公共角），所以△PCC'∽△BCP。因此，PC'/BP=CC'/CP=2/3？不对，这里似乎比例关系反了。哦，应该是PC'/BP=CP/CB=2/3，那么BP=(3/2)PC'。这与我们期望的BP=2PC'不符。看来是相似比的设定需要更仔细。（稍作调整，重新梳理）我们希望PC'=(1/2)BP，即PC'/BP=1/2。那么，应该是△CPC'∽△CBP。此时，对应边的比应为CP/CB=CC'/CP=PC'/BP=1/2。则CP/CB=1/2=>CB=2CP=4，但题目中CB是3，这显然矛盾。所以，之前直接套用“CP²=CB·CC'”是基于特定相似方向的。正确的做法是：设PC'=k·BP，我们要的k是1/2。所以PC'/BP=1/2。设CC'=x。考虑△OPC∽△OBC的模式，这里O是圆心C。所以应该是CC'/CP=CP/CB=PC'/BP=1/2。即CP/CB=1/2=>2/CB=1/2=>CB=4，但题目中CB=3，所以这条路不通。这说明，题目给定的圆，对于点B而言，它不是一个以1/2为比值的阿氏圆焦点。因此，我们需要调整相似比。我们有CP=r=2，CB=3。我们希望找到x，使得x/2=2/3（即CC'/CP=CP/CB），则x=4/3，即CC'=4/3。此时，△CC'P∽△CPB（因为两边对应成比例且夹角相等：CC'/CP=CP/CB=2/3，∠C公共）。因此，PC'/PB=CC'/CP=2/3，所以PC'=(2/3)PB，即PB=(3/2)PC'。那么，(1/2)PB=(1/2)*(3/2)PC'=(3/4)PC'。这似乎把问题复杂化了。（换个角度）我们要的是AP+(1/2)BP。如果我们能将(1/2)BP转化为某个PC，那么AP+PC的最小值就是A到C的距离（当A、P、C共线时）。现在的问题是如何找到这样的C。假设存在点C，使得PC=(1/2)BP，即BP=2PC。对于圆上的点P，BP=2PC。这意味着，点P到点B的距离是到点C的距离的2倍。根据阿氏圆的定义，点P的轨迹应该是以B和C为焦点，比值为2的阿氏圆。而题目中P的轨迹是以C为圆心，半径为2的圆。因此，这个给定的圆就是点P到点C（一个焦点）和点B（另一个焦点）的距离之比为1:2的阿氏圆吗？对于阿氏圆，若P到B和C的距离比为2:1（即BP/CP=2），则其圆心O'和半径r'满足：设BC=m=3，比值k=2。则圆心O'在直线BC上，BO'/CO'=2/1，且BO'-CO'=BC=3（若C在B和O'之间）。解得BO'=6，CO'=3。半径r'=(k/(k²-1))*m=(2/(4-1))*3=2。这恰好就是题目中给定的圆！圆心O'就是点C，半径r'=2。原来如此！题目给定的圆，恰好就是以点B和点C为焦点（BP/CP=2）的阿氏圆！所以，对于圆C上任意一点P，都有BP=2CP。因此，(1/2)BP=CP。啊！这就简单了！那么AP+(1/2)BP=AP+CP。现在问题转化为：在圆C上找一点P，使得AP+CP最小。因为A是圆外一点（在Rt△ABC中，AC=4，圆半径2，C为圆心，所以A到C距离4>2，A在圆外），C是圆心。AP+CP，当P点在AC线段与圆C的交点处时，AP+CP=AC=4。所以，AP+(1/2)BP的最小值为4。反思：这个例题的特殊性在于，给定的圆本身就是一个以问题中的定点B和圆心C为焦点的阿氏圆，这使得转化过程异常简洁。这提示我们，在解题时首先要仔细分析已知条件，看是否能直接利用阿氏圆的定义进行转化。如果不是，则需要通过构造相似三角形来寻找那个“隐藏”的焦点C。（为了更完整展示构造过程，我们假设另一种情况，若题目中的系数不是恰好匹配圆的阿氏比）假设例题改为：求AP+(3/2)BP的最小值。此时，(3/2)BP，我们希望将其转化为PC。因为已知BP=2CP（由阿氏圆定义），所以(3/2)BP=(3/2)*2CP=3CP。则AP+(3/2)BP=AP+3CP。此时，若要继续转化3CP，可以考虑以C为圆心，寻找另一个点D，使得CD/CP=CP/CE=3（但CP是半径r=2，这可能超出初中知识范围或构造复杂）。或者，更直接的是，AP+3CP=AP+CP+2CP=(AP+CP)+2r。因为CP是半径，最小值为r。当AP+CP最小时（即A、P、C共线），AP+3CP=AC+2r=4+4=8。这个假设的例子进一步说明了转化思想的应用。五、方法总结与提炼解决阿氏圆最值问题，关键在于深刻理解阿氏圆的定义和性质，并能熟练运用构造相似三角形的方法进行线段的等效代换。总结起来，有以下几个要点：1.识别模型特征：当待求最值的表达式为“PA+k·PB”（k>0且k≠1），且点P在一个定圆上运动时，应考虑阿氏圆模型。2.明确转化目标：将k·PB（或k·PA）转化为一条不含系数的线段，使得原式变为两条线段之和（或差）。3.构造相似三角形：核心步骤。连接圆心O与定点B（假设要转化k·PB），利用公式OC=r²/OB（其中r为圆的半径，OB为圆心到定点B的距离）计算出另一个定点C的位置。点C必在直线OB上。4.验证比例关系：通过证明构造的三角形与已知三角形相似，确保线段转化的正确性（PC=k·PB）。5.利用基本原理求最值：将原式转化后，利用“两点之间线段最短”或“三角形三边关系”等基本几何原理，确定动点P的位置