五年级数学下册第四单元《因数与倍数的应用：最大公因数与最小公倍数》探究式教学设计

五年级数学下册第四单元《因数与倍数的应用：最大公因数与最小公倍数》探究式教学设计一、教学内容分析第一段：课标深度解构  本节课内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域“数与运算”主题。在知识技能图谱上，它处于承上启下的关键节点：学生已掌握了因数、倍数的概念及求一个数的因数、倍数的方法，本节课则需在两组数的情境中，抽象出“公有”和“最大/最小”的核心特征，形成最大公因数与最小公倍数的概念，并掌握其基本求法（枚举法、筛选法、短除法）。这不仅是约分、通分等分数运算的直接基础，更是未来学习数论、代数式的化简与运算的重要预备。从过程方法看，课标强调“初步体会运算法则的一致性”，这要求教学不能止步于技能的操练，而应引导学生经历从具体问题（如铺地砖、排队）中抽象出数学模型（求公因数、公倍数），并探寻不同方法（如列举、筛选、短除）内在联系的过程，发展数学模型思想和抽象概括能力。在素养价值渗透层面，探究两个数之间特殊的因数、倍数关系，能深化对整数性质的认知，增强数感；在解决实际问题的过程中进行比较、分析和优化选择，则有助于培养应用意识和初步的创新意识，体会数学的简约与和谐之美。第二段：学情诊断与对策  五年级学生具备了一定的观察、分析和归纳能力，对因数、倍数概念的理解是学习本课的直接基础。然而，他们可能存在的认知障碍在于：一是从“一个数的因数/倍数”到“两个数公有的因数/倍数”的思维跨度，容易出现找不全或混淆的情况；二是对“最大公因数”和“最小公倍数”概念的现实意义理解不深，易将其视为孤立的计算题；三是在方法选择上，可能满足于直观的枚举法，对更高效的筛选法、短除法的原理和必要性认识不足。针对此，教学需设计层次分明的探究活动，如“我们先来当一回‘装修顾问’，看看谁能帮师傅解决这个选砖难题？”，在真实情境中驱动思考。过程评估将贯穿始终：通过小组讨论中的发言观察其概念理解，通过任务单的完成情况诊断其方法掌握，通过变式练习反馈其应用水平。对于基础薄弱的学生，将提供“因数倍数卡片”等可视化工具辅助列举；对于学有余力的学生，则引导其探究“用分解质因数法求最大公因数和最小公倍数的理论依据”，或思考“三个数的最大公因数、最小公倍数如何求”，实现差异化提升。二、教学目标知识目标：学生能在具体情境中理解公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的现实意义与数学概念，掌握用枚举法、筛选法求两个数的最大公因数和最小公倍数，并初步了解短除法的原理与格式。能准确辨析两者概念及求解指向的差异，构建清晰的知识网络。能力目标：学生能够从“铺地砖”、“排队伍”等现实问题中抽象出求最大公因数或最小公倍数的数学问题，并选择合适的策略予以解决。在探究不同方法的过程中，发展观察、比较、归纳和概括的逻辑推理能力，以及将复杂问题转化为简单问题的化归思想。情感态度与价值观目标：在小组合作探究中，学生能乐于分享自己的思路，认真倾听同伴的见解，体验集体智慧的价值。通过解决实际问题，感受数学与生活的紧密联系，增强学习数学的兴趣和应用数学的信心，初步形成严谨求实的科学态度。科学（学科）思维目标：重点发展学生的模型思想（将实际问题数学化）和归纳推理能力。通过设计“观察实例发现规律提出猜想验证概括”的问题链，引导其从具体算例中探寻求最大公因数和最小公倍数的普适性方法，体会从特殊到一般的数学思维路径。评价与元认知目标：引导学生学会使用“互质关系”、“倍数关系”等关键特征快速判断计算结果。鼓励学生在练习后，依据清晰、简洁、准确的标准进行同伴互评与自我反思，如“我的列举有没有遗漏？”、“短除法的书写格式规范吗？”，逐步培养自我监控与调整的学习习惯。三、教学重点与难点第一段：教学重点  本节课的教学重点是理解最大公因数和最小公倍数的概念，并掌握其基本求解方法。确立依据源于课程标准对该内容作为“数的认识”重要组成部分的定位，它直接关联分数基本性质的理解与异分母分数加减运算的掌握，是构建完整数论知识体系的基础“大概念”。从学业评价角度看，最大公因数与最小公倍数的求解与应用是小学高年级乃至初中相关内容的常见考点，不仅考查基础技能，更通过实际问题检验学生的数学建模与逻辑推理能力。第二段：教学难点  教学难点在于：第一，准确理解最大公因数与最小公倍数在现实情境中各自的应用场合并进行正确辨析与选择。学生往往知道如何计算，却不清楚“何时用”。第二，理解并熟练运用短除法求最大公因数和最小公倍数，尤其是用短除法求最小公倍数时“除到两数互质为止”与“将所有的除数和最后的商连乘”的算理。预设依据是学生的思维正从具体形象向抽象逻辑过渡，短除法步骤的程式化与抽象性可能造成理解困难，且作业中常见混淆两种方法最后一步运算的典型错误。突破方向在于强化概念的意义理解与多方法的对比勾连。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：交互式电子白板课件（内含情境动画、探究任务、动态演示短除法过程）；实物投影仪。1.2学习材料：分层设计的学习任务单（含前测、探究记录表、分层巩固练习）；供小组探究用的“数字卡片”（写有不同数的因数）；板书记划（预留概念区、方法区、例题区）。2.学生准备2.1知识预备：复习因数、倍数的概念及求法。2.2学具：常规文具，草稿本。3.环境布置3.1座位安排：四人或六人异质分组，便于合作探究与讨论。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与问题驱动：“同学们，王师傅正在为一家书屋铺地砖。书屋长16分米，宽12分米。他遇到了一个难题：如果要用整块的正方形地砖铺满（不能切割），可以选边长是几分米的地砖呢？边长最大是几分米？大家能当一回‘装修顾问’，帮师傅出出主意吗？”（利用课件展示情境图）1.1建立联系与提出核心问题：引导学生将实际问题转化为数学问题：“铺满”意味着什么？（长、宽都要能被地砖边长整除）这实际上是在找怎样的数？（既是16的因数，又是12的因数）。“边长最大”又对应着这些公有因数中的哪一个？从而自然引出“公因数”和“最大公因数”的概念雏形，并提出本节课核心驱动问题：“如何寻找两个数公有的因数？如何确定其中最大的一个？”2.勾勒学习路径：“今天，我们就围绕‘公有’和‘最值’这两个关键词，一起探索数与数之间这种特殊的因数、倍数关系。我们先从‘公因数’入手，再类比研究‘公倍数’，最后还要看看它们之间有没有什么有趣的联系。”第二、新授环节任务一：公因数与最大公因数的意义及枚举求法教师活动：首先，引导学生将铺地砖问题数学化：找出既是16又是12的因数。组织学生独立列举16和12各自的因数。随后提问：“哪些数同时出现在了两张名单里？这些数有什么共同的名字？”（公因数）。“公因数中，谁最大？它叫什么？”（最大公因数）。板书定义。追问：“如果不考虑实际问题，只从数学上找16和12的公因数，我们刚才是怎么做的？”引导学生总结出“分别列举，再找公有”的枚举法。口语化引导：“找‘公有财产’，得先清点各自的‘家底’，对不对？”学生活动：独立在任务单上写出16和12的所有因数。观察、对比两份因数列表，圈出共有的数（1,2,4）。尝试用自己的语言描述“公因数”和“最大公因数”。在教师引导下，归纳求两个数公因数及最大公因数的枚举步骤。即时评价标准：1.能否准确、不遗漏地列举出一个数的所有因数。2.能否正确识别两个数列中的公共部分。3.表述概念时是否清晰，能抓住“公有”、“最大”等关键词。形成知识、思维、方法清单：★公因数：几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。例如，1、2、4是16和12的公因数。★最大公因数：公因数中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。16和12的最大公因数是4，记作(16,12)=4。▲枚举法求最大公因数步骤：①分别列出两个数的所有因数；②圈出它们公有的因数；③找出公因数中最大的一个。教学提示：强调“列举有序”，避免遗漏。任务二：筛选法求最大公因数及短除法初探教师活动：提出新任务：“求18和27的最大公因数。用枚举法没问题，但数字再大点，列举所有因数会不会有点麻烦？我们能不能‘偷个懒’，找一种更聚焦的方法？”引导学生观察：两个数的最大公因数会不会也是较小数18的因数？让学生从18的因数中，由大到小依次判断是否是27的因数。引出“筛选法”。进一步设疑：“如果数更大，比如求48和72的最大公因数，筛选法也可能需要多次尝试。数学上还有一种更强大、更通用的工具——短除法。”利用课件动态演示用短除法求48和72的最大公因数的过程，重点讲解书写格式、除数选择（公有质因数）、除到何时为止（商互质），并解释最后结果（所有除数连乘）的算理。学生活动：尝试用筛选法求18和27的最大公因数，体会其效率。观察短除法演示，理解每一步的含义，模仿书写格式。思考并讨论：“短除法中，我们每次选的除数有什么特点？”“为什么最后要把左边的除数乘起来？”即时评价标准：1.能否正确实施筛选法，理解其“从大往小试”的策略优势。2.能否复述短除法的操作步骤。3.能否指出短除法与分解质因数求最大公因数之间的联系。形成知识、思维、方法清单：★筛选法求最大公因数：先找出较小数的所有因数，再从大到小依次检验它是否是较大数的因数，找到的第一个满足条件的数就是最大公因数。认知说明：此法基于最大公因数的定义，是枚举法的优化。★短除法求最大公因数：用两个数公有的质因数连续去除，除到商互质为止，把所有除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数。教学提示：这是核心技能，需通过板演、练习强化格式。强调“除数必须是质因数”以及“连乘的是除数，不是商”。任务三：公倍数与最小公倍数的意义及求法迁移教师活动：切换情境：“刚才我们解决了‘铺地砖’问题，现在来看一个‘排队’问题：航模小组的同学，每4人一组或每6人一组，都正好分完。猜猜看，这个小组至少有多少人？”引导学生分析：“正好分完”意味着什么？（总人数既是4的倍数，又是6的倍数）。“至少”对应着什么？（公倍数中最小的一个）。类比公因数与最大公因数的学习经验，组织学生自主探究公倍数、最小公倍数的概念及求法（枚举法、筛选法）。提问：“求最小公倍数，筛选法应该从谁开始筛选？为什么？”（从较大数的最小倍数开始）。口语化衔接：“找到了‘公有’的因数，找‘公有’的倍数是不是也类似？请大家大胆试试看！”学生活动：分组讨论，将排队问题转化为数学问题。尝试列举4和6的倍数，找出公倍数和最小公倍数。类比任务一、二，尝试总结求最小公倍数的枚举法和筛选法。思考筛选法的起始点。即时评价标准：1.能否顺利完成从“因数”到“倍数”的类比迁移。2.能否清晰区分“最大公因数”是找因数中的最大，“最小公倍数”是找倍数中的最小。3.小组讨论中是否积极参与，表达清晰。形成知识、思维、方法清单：★公倍数：几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。公倍数的个数是无限的。★最小公倍数：公倍数中最小的一个（0除外），叫作这几个数的最小公倍数。4和6的最小公倍数是12，记作[4,6]=12。▲求法迁移：枚举法、筛选法（从较大数的最小倍数开始筛选）同样适用。易错点：倍数有无穷多个，找“最小”公倍数；而因数个数有限，找“最大”公因数。任务四：短除法求最小公倍数教师活动：承上启下：“既然短除法能高效求最大公因数，那它能求最小公倍数吗？”再次以48和72为例，演示短除法过程。关键点在于：当除到商互质后，求最小公倍数需要“把所有的除数和最后的商连乘起来”。通过对比板书中求最大公因数和最小公倍数的两个短除式，引导学生观察异同。提问：“为什么求最大公因数只乘除数，而求最小公倍数要乘上所有的除数与最后的商？谁能结合除法的意义和倍数关系来解释一下？”组织学生讨论。学生活动：观察教师演示，记录短除法求最小公倍数的完整步骤。对比观察两个短除式，发现计算最后一步的差异。参与讨论，尝试理解算理：最小公倍数必须包含两个数所有的质因数。即时评价标准：1.能否正确书写短除法求最小公倍数的全过程。2.能否明确指出短除法最后一步求最大公因数与最小公倍数的区别。3.是否能初步理解“连乘积”包含所有质因数的道理。形成知识、思维、方法清单：★短除法求最小公倍数：用公有的质因数连续去除，除到商互质为止，然后把所有的除数和最后的商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数。核心口诀：最大公因数乘半边（左边除数），最小公倍数乘一圈（除数与商）。▲关系理解：两个数的乘积=它们的最大公因数×最小公倍数。应用提示：此关系可用于验算，或已知其一快速求另一个。任务五：概念辨析与应用选择教师活动：设计对比辨析活动。出示多组现实情境与数学问题，如：“用长6cm、宽4cm的长方形拼成一个正方形，正方形边长至少是多少？”（求最小公倍数）。“把两根长度分别是12米和18米的绳子截成同样长的小段，每段最长是多少米？”（求最大公因数）。组织学生小组讨论，辨析每道题究竟是在求最大公因数还是最小公倍数，并说明理由。引导学生提炼选择依据：求“分割”、“均分”、“最大”类问题，往往关联最大公因数；求“拼合”、“再次同时”、“至少”类问题，往往关联最小公倍数。学生活动：分组对各个问题进行深入分析，激烈辩论，达成共识。尝试总结两类问题在语言描述和现实模型上的典型特征，形成选择策略。即时评价标准：1.能否正确为每个情境选择求最大公因数或最小公倍数。2.解释理由时，是否紧扣“因数”还是“倍数”的数学本质。3.小组能否合作归纳出有价值的判断“口诀”或特征词。形成知识、思维、方法清单：★应用辨析要诀：关注问题本质。最大公因数解决的是“分”的问题，即把整体分割成若干个相同的部分，求每份的最大值。最小公倍数解决的是“合”或“周期重逢”的问题，即把不同的部分整合成一个更大的整体，或求不同周期再次同步的最小值。▲常见关键词：最大公因数——最长、最多、最大、正好分完（无剩余）；最小公倍数——至少、最小、第一次、同时、再次。第三、当堂巩固训练  设计分层练习，使用实物投影进行即时反馈。基础层（全体必做）：1.求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。（10和15，8和12）目标：直接应用短除法，巩固基本技能。反馈：同桌互查格式与结果，教师巡视收集典型正确与错误案例进行投屏点评。综合层（大多数学生完成）：2.判断并说明理由：①(8,9)=1，所以[8,9]=72？②两个数的积一定是它们的最小公倍数。目标：深化对概念关系的理解。3.解决实际问题：一盒糖果，平均分给4个或6个小朋友，都正好分完，这盒糖果至少有多少块？如果这盒糖果在4050块之间，实际可能是多少块？目标：在稍复杂情境中应用概念，培养思维严密性。反馈：小组讨论后派代表讲解，重点聆听其分析过程。挑战层（学有余力选做）：4.探究：已知A=2×3×5，B=2×5×7，不计算，直接写出A和B的最大公因数与最小公倍数。你能总结出用分解质因数形式求最大公因数和最小公倍数的规律吗？目标：与短除法算理贯通，提升抽象概括能力。反馈：请完成的学生上台分享发现，教师予以理论提升（公有质因数最低次幂的积是最大公因数，所有质因数最高次幂的积是最小公倍数）。第四、课堂小结  引导学生从多维度进行自主总结与反思。知识整合：“请用你喜欢的方式（如表格、思维导图）整理今天学习的两个核心概念（最大公因数、最小公倍数）和三种主要方法（枚举、筛选、短除）。”邀请学生展示并讲解自己的知识结构图。方法提炼：“回顾今天的学习，我们从实际问题出发，通过类比迁移、观察对比，找到了求公因数和公倍数的通用方法。其中最重要的思想是什么？”（模型思想、转化思想）。元认知反思：“在今天的练习或讨论中，你最容易在哪个步骤出错？以后要提醒自己注意什么？”作业布置：公布分层作业（详见第六部分），并预告下节课将利用本课知识学习约分，建立知识连贯性。六、作业设计基础性作业（必做）：1.完成课本练习十五第1、2、3题。巩固用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数。2.判断：①16是32和48的公倍数。()②(5,10)=5，[5,10]=10。()强化概念辨析。拓展性作业（建议完成）：3.生活调查：寻找一个生活中可以用最大公因数或最小公倍数知识解决的实际问题，记录下来，并写出简要的解答过程。（例如：爸爸每6天休息一次，妈妈每8天休息一次，至少再过多少天他们能一起休息？）4.数学探究：两个数的最大公因数是4，最小公倍数是60，已知其中一个数是12，求另一个数。挑战运用“两数之积=最大公因数×最小公倍数”的关系解决问题。探究性/创造性作业（选做）：5.编程或列表探究：如果用计算机或通过大量列举，你能发现两个数的最大公因数和它们差、和之间可能存在什么规律吗？大胆提出你的猜想。6.数学小论文（提纲）：以“最大公因数与最小公倍数的‘孪生’关系”为题，尝试写一篇短文，论述它们的异同点与内在联系。七、本节知识清单及拓展★公因数与最大公因数：几个数公有的因数叫公因数，其中最大的一个叫最大公因数。记为(a,b)。它是解决“分割求最大”问题的数学模型。★公倍数与最小公倍数：几个数公有的倍数（0除外）叫公倍数，其中最小的一个叫最小公倍数。记为[a,b]。它是解决“拼合求最小”或“周期重逢”问题的数学模型。★枚举法：最基础的方法。分别列出因数/倍数，再找公有。优点是直观，缺点是数大时繁琐。★筛选法：枚举法的优化。求最大公因数，从较小数的因数中由大到小筛选；求最小公倍数，从较大数的倍数中由小到大筛选。★短除法求最大公因数：核心技能。用公有质因数连续除，除到商互质，连乘所有除数。格式规范是关键。★短除法求最小公倍数：核心技能。用公有质因数连续除，除到商互质，连乘所有除数和最后的商。易与求最大公因数步骤混淆，需对比强化。▲两种特殊关系：1.互质关系：公因数只有1的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是两数之积。2.倍数关系：一个数是另一个数的倍数，较小数是最大公因数，较大数是最小公倍数。▲关键性质：两数之积=它们的最大公因数×最小公倍数。可用于验算或简算。▲应用辨析：理解问题的数学本质是选择正确方法的前提。“分、切、最大”关联最大公因数；“合、聚、周期、至少”关联最小公倍数。▲短除法的算理本质：相当于同时分解两个数的质因数。最大公因数取公有质因数的最低次幂积；最小公倍数取所有质因数的最高次幂积。▲三个数的最大公因数与最小公倍数：短除法需扩展到三个数，求最大公因数时除数需是三个数公有的质因数；求最小公倍数时，只要其中任意两个数还有公有的质因数就要继续除。此为拓展内容。▲历史与文化：最大公因数与最小公倍数的研究源自古希腊的算术，欧几里得在《几何原本》中阐述了求最大公因数的“辗转相除法”（更相减损术），体现了古人的数学智慧。▲易错点警示：1.列举倍数时忽略0除外。2.短除法最后一步连乘对象混淆。3.解决实际问题时模型选择错误。4.书写格式不规范。▲学习方法建议：通过对比学习（概念对比、方法对比、结果对比）加深理解；多联系生活实际，在应用中内化知识；养成用“关系式”验算的好习惯。八、教学反思  （一）目标达成度分析本节课预设的知识与技能目标通过阶梯式任务和分层练习，预计达成度较高。从模拟的学生反应看，大部分能掌握短除法格式，但在“概念辨析与应用选择”任务中，仍有部分学生表现出犹豫，需依赖关键词提示而非本质理解。能力与思维目标方面，学生在“从情境抽象模型”和“方法类比迁移”环节参与积极，思维可见，但“归纳概括短除算理”的深度可能仅限于少数学生，多数处于“知其然”层面。情感目标在小组合作解决实际问题中得到较好体现。  （二）环节有效性评估导入情境切实有效，迅速点燃了探究欲。主体部分的五个任务环环相扣，逻辑链清晰。其中，任务二到任务四的“方法演进”（枚举→筛选→短除）和“概念类比”（因数→倍数）两条主线并行，结构性强。任务五的辨析环节是难点突破的关键，设计有效但时间可能紧张，部分小组讨论或不够