2025年北师大版高中数学立体几何测试试题

2025年北师大版高中数学立体几何测试试题考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面x+y+z=6的距离为（）A.1B.2C.3D.42.已知直线l：x=2y-1与平面α：Ax+By+Cz+D=0垂直，则A，B，C的比值可能为（）A.1：2：1B.2：1：1C.1：1：2D.2：2：13.正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为√3，则其侧面与底面所成的二面角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°4.若直线x=1与平面α相交于点P，则点P的坐标为（）A.(1，0，0)B.(0，1，0)C.(0，0，1)D.(1，1，1)5.空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD，则四边形EFGH一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形6.已知正方体的棱长为1，则其外接球的表面积为（）A.4πB.8πC.12πD.16π7.过点P（1，2，-1）且与平面2x-y+3z-6=0平行的直线方程为（）A.x=1，y=2，z=-1B.x-1=2(y-2)=3(z+1)C.x+1=2(y-2)=3(z-1)D.x-1=y-2=z+18.在正三棱锥S-ABC中，底面边长为2，侧棱长为3，则点S到平面ABC的距离为（）A.2√2B.√3C.√5D.39.已知直线l1：x+y=1与l2：ax-y=2相交于点P，且向量OP=（1，1，1），则a的值为（）A.1B.-1C.2D.-210.空间中三点A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0）确定平面的方程为（）A.x+y=1B.x-y=1C.x+y+z=1D.x-y-z=1二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）11.若平面α与平面β所成的二面角为60°，且平面α上一点P到平面β的距离为2，则点P到平面β的距离为______。12.正六棱锥的底面边长为2，高为3，则其侧面与底面所成的二面角的正切值为______。13.已知直线l：x=1与平面α：Ax+By+Cz+D=0平行，则A，B，C的比值可能为______。14.空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD，则四边形EFGH的面积为底面面积的一半，则AC与BD的长度为______。15.正方体的外接球半径为R，则其体积为______。16.过点P（1，2，-1）且与向量（1，-1，2）平行的直线方程为______。17.在正三棱锥S-ABC中，底面边长为2，侧棱长为3，则其体积为______。18.已知直线l1：x+y=1与l2：ax-y=2相交于点P，且向量OP=（1，1，1），则a的值为______。19.空间中三点A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0）确定平面的法向量为______。20.空间中一点P到平面α的距离为d，则点P到平面α的距离为2d的点的轨迹为______。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）21.若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α上的所有直线都垂直。22.正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为√3，则其侧面与底面所成的二面角为60°。23.空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形。24.正方体的外接球半径为R，则其体积为（4/3）πR³。25.过点P（1，2，-1）且与平面2x-y+3z-6=0平行的直线方程为x-1=2(y-2)=3(z+1)。26.在正三棱锥S-ABC中，底面边长为2，侧棱长为3，则其体积为√3。27.已知直线l1：x+y=1与l2：ax-y=2相交于点P，且向量OP=（1，1，1），则a的值为1。28.空间中三点A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0）确定平面的方程为x+y=1。29.空间中一点P到平面α的距离为d，则点P到平面α的距离为2d的点的轨迹为球面。30.空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面x+y+z=6的距离为√14。四、简答题（总共3题，每题4分，总分12分）31.已知正方体的棱长为2，求其体积和表面积。32.在空间直角坐标系中，求点A（1，2，3）到平面2x-y+3z-6=0的距离。33.空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD，证明四边形EFGH为平行四边形。五、应用题（总共2题，每题9分，总分18分）34.在正三棱锥S-ABC中，底面边长为2，侧棱长为3，求其侧面与底面所成的二面角。35.已知直线l1：x+y=1与l2：ax-y=2相交于点P，且向量OP=（1，1，1），求a的值及点P的坐标。【不要加入标题，不要加入考试时间，不要加入总分数，试卷末尾附标准答案及解析】标准答案及解析一、单选题1.B解析：点A到平面x+y+z=6的距离公式为d=|1+2+3-6|/√(1²+1²+1²)=√3=2。2.A解析：直线l：x=2y-1的法向量为（1，-2，0），平面α的法向量为（A，B，C），垂直则（1，-2，0）∥（A，B，C），比值可能为1：-2：0，即1：2：1。3.C解析：侧面与底面所成的二面角为侧面高与底面边的夹角，正四棱锥侧面为等腰三角形，底面边长为2，侧棱长为√3，高为√(√3²-1²)=√2，二面角正切值为√2/1=√2，角度为60°。4.A解析：直线x=1与平面α相交于点P，则P的x坐标为1，y，z坐标不确定，但至少有一个不为0，故P（1，0，0）为可能选项。5.D解析：四边形EFGH为平行四边形，因为E，F，G，H为中点，对边平行且相等。6.A解析：正方体外接球半径为√(1²+1²+1²)=√3，表面积为4πR²=4π(√3)²=4π。7.B解析：与平面2x-y+3z-6=0平行的直线方向向量为（2，-1，3），过点P（1，2，-1）的直线方程为x-1=2(y-2)=3(z+1)。8.A解析：正三棱锥侧面高为√(3²-1²)=2√2，点S到底面距离为2√2。9.A解析：点P在l1上，x+y=1；在l2上，ax-y=2，联立得x=1，y=0，a=2，但向量OP=（1，1，1），故a=1。10.A解析：三点A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0）确定平面方程为x+y=1。二、填空题11.√3解析：点P到平面β的距离为2，二面角为60°，则投影距离为2cos60°=√3。12.√2解析：侧面高为√(3²-(√2/2)²)=√(9-1/2)=√(17/2)，二面角正切值为√2。13.1：-2：0解析：与直线x=1平行的平面法向量为（-1，0，0），即A：-1，B：0，C：0，比值可能为1：-2：0。14.√2解析：四边形EFGH为平行四边形，AC⊥BD，则AC²+BD²=4×(1/2)×2×2=8，AC=BD=√2。15.(8/3)πR³解析：正方体外接球半径为R，棱长为2R，体积为(2R)³=8R³，外接球体积为(4/3)πR³。16.x-1=y-2=z+1解析：方向向量为（1，-1，2），过点（1，2，-1）的直线方程为x-1=y-2=z+1。17.√3解析：体积为(1/3)×底面积×高=(1/3)×(√3/4)×2²×3=√3。18.1解析：同上题，a=1。19.（1，1，0）解析：法向量为向量AB+向量AC=（1，0，0）+（0，1，0）=（1，1，0）。20.球面解析：点P到平面α的距离为2d的点的轨迹为以平面α为球心，半径为2d的球面。三、判断题21.√解析：直线l与平面α垂直，则l与平面α的法向量平行，故l与平面α上的所有直线垂直。22.×解析：二面角为60°，侧面高为√(3²-1²)=√2，二面角正切值为√2/1=√2，角度为45°。23.√解析：四边形EFGH为平行四边形，AC⊥BD，则对角线互相垂直，故为矩形。24.×解析：正方体体积为(2R)³=8R³，外接球体积为(4/3)πR³。25.√解析：同单选题7。26.×解析：体积为(1/3)×(√3/4)×2²×3=√3。27.√解析：同单选题9。28.√解析：同单选题10。29.×解析：轨迹为平面α的法线方向上的点，不是球面。30.×解析：距离为|2-6|/√6=2√6/√6=2。四、简答题31.体积为8，表面积为24。解析：体积为(2)³=8，表面积为6×(2)²=24。32.√7解析：距离公式为|2×1-1×2+3×(-1)-6|/√(2²+(-1)²+3²)=√