专题08二项分布超几何分布与正态分布（举一反三讲义）（原卷版）

专题10.8二项分布、超几何分布与正态分布（举一反三讲义）【全国通用】TOC\o"13"\h\u【题型1二项分布】 3【题型2独立重复试验的概率问题】 4【题型3超几何分布】 5【题型4二项分布与超几何分布综合】 6【题型5正态密度曲线】 8【题型6根据正态曲线的对称性求参数】 9【题型73σ原则】 9【题型8正态分布与其他知识综合】 101、二项分布、超几何分布与正态分布考点要求真题统计考情分析(1)理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题(2)借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用2023年全国甲卷（理数）：第19题，12分2024年新高考I卷：第9题，6分2025年天津卷：第5题，5分2025年天津卷：第13题，5分从近几年的高考情况来看，本节是高考的热点内容，主要考查二项分布、超几何分布及其期望与方差、正态分布等内容，正态分布主要以选择题、填空题的形式考查，难度不大；在填空题、解答题中主要考查二项分布、超几何分布的期望与方差问题，有时会与统计、独立性检验等结合考查，难度中等偏难，关键在于求出概率列出分布列，复习时需要加强这方面的练习.知识点1二项分布1．伯努利试验(1)伯努利试验的概念把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.(2)n重伯努利试验的两个特征①同一个伯努利试验重复做n次；②各次试验的结果相互独立.2．二项分布3．二项分布的期望与方差一般地，如果X~B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1p).4．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.知识点2超几何分布1．超几何分布(1)定义若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np.(2)求超几何分布的分布列①判断随机变量是不是服从超几何分布；②套用超几何分布中的概率公式，注意理解公式中各量的意义.2．“二项分布”与“超几何分布”的区别有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.3．超几何分布的应用(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列.(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型.知识点3正态分布及其解题策略1．正态分布(1)正态曲线(2)正态分布若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ,σ2).特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.(3)正态分布的均值和方差若X~N(μ,σ2)，则E(X)=μ，D(X)=σ2.2．3σ原则(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率P(μσ≤X≤μ+σ)≈0.6827；P(μ2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545；P(μ3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.(2)3σ原则在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.3．正态分布问题的解题策略解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x=μ；(2)标准差σ；(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.【方法技巧与总结】1．二项分布当n=1时就是两点分布.3．若X服从正态分布，即X~N(μ,σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x=μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题.【题型1二项分布】【例1】（2025·山东青岛·三模）若随机变量X~B(4,p)，D(X)=1，则P(X=3)=（

）A．16 B．14 C．12【变式11】（2025·山东济南·模拟预测）已知随机变量X~Bn,12，若EX=4A．12 B．1 C．2 D．【变式12】（2025·福建厦门·三模）已知随机变量X∼Bn,12，若EX=2A．14 B．38 C．12【变式13】（2025·甘肃·模拟预测）某地组织一场知识竞赛，要求每位参赛选手作答6道试题，已知甲选手答对每道试题的概率均为23，且每道试题答对与否相互独立，记甲选手答对的试题数为X，则E2X+1=A．16 B．12 C．9 D．8【题型2独立重复试验的概率问题】【例2】（2025·河南南阳·一模）袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则Pξ=12等于（

A．C12103810⋅582 B．【变式21】（2025·江西新余·一模）2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以4:2的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为23，则“莎头”组合再次以4:2获胜的概率为（

A．80729 B．160729 C．80243【变式22】（2025·黑龙江·三模）袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖.若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（

）A．216625 B．324625 C．89【变式23】（2526高二上·全国·单元测试）英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象．如图是一个高尔顿钉板的设计图，每个黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗钉子的正中间，小球每次下落，将随机地向两边等概率下落．数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板，放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍．当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置．若一个小球从正上方落下，则经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（

）A．881 B．1681 C．827【题型3超几何分布】【例3】（2425高二下·湖北省直辖县级单位·期末）从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的期望为（

）A．43 B．2 C．83 【变式31】（2425高二下·江苏南京·期中）已知甲袋中装有3个红球、2个白球；乙袋中装有1个红球、3个白球．从甲、乙袋中各随机摸出2个球，设X为摸出的红球总数，则X的期望值EX是（

A．1.2 B．1.4 C．1.7 D．1.8【变式32】（2025·河北张家口·三模）为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从A，B两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知A，B两个科室中的志愿者分布如下：

类别科室志愿者医生护士A科室23B科室33(1)求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率；(2)设X为选出的4人中医生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.【变式33】（2025·河北·三模）某短视频平台在2025年上半年推出了新一代的“AI推荐算法”，为了检测受众情况，该公司从点赞的用户中随机选取100名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制如下频率分布直方图.(1)估计这100名志愿者年龄的中位数（结果精确到0.01）和平均数；(2)依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中随机选取20名志愿者参加座谈会，为了更好地了解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在25,45的人中随机选出3人作为代表发言，设随机变量X表示代表年龄在25,35的志愿者人数，求X的分布列及期望.【题型4二项分布与超几何分布综合】【例4】（2425高三下·陕西西安·阶段练习）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（

）A．EX<EY，DX>DC．EX<EY，DX<D【变式41】（2425高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为X1，期望方差分别为EX1,DX1；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为A．EX1=EC．EX1>E【变式42】（2025·北京通州·一模）某艺术研究中心对春节档6部影片观众满意度进行调查，评分如下第一部第二部第三部第四部第五部第六部普通观众评分87.285.484.984.984.783.6专业观众评分88.780.081.677.476.172.2(1)从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率；(2)现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看.（ⅰ）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记X为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，求X的分布列及数学期望EX（ⅱ）若任意2名观众不能选看相同影片，记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数，试比较这种情况下数学期望EY与（ⅰ）中E【变式43】（2025·上海长宁·二模）为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元（含800元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）方案1：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）；方案2：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠．(1)顾客A选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率；(2)顾客B恰好消费了800元，①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望（结果精确到0.01）；②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理．【题型5正态密度曲线】【例5】（2025·天津·二模）如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（

）A．μ1>μ2，σ1C．μ1<μ2，σ1【变式51】（2025·安徽·模拟预测）已知连续型随机变量ξ服从正态分布N(1,4)，其密度函数为f(x)=122π⋅e−(x−1)28，记函数A．关于直线x=1对称 B．关于直线x=1C．关于点1,12对称 D．关于点【变式52】（2425高二下·陕西宝鸡·期末）已知三个正态分布密度函数fix=A．μ1=B．μ1<C．μ1<D．μ1=【变式53】（2425高二下·湖南岳阳·期末）设随机变量X服从正态分布N30,62，Y服从正态分布N34,2A．P24≤X≤36=P32≤Y≤36C．PX≤24>PY≤24【题型6根据正态曲线的对称性求参数】【例6】（2025·河南许昌·三模）已知随机变量X服从正态分布N2.3,σ2，且P2.3<X≤4.2=0.23A．m=0.73 B．m=0.77 C．0.5<m<0.73 D．m>0.73【变式61】（2025·河北邯郸·模拟预测）已知随机变量ξ服从正态分布N4,σ2，若P2<ξ<6=3p，PA．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1【变式62】（2025·福建厦门·一模）已知随机变量X服从正态分布N1,σ2，若PX≤a=0.3，且PA．1 B．−12 C．0 【变式63】（2025·湖南益阳·三模）某生产线正常生产下生产的产品A的一项质量指标X近似服从正态分布N5,σ2，若PX≤a=PA．1 B．3 C．4 D．9【题型73σ原则】【例7】（2025·安徽·模拟预测）某校高三学生的模考数学成绩X服从正态分布N105,102，按照16%、34%、34%、附：Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827，Pμ−2σ≤X≤μ+2σA．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格【变式71】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）某地区组织了一次高三模拟考试，对该地区3000名考生的考试成绩进行统计分析发现，数学成绩X近似服从正态分布X∼Nμ,152（参考数据：若X~Nμ,σ2，有P(μ−σ<X≤μ+σ)≈0.683，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)≈0.954A．580 B．480 C．380 D．280【变式72】（2025·广东·二模）某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量X（单位：g）近似服从正态分布N(50,4)，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过52g的草莓有（

）附：若X~Nμ,σ2A．228个 B．456个 C．1587个 D．3174个【变式73】（2025·四川南充·三模）某市20000名学生参加一次数学测试（满分150分），学生的测试成绩X近似服从正态分布N100,102，则测试成绩在90,100附：（若X∼Nμ,σ2，则PA．2717 B．2718 C．6827 D．9545【题型8正态分布与其他知识综合】【例8】（2025·河南·三模）为丰富学生的课余生活，某地举办了2025年数学文化知识挑战赛，举办方从中随机抽取了100名学生的成绩，并进行统计整理，现将成绩（满分100分）划分为四个分数段：20,40，40,60，60,80，80,100．已知m=2n，各分数段人数的频数统计如下表：分数段20,4040,6060,8080,100频数1030mn(1)求m，n的值；(2)按成绩进行分层，采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，设抽到的4人中成绩在60,100内的人数为X，求X的分布列与期望；(3)由以往比赛成绩的数据分析可知，学生成绩T∼N64,121．已知今年该地共有20000名学生参加比赛，估计成绩在86,97参考数据：若T∼Nμ,σ2，则Pμ−σ≤T≤μ+σ≈0.6827【变式81】（2025·陕西宝鸡·二模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：45,55、55,65、65,75、75,85、85,95．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值X服从正态分布Nμ,σ(1)根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差s的近似值为11，用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，可得到X服从的正态分布Nμ,σ2．求(2)从样本中质量指标值在45,55和85,95的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在85,95的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；(3)将指标值不低于K的芯片称为A等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为A等品的概率为0.16，用第（1）问结果试估计K的值．（附：①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ−σ<ξ<μ+σ【变式82】（2025·江西·二模）DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究，2024年末DeepSeekR1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAIGPT4.为提升工作效率，M公司引入DeepSeek，并对员工进行了DeepSeek培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训.(1)若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为23(2)为了激发员工的培训积极性，提升员工使用DeepSeek的能力，M公司在培训过后举办了一次DeepSeek知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩Z近似服从正态分布N(90，9)，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位)(3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为34，且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为X元，求X的分布列与数学期望E(参考数据：若Z~N(μ，σ²)，则P(μσ≤Z≤μ+σ)≈0.6827，P(μ2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.9973.【变式83】（2425高三下·重庆·阶段练习）智利的车厘子在中国市场上非常受欢迎，尤其是在春节前后，成为果品市场的“销售冠军”.进口水果办会对智利车厘子进行了分级，标准主要依据果实直径进行划分，通常分为以下几个等级：0级；直径在24mm到26mm之间；J级：直径在26mm到28mm之间；JJ级：直径在28mm到30mm之间；JJJ级：直径在30mm到32mm之间；JJJJ级：直径在32mm以上.某商贸公司根据长期检测结果，发现每批次进口车厘子的直径X服从正态分布Nμ,σ2(1)根据长期检测结果，车厘子直径的标准差s≈1，用标准差s作为σ的估计值，用样本平均数x（x按四舍五入取整数）作为μ的近似值.若从该批次中任取一颗，试估计该颗车厘子为一等品的概率（保留小数点后两位数字）；（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ−σ<ξ<μ+σ≈0.6827(2)若从样本中直径在[24,26）和32,34的车厘子中随机抽取3颗，记其中直径在32,34的个数为η，求η一、单选题1．（2025·吉林长春·模拟预测）已知随机变量X~B3,13，则PA．727 B．827 C．12272．（2025·浙江金华·一模）已知随机变量X∼N2,σ2，且PX<0=0.3A．0.2 B．0.4 C．0.7 D．0.353．（2025·四川成都·一模）已知甲、乙两批袋装食盐的质量（单位：g）分别服从正态分布Nμ甲,σ甲A．μ甲>μ乙，σ甲C．μ甲<μ乙，σ甲4．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（

）A．若X∼Nμ,σB．若X∼N1,22，C．r越接近1，相关性越强D．r越接近0，相关性越弱5．（2025·广东广州·模拟预测）某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布N(172,4)，则P(X≥168)≈（

）（附：若X~N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.97726．（2025·广东江门·二模）一箱苹果共有12个苹果，其中有n(2<n<7)个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为3n55，则n=（

A．3 B．4 C．5 D．67．（2025·四川巴中·二模）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左､向右落下的机会均等，且小球需要经过5次碰撞后落入球槽，求小球最终落入从左往右数第5号球槽的概率为（

）A．164 B．564 C．5328．（2025·山东·模拟预测）小王到某公司面试，一共要回答3道题，每道题答对得2分，答错倒扣1分，设他每道题答对的概率均为p0<p<1，且每道题答对与否相互独立，记小王答完3道题的总得分为X，则当EX+DX取得最大值时，A．14 B．13 C．23二、多选题9．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知随机变量X~B6,13，随机变量Y=3X+1A．P(X=2)=8081 B．E(X)=2 C．D(X)=410．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）为了解某种疫苗注射后血样指标的变化情况，将该疫苗给实验小猴注射，已知实验小猴的血样指标X服从正态分布N17,9，则（若X∼Nμ,σ2，则A．PX−17>6>0.05C．P11≤X≤20>0.8 11．（2025·重庆·三模）若随机变量X∼B10,p，且EX=2，随机变量Y∼Nμ，A．p=B．μ=3C．DD．5D三、填空题12．（2025·陕西·模拟预测）某工厂生产的灯泡使用寿命X∼N20,σ2（单位：千小时），且PX>23=0.1，则13．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望E(X)=.14．（2025·云南曲靖·二模）如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为23．若该质点共移动100次，则它位于数字四、解答题15．（2025·广东广州·模拟预测）某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市民对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成如下表：年龄（岁）15,2525,3535,4545,5555,6565,75频数551015105赞成的人数3491073(1)用样本估计总体，将样本频率视为概率，且每位市民是否赞成相互独立.现从全市年龄在45,55的市民中随机选取4人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；(2)若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷，记η为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数，求使概率Pη=k取得最大值的整数k16．（2025·广东·模拟预测）已知某企业加工某零件，根据长期检测结果，得知该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布Nμ,(1)求这100件零件的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(2)用这100件零件的质量指标值的样本平均数x作为μ的估计值，样本标准差s作为σ的估计值．若质量指标值在43,87内的产品为优等品，根据正态分布Nμ,附：取30=5.5Pμ−σ≤X≤μ+σ=0.6827，Pμ−2σ≤X≤μ+2σ17．（2025·福建泉州·模拟预测）为增强学生的法制意识，打造平安校园，某市组织该市的全体高中学生开展“智慧法治，平安校园”的知识竞