《面积比较的策略探究：度量意识与空间观念的协同发展》-小学数学五年级上册（北师大版）教学设计

《面积比较的策略探究：度量意识与空间观念的协同发展》——小学数学五年级上册（北师大版）教学设计一、教学内容分析

本课隶属北师大版小学数学五年级上册“图形的面积”单元起始课。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，本课是发展学生“量感”与“空间观念”这一核心素养的关键载体。在知识技能图谱上，它上承三年级下册“面积”概念的建立与长方形、正方形面积计算，下启本单元后续平行四边形、三角形等多边形面积公式的探索与推导，起到承上启下的枢纽作用。其核心并非单一知识的传授，而是聚焦于“比较”这一数学活动本身，引导学生从“数方格”这一直接度量方式，自然过渡到“割补”、“拼合”、“平移旋转”等间接比较策略，实质是对“面积守恒”观念以及“转化”数学思想的早期孕育和渗透。过程方法上，课标强调通过观察、操作、比较、归纳等数学活动，积累数学活动经验。本课将以此为路径，设计层层递进的探究任务，让学生在解决“哪个图形面积大”的真实问题中，主动建构比较策略的方法体系。素养价值层面，比较策略的多样性与优化选择过程，能培养学生思维的灵活性与批判性，而小组协作探究则有助于形成乐于合作、尊重他人观点的科学态度。

学情研判需立体多维。已有基础方面，学生已理解面积概念，会用数方格（包括整格与半格）的方法测量规则图形面积，具备初步的动手操作与观察能力。潜在认知障碍可能在于：一、策略单一，过度依赖直接数方格，对图形进行变换（如割补、旋转）的意识薄弱；二、缺乏策略优化的自觉性，难以在多种方法中根据图形特征选择最简洁的策略。教学过程中，将通过“前测性问题”（如直接呈现一组复杂图形）动态评估学生起点，并通过设计“开放度递增”的探究任务，暴露并引导克服思维定势。针对不同层次学生，支持策略将分层呈现：对策略感知较慢的学生，提供更具体的操作指导（如提示线）和直观学具（如透明方格纸）；对思维活跃的学生，则挑战其用多种方法验证同一结论，并引导其归纳策略共性，实现从“会比”到“巧比”的思维进阶。二、教学目标

知识目标：学生能在具体情境中，理解并归纳比较图形面积大小的多种策略（如直接观察法、数方格法、割补法、拼组法等），理解这些策略背后的数学原理（如面积守恒、图形等积变换），并能用规范的语言描述比较的过程和结果，构建起比较图形面积的方法论雏形。

能力目标：学生通过动手操作（剪、拼、移、转）与小组协作，发展空间想象与几何直观能力；在尝试、验证、比较不同策略的过程中，提升分析问题、解决问题的策略性思维与推理能力；能够清晰、有条理地表达自己的思考过程，并倾听、评价同伴的思路。

情感态度与价值观目标：在探究“一题多解”的过程中，体验数学思考的乐趣和策略多样性的魅力，激发求知欲与挑战精神；在小组交流中，学会欣赏他人不同的解题思路，培养合作意识与包容、理性的讨论习惯。

科学（学科）思维目标：重点发展“转化”的数学思想，即引导学生认识到将未知、复杂图形转化为已知、简单图形进行比较的思维路径；初步建立“优化”意识，能在多种可行策略中，根据图形特征选择更简洁、更高效的方法。

评价与元认知目标：引导学生建立“策略有效性”的评价标准（如是否准确、是否简便）；鼓励学生在学习过程中进行自我监控，反思“我为什么选择这种方法？”、“还有更好的方法吗？”，逐步养成计划、监控、调节学习过程的元认知习惯。三、教学重点与难点

教学重点：探究并掌握比较图形面积大小的多种策略，理解策略背后的“度量”本质（即无论形状如何变化，面积总量不变）。其确立依据源于课标对“量感”培养的要求，以及本单元知识的内在逻辑：后续所有多边形面积公式的推导，实质都是运用“割补”、“拼合”等手段，将新图形转化为已学图形进行“比较”（度量）的过程。因此，本课的策略探究是后续学习的思维原型与方法基础。

教学难点：策略的合理选择与优化，特别是“割补法”、“旋转平移法”等需要空间想象力的策略的灵活运用。难点成因在于学生从具体的“数”过渡到抽象的“变”，认知跨度较大。常见错误表现为割补后图形关系对应错误，或无法意识到通过变换可以使比较变得更简单。预设通过提供可操作的学具（如可剪拼的卡片）、动态课件演示及小组间的思维碰撞（“看看他是怎么变的？”）来搭建脚手架，化抽象为直观，突破难点。四、教学准备清单1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（内含可拖拽、动画演示的图形）；实物投影仪。

1.2学习材料：每组一份“图形探秘”学习任务单（内含不同层次的探究图形）；多种图形卡片（相同大小，可剪拼）；透明方格纸。2.学生准备

剪刀、胶水、直尺；预习回顾面积的概念。3.环境布置

课桌椅按46人小组合作形式摆放；黑板分区规划：左为“策略展示区”，中为“核心问题”，右为“学生疑问与发现”。五、教学过程第一、导入环节

1.情境创设，引发冲突：“图形王国正在举办‘最美花园’设计大赛，小兔、小熊和小猴都提交了自己的花园平面图（课件出示三个形状各异、面积相近的图形）。国王有点犯难了：‘哪只小动物的花园面积最大，能种的花最多呢？’同学们，你们能帮国王裁判一下吗？”（呈现问题，制造认知冲突）

1.1唤醒旧知，提出核心问题：先让学生自由发表初步看法。“老师听到有同学说‘数格子’，这是个好办法！但我们之前数的都是规则图形，现在这几个形状有点特别，数起来方便吗？有没有更巧妙的办法呢？”（引出核心问题：如何比较这些不规则或复杂图形的面积？）“今天，我们就化身‘图形面积小侦探’，一起探究比较图形面积的多种策略！”

1.2明晰路径：“我们的探案工具就是大家手边的图形卡片、方格纸和聪明的脑袋。我们将通过几个挑战任务，来寻找和总结比较面积的‘破案秘籍’。”第二、新授环节任务一：初探与猜想——直面复杂图形教师活动：首先，出示学习单上的第一组图形（一个长方形和一个与之面积相等但通过分割、移动部分后形成的复杂图形）。提问：“不计算，仅仅通过观察，你能判断这两个图形的面积大小关系吗？说说你的理由。”鼓励学生大胆猜想。接着，提供透明方格纸，“现在，请用你们最熟悉的方法——数方格来验证一下你的猜想。数的时候要注意什么？”（引导学生复习“满格”、“半格”的处理）。验证后追问：“虽然数方格能解决问题，但过程有点繁琐。仔细观察这两个图形，它们的各部分之间有没有‘秘密’？”用课件动态演示将复杂图形通过平移各部分，变回长方形的过程。“看，它变回了原来的长方形！这个‘变’的过程，给了我们什么新启发？”学生活动：观察图形，产生直观猜想（可能认为不一样大）。使用透明方格纸覆盖并数格，验证面积相等，体验方法的可靠性但感受其繁琐。观看课件演示，发出惊叹，初步感知图形可以通过“平移”进行变换而不改变面积。即时评价标准：1.猜想是否有依据（如“我觉得这边凸出来，那边凹进去，可能差不多”）。2.数方格过程是否有序、准确。3.能否专注观察动态演示，并尝试用语言描述变化（如“那一块移到这里来了”）。形成知识、思维、方法清单：★直接观察法：仅适用于形状差异非常明显的图形，往往只能估测，不够精确。★数方格法（直接度量）：是最基本、最可靠的方法，适用于任何图形，但有时效率较低。▲转化思想初现：通过平移，可以将不规则图形转化为规则图形，从而更容易比较，这暗示了图形形状变化时面积可能保持不变的“守恒”观念。任务二：操作与发现——“割补”策略的诞生教师活动：发放第二组图形卡片（如一个平行四边形和一个与其等底等高的三角形，面积存在倍数关系）。提出挑战：“这两个图形，能用数方格法比吗？当然可以。但老师想看看，哪位侦探能不依赖方格纸，只通过剪一剪、拼一拼，就发现它们面积之间的关系？”引导学生以小组为单位操作。巡视指导，关注不同剪拼方法，如将平行四边形沿对角线剪开成两个三角形，或将三角形补成平行四边形。邀请不同方法的小组上台展示。“大家看，这组同学把平行四边形变成了两个完全一样的三角形，这说明什么？”“那组同学把三角形‘补’成了平行四边形，这又是怎么想的？”引导学生总结：通过剪（割）和拼（补），我们把陌生的图形变成了熟悉的图形，从而比较出面积关系。学生活动：小组合作，动手剪拼图形卡片。尝试不同的分割与拼接方式，探究两个图形面积的关系。上台展示并讲解自己的操作过程：“我们沿着这条线剪开，然后把这个三角形移到这边，就拼成了一个……”。倾听其他小组的方法，进行比较。即时评价标准：1.操作是否具有目的性（是否为比较面积而剪拼）。2.是否能清晰表达“割”与“补”的对应关系。3.小组分工是否明确，合作是否有效。形成知识、思维、方法清单：★割补法：通过将图形的一部分切割下来，移动到另一位置，从而改变形状但不改变面积，是“转化”思想的具体体现。▲核心操作要点：“割”要合理，确保切割后的部分能恰好“补”到另一处，实现图形的等积变形。★等积变换：割补、平移、旋转都是图形的一种等积变换，变换前后图形的面积保持不变，这是比较策略成立的数学根基。任务三：归纳与命名——策略家族的梳理教师活动：引导全班回顾前两个任务。“我们一共找到了几种比较面积的方法了？能给它们起个名字，并说说每种方法在什么时候用最合适吗？”将学生说出的策略（观察法、数格法、割补法）板书在“策略展示区”。接着出示第三组图形（两个由完全相同的基本图形以不同方式拼成的组合图形）。“挑战升级！这两个图形，你们会选择哪种策略来比较？为什么？”鼓励学生不操作，先进行策略预选并陈述理由。然后允许验证。“看来，面对不同特点的图形，我们要像选择工具一样，选择最合适的策略。”学生活动：参与全班讨论，归纳并命名已发现的策略。面对新图形，进行思维预演，判断并论证策略选择的合理性（如：“它们是用一样的两块拼的，只是拼法不同，所以直接‘拼组’一下就能比出来，不用数格”）。即时评价标准：1.能否准确概括策略的核心特征。2.策略选择的理由是否基于图形特征的分析。3.能否倾听并吸收他人对策略命名的建议。形成知识、思维、方法清单：★策略体系：比较图形面积的策略是多元的，包括直接观察法、数方格法、重叠法、割补法、拼组法等。★策略优化意识：没有最好的方法，只有最合适的方法。选择策略时，应优先分析图形特征（是否规则、是否有相同组成部分等），追求简便、准确。▲数学交流：为自己的方法命名并解释，是数学学习中的重要能力，它能帮助理清思路，促进深度学习。任务四：应用与挑战——策略的灵活选用教师活动：出示一个综合性格子图，上面绘制了多个彼此关联的图形（如A、B、C，其中A与B能拼成C）。提出问题：“已知图形A的面积是X，图形B的面积是Y，那么图形C的面积是多少？你是怎么想的？”此任务意在促进策略的综合运用与逆向思考。鼓励学生用不同方式推演，并引导他们发现，有时不需要知道具体数值，利用图形关系（如等量代换）即可推理。“不计算，你能从图中直接看出哪两个图形的面积之和等于第三个图形吗？”学生活动：观察复杂格子图，分析图形间的结构关系。尝试运用割补、拼组的思路进行推理，可能提出“把A和B拼起来正好是C”，或“C剪掉一部分就是A”等多种思路。进行简单的说理。即时评价标准：1.能否从复杂的图形网络中识别出基本的等积或组合关系。2.推理过程是否逻辑清晰，步步有据。3.能否突破具体数值，进行纯图形关系的思考。形成知识、思维、方法清单：★综合应用：实际问题往往需要综合运用多种策略。▲关系推理：比较面积不仅可以直接操作，还可以利用图形之间的和、差、等量关系进行间接推理，这是思维的高级形式。★空间观念提升：此任务有效锻炼了在复杂背景中识别、分解、组合图形的能力，是空间观念发展的良好契机。第三、当堂巩固训练

设计分层练习，学生可根据自身情况至少完成前两层。

1.基础层（全员必做）：学习单上提供三组图形，要求分别选用最合适的方法比较其面积大小，并简要写出所用方法（如：数方格、割补）。题目图形特征明显，直接对应核心策略。“请大家独立完成，完成后和同桌交换，用‘√’或‘？’互相检查方法选择是否合理。”

2.综合层（鼓励完成）：呈现一个生活中的情境问题，如“有两张形状不同的彩纸，如何判断哪张纸更大？（提供方格背景图）”。要求学生设计至少两种不同的比较方案。“想一想，除了课堂上用的方法，你还能从生活中找到灵感吗？”

3.挑战层（学有余力选做）：在方格图中设计一个图形，使其面积等于给定图形A的面积，但形状完全不同。“这是一个创意设计题，看谁能用最巧妙的变化，创造出面积相等的‘双胞胎’图形！”

反馈机制：基础层练习通过同桌互评快速反馈；教师巡视收集综合层与挑战层的典型方案，利用实物投影展示，引导全班讨论不同方案的优劣，聚焦策略选择的合理性。第四、课堂小结

1.知识整合：“今天我们这位‘面积侦探’当得怎么样？一起来整理一下我们的‘破案工具包’吧！”引导学生以思维导图形式，师生共同在黑板上梳理比较图形面积的策略网络图，明确各种策略的关系与适用情形。

2.方法提炼与元认知反思：“回顾一下，你在这节课上最大的收获是什么？是学会了一种新方法，还是明白了遇到问题要多角度思考？”“有没有哪位同学一开始只用数方格，后来发现用割补更快？这种转变的过程就是学习中的宝贵成长。”引导学生反思学习过程。

3.作业布置与延伸：公布分层作业（见下文“作业设计”）。并留下思考题：“我们今天都是在平面图上比较，如果真正比较两块不规则土地的面积，你还能用这些方法吗？可能需要怎么做？”将问题引向实际测量，为后续学习铺垫。六、作业设计基础性作业（必做）：1.完成教材课后练习题，巩固数方格、割补等基本方法。2.从生活中（如树叶、手掌印）拓印两个不规则图形，尝试用至少两种方法比较它们面积的大小，并记录过程。拓展性作业（选做）：3.（数学小论文）以“我是这样比较面积的”为题，撰写一篇短文，介绍你最喜欢的一种比较策略，并举例说明它的优势。4.设计一道比较图形面积的题目考考你的家人或同学，要求题目能巧妙运用割补或拼组策略。探究性/创造性作业（挑战选做）：

研究“皮克定理”（计算顶点在格点上的多边形面积公式），尝试用它来计算一个格点多边形的面积，并与数方格法比较，感受数学的简洁与威力。七、本节知识清单及拓展

1.★面积：物体的表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积。

2.★面积守恒：一个图形无论其形状如何改变（如分割、平移、旋转），只要不发生重叠或缺失，其总面积保持不变。这是所有比较策略的底层逻辑。（教学提示：可通过剪纸拼接的动态演示强化理解）

3.★直接观察法：仅凭视觉判断，适用于面积相差悬殊的图形。结论是“估计”，不精确。

4.★数方格法（直接度量）：用统一面积单位（如1平方厘米的方格）去铺满图形，通过数方格的个数来比较面积。（易错点：处理不是整格的部分时，需合理估算，通常将不足半格的舍去，超过半格的算一格）

5.★重叠法：将两个图形直接重叠在一起，观察多余部分。适用于形状相似、大小接近的图形。

6.★割补法：核心策略之一。通过切割、移动、拼接，将不规则的、复杂的图形转化为规则的、简单的图形，再进行比较。（操作关键：割补后的图形应易于比较或计算，且必须保证等积）

7.★拼组法：核心策略之一。当两个图形可以拼接成一个新图形，或一个图形可以分割成与另一个图形相同的几部分时，通过分析部分与整体的关系来比较面积。

8.▲等积变形：割补、平移、旋转等操作都属于等积变形，它们是实现图形转化的重要手段。

9.★转化思想：将未知的、复杂的问题转化为已知的、简单的问题来解决，是数学中极其重要的思想方法。本课的“割补”、“拼组”都是这一思想在几何中的体现。

10.★策略选择与优化：比较面积时，应首先观察图形特征，灵活选用合适策略。目标是追求比较过程的简洁性与准确性。（教学提示：鼓励学生多法并举，然后比较优劣，而非满足于一种解法）

11.▲度量意识：比较面积的过程，本质是度量的过程。无论是直接数单位，还是间接转化后比较，都是在进行“度量”。这为今后学习更抽象的度量（如体积、角度）打下思维基础。

12.▲皮克定理（拓展）：对于顶点都在格点上的多边形，其面积S=a+b/21，其中a是多边形内部格点数，b是多边形边界上的格点数。这是一个高效计算格点图形面积的工具。八、教学反思

（一）目标达成度评估：本课预设的核心目标是引导学生探究并理解比较图形面积的多种策略。从课堂实况看，通过“任务驱动”与“操作探究”，绝大多数学生能亲身经历从直接数格到主动寻求割补、拼组的思维跃迁。在当堂巩固练习中，约85%的学生能根据图形特征正确选用至少两种策略，表明知识目标基本达成。能力与思维目标方面，小组合作中的方案交流与策略辩论，有效锻炼了学生的几何直观与说理能力，“转化”思想在学生的操作与表达中有了鲜活载体。“我原来只会数，现在发现剪一剪、拼一拼更好玩！”学生的这类反馈，是情感与元认知目标达成的生动注脚。

（二）教学环节有效性分析：

1.导入环节的“花园选美”情境，迅速聚焦了核心问题，激发了探究欲。“到底谁的大呢？光看还真说不准。”这种认知冲突的设置是成功的。

2.新授环节的四个任务构成了清晰的认知阶梯。任务一（数方格）巩固旧知，感受局限；任务二（操作割补）是突破关键，学生在“剪拼”中亲手创造了“转化”；任务三（归纳命名）促进思维结构化；任务四（综合应用）推动思维灵活化。任务间的递进关系基本实现了“支架”作