小学五年级数学上册《倍数与因数》单元核心概念建构教学设计

小学五年级数学上册《倍数与因数》单元核心概念建构教学设计一、教学内容分析从《义务教育数学课程标准（2022年版）》的视角审视，“数与代数”领域中“数的认识”与“数的运算”两条主线在本课交汇，构成了数论知识的初步基石。本课“倍数与因数”承接学生已有的整数乘除法认知，开启了从“运算关系”到“数本身属性”探究的崭新维度，是后续学习公因数、公倍数、分数基本性质乃至代数思想的重要逻辑起点。其知识技能图谱聚焦于在具体情境中理解倍数与因数的概念，掌握寻找一个数的倍数与因数的方法，并初步感知其特性。过程方法上，课标强调通过观察、操作、归纳、类比等数学活动，发展学生的抽象能力和推理意识。本课天然地蕴含着从具体算式中抽象数学关系，进而归纳一般规律的建模过程。其素养价值渗透于数感、符号意识及逻辑推理的培养：在探索“非零自然数”范围内倍数与因数的相互依存关系时，学生得以深化对整数性质的理解，发展有序、全面思考问题的思维品质，初步体会数学知识间的普遍联系。小学五年级学生的思维正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们已熟练掌握乘除法运算，能够理解“几倍”的含义，这为从乘法算式中抽象倍数与因数关系奠定了良好基础。然而，学生的认知障碍可能在于：一是难以脱离具体的“倍”来理解作为“关系”的“倍数与因数”；二是寻找因数时容易遗漏或重复，缺乏有序思考的策略；三是易受“倍数越大，因数就越多”等前概念干扰。因此，在教学过程中，我将设计“算式分类”、“拼长方形”等操作活动，搭建从具体到抽象的桥梁。通过巡视观察学生的操作过程、倾听小组讨论、分析课堂生成作品等形成性评价手段，动态诊断学生在概念建构和有序思考上的困难。针对不同层次的学生，支持策略将分层展开：对于基础薄弱的学生，提供更具体的实物模型（如小方块）和步骤清晰的“脚手架”清单；对于思维活跃的学生，则挑战其探索一个数倍数与因数的特性，并鼓励其用数学语言解释规律，实现差异化发展。二、教学目标知识目标：学生能在具体情境和乘法算式中，准确理解倍数与因数的意义，清晰表述两者之间相互依存的关系；掌握寻找一个数的倍数（列举法）与因数（成对寻找法）的基本方法，并能有序、不重复、不遗漏地找出一个数的全部因数；初步感知一个数的倍数个数无限、最小的倍数是它本身，以及一个数的因数个数有限、最大的因数是它本身等基本特性。能力目标：学生能够通过观察一组乘法算式，自主发现并抽象出倍数与因数的概念；在“用指定数量的小正方形拼长方形”的探索活动中，发展空间想象能力与动手操作能力，并能够将“拼法”与“因数”建立有效联结，实现数学建模；在小组讨论中，能够清晰表达自己的发现，并对他人的观点进行有理有据的补充或质疑，提升数学交流与协作能力。情感态度与价值观目标：在探究倍数与因数奥秘的过程中，学生能体验到数学知识间的内在联系与逻辑之美，激发对数学的好奇心与求知欲；在小组合作解决问题的过程中，养成乐于分享、认真倾听、尊重他人意见的良好合作习惯；通过克服寻找因数过程中的困难，培养严谨求实、一丝不苟的科学态度和克服困难的意志品质。学科思维目标：重点发展学生的抽象概括思维与有序思考能力。引导学生经历从大量具体实例（算式）中抽取共同数学本质（倍数与因数关系）的抽象过程；在寻找因数时，通过“从1开始试除”、“成对出现”等策略的引导，强化思维的条理性和全面性，初步渗透分类讨论和归纳推理的数学思想方法。评价与元认知目标：引导学生学会使用“互评检查表”对同伴寻找因数的过程与结果进行评价，依据“是否有序”、“是否找全”等标准提出改进建议；在课堂小结环节，鼓励学生反思“我是如何找到一个数的所有因数的？”、“最容易出错的地方是什么？”，从而监控和调整自己的学习策略，提升元认知水平。三、教学重点与难点教学重点：理解倍数与因数的意义及其相互依存关系。确立依据在于，此概念是构建整个数论知识体系的基石，是后续学习最大公因数、最小公倍数等核心概念的逻辑前提。从课程标准看，它属于“数的认识”领域的“大概念”，要求学生不仅“知其然”，更要“知其所以然”。从学业评价导向看，无论是基础概念辨析还是解决实际问题，对概念本质的理解都是正确解题的关键。教学难点：有序、不重复、不遗漏地找出一个数的所有因数。预设难点成因在于：首先，该过程思维抽象，要求学生从“试”的盲目操作上升到“有序思考”的策略层面，认知跨度较大；其次，学生容易满足于找到部分因数，缺乏“找全”的意识和方法；最后，因数“成对出现”的特性若未掌握，极易导致遗漏。此难点在常见作业和测试中表现为典型失分点。突破方向在于设计“拼长方形”等直观操作活动，将抽象的“找因数”转化为具体的“找拼法”，并通过引导学生观察拼法记录，自然发现并总结“从1开始，一对一对找”的有序策略。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件（含情境动画、概念梳理图、分层练习题）；写有不同乘法算式的卡片；数字磁贴。1.2学习材料：设计分层学习任务单（含探究记录表、巩固练习、自我评价栏）；为有需要的学生准备小正方形学具（如磁性方块或纸片）。2.学生准备2.1预习任务：回忆“倍”的含义，尝试用12个小正方形（或画图）拼摆不同的长方形，并记录长和宽。2.2常规物品：数学书、练习本、文具。3.环境布置3.1座位安排：课前将座位调整为46人小组，便于合作探究。3.2板书记划：预留核心概念区、探究过程记录区、学生作品展示区。五、教学过程第一、导入环节1.情境激趣，唤醒旧知：同学们，体育课排队时遇到过这种情况吗？老师要求“每排站6人”，那么24人的班级能正好站成整排吗？你是怎么快速判断的？（预设生答：用24除以6，没有余数）。对，这里的“正好站完”在数学上就和除法运算的某种特殊情况紧密相关。1.1算式分类，聚焦关系：请看大屏幕上的这些乘法算式：3×4=12，2×6=12，1×12=12，5×7=35，8×9=72。请大家以小组为单位，根据积是否等于12，将它们分成两类。好，分得真快！那么，在积是12的这些算式里，乘数和积之间有什么特别的“关系”呢？今天，我们就一起来探究乘法和除法中这些数之间隐藏的“特殊关系”——倍数与因数。第二、新授环节任务一：从算式中抽象倍数与因数概念教师活动：首先，聚焦算式“3×4=12”。我会提问：“在数学上，我们可以说12是3和4的倍数，反过来，3和4是12的因数。谁能模仿这种说法，说说2×6=12这个算式中，谁是谁的倍数，谁是谁的因数？”接着，我会引导学生辨析：“能单独说12是倍数，3是因数吗？”借此强调倍数与因数相互依存的关系，就像我们之前学的分子与分母一样，必须“成对出现”。然后，我会让学生尝试说一说“1×12=12”中倍数与因数的关系，并特别指出：一个数既是它本身的倍数，也是它本身的因数。最后，引导学生观察“5×7=35”，让他们判断35和5、7之间是否也存在这种关系，并强调我们只在自然数（0除外）范围内研究。学生活动：学生认真听讲，模仿教师示例进行表述。针对教师的辨析性提问，展开思考与讨论，理解“相互依存”的含义。尝试独立用规范的数学语言描述其他算式中数的关系。通过辨析非12的算式，明确概念的应用范围。即时评价标准：1.语言表述是否规范、完整（如“12是3的倍数，3是12的因数”）；2.能否清晰指出“不能单独说”，并理解相互依存关系；3.能否将概念正确迁移到新的、符合条件（积为自然数）的算式中。形成知识、思维、方法清单：★概念定义：在a×b=c（a,b,c均为非零自然数）的算式中，c是a和b的倍数，a和b是c的因数。▲核心关系：倍数与因数是相互依存的关系，不能单独存在。★特殊情形：一个数的最小倍数和最大因数都是它本身。▲研究范围：我们只在自然数（0除外）的范围内研究倍数与因数。教学提示：此环节重在语言模仿与关系体悟，避免死记硬背定义。任务二：探究如何寻找一个数的倍数教师活动：“同学们，我们已经知道12是3的倍数。那么，3的倍数除了12，还有哪些呢？你能按顺序说出一些吗？”我会鼓励学生自由发言。随后追问：“3的倍数有多少个？最小的一个是几？为什么没有最大的？”引导学生发现倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身。接着，我会规范方法：“通常，我们可以用这个数依次乘1、2、3……来有序地找出它的倍数。来，我们一起找出5的几个倍数。”最后，设置一个小挑战：“你能快速判断48是不是6的倍数吗？说说你的方法。”（引导用除法）学生活动：积极思考并列举3的倍数（如3,6,9,12…）。在教师引导下，通过观察列举的数列，发现倍数个数无限和最小倍数的规律。学习用乘法口诀或乘法算式有序地寻找一个数的倍数（如5,10,15…）。运用除法（48÷6）进行快速判断，巩固“整除”即存在倍数关系这一本质。即时评价标准：1.列举倍数时是否有序、流畅；2.能否用准确的语言描述倍数“无限多”、“最小是它本身”的特性；3.能否灵活运用乘法或除法来寻找、判断倍数。形成知识、思维、方法清单：★找倍数的方法：用这个数依次乘非零自然数1,2,3……所得的积都是它的倍数。★倍数的特性：一个数的倍数个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。▲判断技巧：可以用乘法思考，更常用除法判断：如果a÷b商是整数且没有余数，那么a就是b的倍数。教学提示：引导学生感受“有序”思考的优越性，并与“无限”的数学观念建立初步联系。任务三：挑战难点——有序找出一个数的所有因数教师活动：这是本节课的攻坚点。我会将课前预习的“用12个小正方形拼长方形”活动升级为课堂核心探究。“请大家拿出任务单或学具，再次验证：用12个同样大的小正方形，能拼出几种不同的长方形？并把每次拼法的长和宽记录在表格里。”巡视指导，关注操作有困难的学生。待大部分完成后，请小组代表上台展示记录（如：长12宽1，长6宽2，长4宽3）。“大家看，拼成的长方形种数，以及每一种的长和宽，与12的因数有什么关系？”引导学生发现：有几种拼法，12就有几对因数；长和宽就是12的因数。接着，我追问：“怎样找才能保证既不重复也不遗漏呢？观察我们找出的因数（1,2,3,4,6,12），它们排列上有什么规律？”引导学生发现“成对出现，由小到大”的规律，并总结方法：从1试起，一对一对地找，直到相邻重复为止。学生活动：动手操作（或借助画图想象）拼摆长方形，并认真记录数据。观察记录表，建立“拼法”与“因数对”的直观联系。在教师引导下，观察已找出的因数排列顺序，主动发现“成对”和“有序”的规律。尝试用总结的方法（从1开始试除）口头寻找16或18的因数。即时评价标准：1.操作与记录是否认真、准确；2.能否建立“拼法种数=因数对数”的联系；3.在总结方法时，能否清晰说出“从1开始”、“看哪两个数相乘”、“成对记录”等关键词。形成知识、思维、方法清单：★找因数的方法（重点）：从1开始试除，看哪两个整数相乘等于这个数，这两个数就是它的因数，成对记录，按从小到大顺序排列。★因数的特性：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。▲直观模型：“拼长方形”是理解因数及“找全”方法的绝佳模型。易错警示：找因数时最容易遗漏中间或较小的因数（如找24的因数易漏掉3、4），务必遵循有序策略。任务四：对比深化，明晰概念异同教师活动：“同学们，现在我们既会找一个数的倍数，也会找一个数的因数了。我们来玩一个‘快速反应’游戏好吗？我说一个数，请你快速说出它的一个倍数和一个因数。”依次出示“8”、“15”。“大家发现说倍数和说因数时的感觉有什么不同？”引导学生对比：倍数可以越说越大，无穷无尽；因数说到本身基本就结束了。然后，我将组织小组讨论：“一个数的倍数和因数有什么相同点和不同点？请从个数、最小数、最大数几个方面比较。”我会提供对比表格作为“脚手架”。学生活动：积极参与“快速反应”游戏，感受寻找倍数（开放）与因数（收敛）的思维差异。进行小组讨论，结合之前探究的经验，从多个维度对比倍数与因数的异同，并尝试填写对比表格。派代表分享本组结论。即时评价标准：1.游戏反应是否迅速、正确；2.小组讨论是否积极参与，能否从具体实例中提炼共性与差异；3.总结对比时是否条理清晰，涵盖关键维度。形成知识、思维、方法清单：★核心对比：倍数（无限多个，最小是本身，没有最大）vs因数（有限多个，最小是1，最大是本身）。▲思维差异：找倍数是“发散”思维，找因数是“收敛”思维。★内在联系：都源于乘除法关系，且一个数既是它自身的倍数，也是它自身的因数。教学提示：此对比是概念结构化的重要步骤，有助于学生形成清晰的知识网络。任务五：基础应用与概念辨析教师活动：设计一组基础判断题和填空题，通过希沃白板等工具让学生即时作答或抢答。题目如：①因为15÷5=3，所以15是倍数，5是因数。（）②一个数的倍数一定比它的因数大。（）③请写出24的全部因数。我会重点讲解典型错误，如第①题再次强调相互依存，第②题引导学生举出反例（如一个数本身）。学生活动：独立或竞相完成基础练习。对存疑的题目进行思考和辩论。认真听讲教师或同学对错题的分析，修正自己的理解。即时评价标准：1.答题的正确率；2.辨析错误时，能否指出关键谬误并用准确概念进行反驳；3.书写因数的答案是否有序、完整。形成知识、思维、方法清单：★典型错题解析：判断说法时必须审视“关系”是否成对、表述是否完整。★反例的价值：要证明一个结论错误，只需举出一个反例即可，这是重要的数学论证方法。▲规范书写：列举因数时，通常按从小到大的顺序，用逗号隔开。易错警示：“倍数”与“倍”的区别：“倍”可以用于小数、分数，而“倍数”仅限于我们约定的非零自然数范围。第三、当堂巩固训练我将设计分层、变式的三级训练体系。基础层（全员通关）：1.根据算式25×4=100，填空：（）和（）是（）的因数，（）是（）和（）的倍数。2.请写出30以内7的全部倍数。3.请找出18的全部因数。综合层（多数挑战）：1.一个长方形的面积是36平方厘米，且长和宽都是整厘米数，这样的长方形有几种？长和宽分别是多少？（此题是“拼长方形”模型的逆向与情境化应用）。2.猜数游戏：我的最大因数和最小倍数都是16，我是谁？我既是24的因数，又是8的倍数，我可能是哪些数？挑战层（学有余力）：探索“完美数”。介绍6是一个“完美数”，因为6的因数中，除去它本身，其余因数（1,2,3）相加正好等于6。你能找到20以内的下一个“完美数”吗？（激发数学文化兴趣与探索欲）。反馈机制：基础层练习通过同桌互查、教师抽查快速反馈；综合层练习采用小组讨论后派代表讲解，教师点评思路；挑战层则作为课后趣味探索，在下一课前进行简短分享。对于共性错误，如找因数遗漏，将利用学生作品进行投屏对比讲评。第四、课堂小结“同学们，今天的数学探险之旅即将结束，谁能当一回‘小老师’，用你喜欢的方式（比如画一棵‘知识树’，或列一个表格）来梳理一下本节课我们学到了哪些核心知识和思想方法？”引导学生从“什么是倍数与因数”、“怎么找”、“它们有什么特点和区别”等方面进行结构化总结。我会鼓励学生分享：“在‘找因数’的探索中，你觉得最关键的一步或方法是什么？你从同学那里学到了什么好方法？”进行元认知反思。最后布置分层作业：必做（基础）：完成练习册对应基础题；仿照课堂上的对比表格，整理倍数与因数的异同。选做（拓展）：1.探究“1”的因数有什么特点？为什么说“1”是所有非零自然数的因数？2.（接挑战层）继续研究“完美数”，查阅资料，了解它的故事。预告下节课我们将利用倍数和因数的知识，来研究“奇妙的质数与合数”。六、作业设计基础性作业：1.完成课本第3132页“练一练”中的第1、2、3题。要求书写工整，找出因数时必须有序书写。2.从下列数中任选两个，写出一个乘法算式，并根据算式说出谁是谁的倍数，谁是谁的因数：4，6，20，24。拓展性作业：1.生活小调查：请寻找生活中哪些地方用到了“倍数”或“因数”的思想？（如商品包装、日程安排等），并做简单记录。2.数学日记：以“我是数字24”为第一人称，写一篇短文，介绍你的倍数家族和因数家族分别有哪些成员，并说说找全因数家族的秘密。探究性/创造性作业：1.设计闯关题：请你为“倍数与因数”这个知识点设计三道有梯度的闯关题（基础题、变式题、挑战题），并附上答案和解题思路说明。2.探究“相亲数”：查阅数学史资料，了解一对“相亲数”（如220和284）的故事，并验证它们为何被称为“相亲数”。七、本节知识清单及拓展★倍数与因数的定义：在a×b=c（a,b,c均为非零自然数）的关系中，c是a和b的倍数，a和b是c的因数。理解的关键是“相互依存”，不能孤立地说。▲找倍数的方法与特性：用这个数依次乘1、2、3……。一个数的倍数有无限多个，最小的是它本身，没有最大的。★找因数的方法与特性（核心）：从1开始试除，成对寻找，按从小到大的顺序记录。一个数的因数个数有限，最小的是1，最大的是它本身。“拼长方形”模型是理解此方法的利器。★倍数与因数的对比：从“个数”（无限vs有限）、“最小数”（本身vs1）、“最大数”（无vs本身）三个维度进行清晰区分，这是构建知识结构的关键。▲特殊数“1”：1是所有非零自然数的因数，且它只有本身一个因数。▲完美数：一个数等于除它自身以外的全部因数之和，这样的数叫完美数。6是最小的完美数，它能启发学生对数进行深入探究的兴趣。易错点提醒：1.表述不完整（如说“15是倍数”）；2.找因数时无序、遗漏；3.误认为一个数的倍数总比因数大（忽略它本身）。思想方法提炼：本节课主要运用了从具体到抽象的概括思想、有序思考的分类思想、以及借助几何模型（拼长方形）解决数论问题的数形结合思想。八、教学反思一、教学目标达成度分析本节课后，通过检视学生的课堂练习反馈及课后访谈，预计大部分学生能准确表述倍数与因数的关系，基础层练习的正确率较高，表明知识目标基本达成。在能力目标上，“拼长方形”的探究活动有效调动了学生的操作与思考，多数小组能成功建立模型联系并总结有序方法，但仍有部分学生在独立寻找较大数的因数（如36）时策略不稳定，有序思考的习惯需持续强化。情感目标在小组合作与探索“完美数”的环节中有所体现，学生表现出浓厚兴趣。（一）核心环节有效性评估1.导入与概念抽象环节：从“排队”情境和算式分类切入，顺畅自然，成功将生活问题数学化。“相互依存”关系的强调通过辨析性提问实现，学生反应积极，但后续练习中仍有个别学生表述不严谨，需在后续课中反复巩固。2.“找因数”探究环节：此为设计的重中之重。“拼长方形”的操作极大地化解了抽象思维的难度，学生“做中学”的氛围浓厚。巡视中发现，预先准备小方块学具对理解困难的学生帮助显著，体现了差异化支持。学生从“拼法”到“因数对”的发现过程比预想的更顺利，但在从操作经验上升到“从1开始试除”的通用方法时，部分中等生需要更细致的引导步骤。我心里想：“直观模型到抽象方法的‘桥梁’，还需要搭得更平缓一些。”二、学生表现深度剖析在小组讨论中，思维活跃的学生（A类）不仅能快速发现规律，还能主动帮助同组同学，并挑战“完美数”问题，他们享受的是逻辑推理的乐趣。大多数中间层次学生（B类）在“脚手架”（任务单、教师引导性问题）的支持下能跟上节奏，完成探究