2026高一数学寒假自学课（苏教版）专题06 幂函数的图象与性质（2重点+15题型）（原卷版）

专题06幂函数的图象与性质

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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

【考点01】幂函数的概念

我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.

【考点02】幂函数的图象和性质

（1）幂函数的图象

1

在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x2，y＝x－1的图象如图所示：

（2）幂函数的性质

1

y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1

y＝x2

定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)

值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数

在(－∞，0]上是

在(－∞，＋∞)减函数，在[0，在(－∞，＋∞)在[0，＋∞)上是在(－∞，0)上是减函数，

单调性

上是增函数＋∞)上是增函上是增函数增函数在(0，＋∞)上是减函数

数

定点(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)

注：(1)当α>0时，幂函数y＝xα具有如下性质：

①函数的图象过点(0，0)，(1，1).

②在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，即函数在区间[0，＋∞)上是增函数.

(2)当α<0时，幂函数y＝xα具有的性质为：

①函数的图象都过点(1，1).

②在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是减函数.

【二级结论1】幂函数奇偶性规律

n

(3)对于形如fxxm（其中m∈N*，n∈Z，m与n互质）的幂函数

①当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；

②当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；

③当m为偶数时，x0（或x0），fx是非奇非偶函数，图象只在第一象限（或第一象限及原点处）

【二级结论2】幂函数y＝xα在第一象限的两个重要结论

（1）恒过点（1，1）；

（2）当x∈（0，1）时，α越大，函数值越小；当x∈（1，＋∞）时，α越大，函数值越大.

幂函数的判断及应用

(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底

数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数．

(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式．

1．【多选】（24-25高一上·浙江丽水·期末）下列函数中，为幂函数的是（）

A．f(x)x3B．f(x)2x2C．f(x)x1D．f(x)2x

2．【多选】（23-24高一上·湖南长沙·期末）下列哪些函数是幂函数（）

x-3

A．y2B．y=x2C．y(2x)D．y3x2

x

31252

3．（21-22高二下·陕西咸阳·期末）现有下列函数：①yx；②y；③y4x；④yx1；⑤yx1；

2

⑥yx；⑦yax(a1)，其中幂函数的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

4．（24-25高一上·湖北·期末）下列函数是幂函数且是奇函数的是（）

A．y=2xB．y=x2

1

0

C．yx3D．yx

若已知图象过点,将点坐标代入=,解方程求。得到解析式后,求函数值直接代入自变量

�

���

3

5．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知幂函数yfx的图象通过点3,，则f4．

3

1

6．（22-23高一上·内蒙古呼和浩特·月考）已知幂函数fx的图象过点64,4，则f的值为.

8

7．（24-25高一上·上海宝山·期末）幂函数yf(x)的图像过点(9,3)，则f(4)的值为（）

A．64B．2C．16D．8

8．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知幂函数fxxn满足f93f1，则f16（）

A．2B．4C．8D．16

由幂函数定义，令函数系数为1，列方程求参数初步值。

2

9．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知幂函数fx2m3xm1，则f2.

10．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知幂函数fxm2xn经过点8,2，则mn的值是．

11．（24-25高一上·江苏徐州·期末）若幂函数ym1x的图象经过点8,4，则m（）

258

A．B．C．2D．

333

12．（24-25高二下·江西·期末）“点Pa,b在幂函数fxm2xm图象上”的充要条件是．

13．（24-25高二下·广西南宁·期末）“m1”是“fxm2m1x2m3为幂函数”的（）条件

A．充分不必要B．必要不充分

C．充要D．既不充分也不必要

2

14．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数fxm2m1xm2m3是幂函数，则实数m的值是（）

A．1或2B．1C．2D．1或2

1.为正整数时,定义域为；为负整数时,定义域为{|0}。

2.为分数(最简),若为奇数,定义域为；为偶数,定义域为[0,+)。

������≠

�����∞

15．【多选】（22-23高一上·江苏南通·期末）已知幂函数yfx的图象经过点P4,2，则（）

A．fx(2)x

B．fx的定义域为0,

C．fx的值域为0,

D．fxx2的解集为0,1

2

2

16．（23-24高一上·山西吕梁·月考）已知幂函数fx的图象过点8,，则fx2x的定义域为（）

4

1

A．0,2B．0,

2

1

C．0,2D．0,

2

2

17．（23-24高一上·广东广州·期中）幂函数f(x)图象过点2,，则yf(x)f2x的定义域为（）

2

A．(0,2)B．(0,2]C．[0,2]D．(2,2)

1

18．（21-22高一上·黑龙江绥化·期末）函数f(x)(x1)4的定义域为（）

x2

A．1，B．(2,)C．2，11，D．R

2

19．（24-25高一上·上海·课后作业）若幂函数yxm2m（m为整数）的定义域为R，则m的值为．

幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解．

幂函数的定义域由幂指数确定：

（1）当幂指数取正整数时，定义域为R，

当为正偶数时，值域为[0,)；当为奇数时，值域为R．

（2）当幂指数取零或负整数时，定义域为(,0)(0,)，

当0时，值域为1；当为负偶数时，值域为(0,)；当为负奇数时，值域为yy0．

（3）当幂指数取分数时，可以先化为根式，再利用根式有意义求定义域和值域．

1

20．（24-25高三上·上海·月考）设a1,0,,1,2,3，若幂函数yxa的定义域与值域相同，则a的所有可

2

能取值组成的集合为．

21．（22-23高一上·贵州毕节·期末）下列函数中，定义域和值域不相同的是（）

2x2,x0

A．yxB．yxC．yD．y

xx2,x0

22．（25-26高一上·上海浦东新·月考）函数fxx2x，x0,9的值域为.

21

23．（24-25高一上·上海·期末）函数yx32x34的定义域是x|x8，则它的值域是.

1.幂函数图象的画法

①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．

②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象

限内的图象．

2.解决幂函数图象问题应把握的原则

(1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记

为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).

(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝1

yx2

或y＝x3)来判断．

24．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（）

12

A．yx2B．yx3

33

C．yx4D．yx2

25．（25-26高三上·江苏淮安·月考）幂函数fxx的图象一定不经过哪个象限（）

A．一B．二C．三D．四

1

26．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知幂函数fx的图象经过点2,，则函数fx的图象大致为（）

4

A．B．

C．D．

2

27．（2022高二下·浙江·学业考试）函数yx3的大致图象为（）

A．B．

C．D．

28．（23-24高一上·四川广安·期末）已知幂函数的图象经过点P(16,4)，则该幂函数的大致图象是（）

A．B．

C．D．

29．（24-25高一上·浙江杭州·期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（）

112

．．．．3

Ay3ByxCy2D

xxyx

1

30．（25-26高一上·福建龙岩·月考）在同一坐标系内，函数yxa（a0）和yax的图象可能是（）

a

A．B．

C．D．

xa

31．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数fxlogax,gxa,hxx的部分图象

可能是（）

A．B．

C．D．

25m1

32．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知幂函数fxmm2x的图象与x轴相交，则实数

2

m.

31

m

33．（24-25高一下·河南·开学考试）已知幂函数fx2m21x44的图象经过第三象限，则m（）

A．1B．1C．2D．2

1.基本定点为(1,1),代入任何幂函数=均成立。

2.若函数为=()+,令=1得α=+1,定点为+1,1+b。

�

��−���−����

34．（23-24高一上·四川凉山·期末）函数fx(3x2)a2的图象恒过点.

1

35．（25-26高一·全国·假期作业）函数y(x1)m的图象恒过定点（）

A．1,0B．2,1C．0,1D．m1,1

36．（25-26高一上·全国·单元测试）已知fx为幂函数，则函数gxfx1的图象经过的定点坐标

为．

37．（25-26高一上·山西·月考）已知函数fxxm21（m为常数）的图象恒过定点Pa,b，则

ab．

38．（24-25高一上·上海·期中）函数yxa1（a是有理数）的图象过一定点P，则P的坐标为.

39．（24-25高三上·上海·期中）设yfx与ygx是两个不同的幂函数，记Mx|fxgx，则M

中的元素个数的可能是（）.

A．0、1、2、B．1、2、3C．1、2、3、4D．0、1、2、3

关键是"根据指数的符号分区间判断"；

当时幂函数在上单调递增；在的单调性需结合奇偶性；

1.>0,�0,+,0

2.当<0时,幂函数在0,+上单调递减；同样需用奇偶性分析负区间；

3.对定�义域分段的幂函数(如∞为偶分数),仅在对应−∞区间判断单调性.

�∞

�

40．（24-25高一上·江苏苏州·期末）设幂函数fxx，则“0”是“fx在定义域内单调递减”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

1

41．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知幂函数fxx图象经过点2,，则函数fx的增区间

4

为.

42．（24-25高三上·江苏常州·期末）已知幂函数f(x)满足以下两个条件：①是奇函数，②在(0,)上单调

递减．请写出符合要求的f(x)的一个解析式．

1

43．（24-25高一上·江苏扬州·期末）若幂函数fx的图象经过点4,，则下列说法正确的是（）

8

1

A．fx为偶函数B．方程fx27的实数根为

9

C．fx在0,上为增函数D．fx的值域为R

2m3

44．【多选】（23-24高一上·江苏盐城·期末）幂函数f(x)2mm2x，mN*，则下列结论正确的

有（）.

A．m1B．函数f(x)在定义域内单调递减

C．f(2)f(3)D．函数f(x)的值域为(0,)

核心是“用同增异减法则,分内外层函数分析”。

1.设复合函数为=(),其中()是幂函数,先确定内外层定义域。

2.分别判断内层函�数�(�)�和外层幂�函�数()的单调性。

3.若内外层均增或均减��,复合函数递增；�一�增一减则递减。

2

2

45．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知幂函数fx的图象过点2,，则函数yfx2x的单调递

2

增区间为（）

A．,2B．,1

C．0,D．1,

46．（21-22高一上·江苏南通·期末）函数yx23x的单调递减区间为．

47．（22-23高一上·重庆渝中·期中）函数yx24x5的单调减区间为；

3

48．（2022高三·全国·专题练习）函数f(x)(6xx2)2的单调递减区间为（）

1111

A．[,2]B．[3,]C．[,)D．(,]

2222

1.若幂函数在0,+单调递增,則>0；单调递减则<0。

2.分段函数在定义∞域上的具有一种�单调性，则要求分�段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点

处的函数值的大小有要求,如果是增函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，如果是减函数，则在

断点处左边的函数值右边的函数值。

2

49．（23-24高一上·江苏镇江·期中）幂函数fxm2m1xm2m2在(0,)上递减，则实数m（）

A．2B．1C．2D．2或1

2

50．（24-25高一上·安徽合肥·期末）若幂函数fxm23m3xmm1，且在x0,上是增函数，则

实数m．

51．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知幂函数fxa22a2xaaR在0,上单调递增，则实

数a的值为.

2

52．（21-22高一上·江苏无锡·期末）“n1”是“幂函数fxn23n3xn3n在0,上是减函数”的一

个（）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

2m

53．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知幂函数fxm2m2x，对任意x1,x20,且x1x2，

fxfx

都有120，若a,bR,ab0，则fafb的值（）

x1x2

A．恒大于0B．等于0C．恒小于0D．无法判断

axa,x1

54．（24-25高二下·云南临沧·期末）已知a0，函数f(x)在R上是单调函数，则a的取

(2a)x1,x1

值范围是（）

11

A．(0,1)B．,1C．(1,2)D．,2

22

55．（24-25高一上·湖北荆州·期末）已知函数yx2ax8在区间1,2上单调递减，则a的取值范围是

（）

A．[6,）B．,4

C．,46,D．4,6

比较幂值大小的方法

(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．

(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．

56．（24-25高二下·重庆·期末）“a3b3”是“ab”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

57．【多选】（23-24高一上·浙江金华·期末）已知f(x)x(R)，则下列说法正确的是（）

A．当1时，f(x)的值域为RB．当3时，f(π)f(3)

11

C．当时，fx2是偶函数D．当时，f2(x)是奇函数

22

58．（24-25高一上·安徽安庆·月考）已知a20.2，b0.40.2，c0.150.1，则a，b，c的大小关系是（）

A．abcB．acbC．cabD．bca

59．（21-22高一上·安徽芜湖·期中）已知a2.10.1，b1.20.1，c2.10.2，则a，b，c的大小关系为（）

A．bcaB．bacC．abcD．acb

2

60．（21-22高一上·安徽·期中）幂函数f(x)(m2m1)xm2m5在区间(0,)上单调递增，且ab0，

则f(a)f(b)的值（）

A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断

61．【多选】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知幂函数f(x)的图象经过点(2,4)，则（）．

A．函数f(x)为增函数

B．当x4时，fx64

C．函数f(x)为偶函数

fxfxxx

，1212

D．x1x2f

22

利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性

等综合命题．求解步骤如下：

(1)确定可以利用的幂函数；

(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；

(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．

44

62．（24-25高一上·上海·期末）已知a233a13，则实数a的取值范围是．

1

63．（24-25高一上·湖北·期末）已知幂函数fx的图象过点2,，若f32m1，则实数m的取值范

2

围为（）

3

A．,1B．1,

2

33

C．,11,D．,1,

22

1

64．（24-25高一上·甘肃定西·期末）已知函数fx为幂函数，且f4，若faf2a2，则实数a

2

的取值范围是.

65．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知幂函数f(x)的图象经过点(16,4)，则不等式fx2x22的解

集为．

2

66．【多选】（24-25高三上·贵州·月考）已知幂函数fx8m25xm，则（）

3

A．mB．fx的定义域为R

2

4

C．fx为非奇非偶函数D．不等式f2x1f5x的解集为,

3

1.判断奇偶性：先看定义域是否关于原点对称,再验证f−x与f(x)的关系,α为整数时,奇数则奇,偶数则偶。

2.应用时,可将负自变量转化为正自变量,如求f−a,若为奇函数则f−a=−f(a)。

3.利用奇偶性简化图象绘制或值域、单调性的分析。

2m24m

67．（24-25高一上·湖北武汉·期末）若幂函数fxmm5x为偶函数，则不等式xmx的解集

为.

68．（22-23高一上·江苏无锡·期末）已知幂函数fxm2m1xm的图象关于y轴对称，则m的值

为．

69．（23-24高一上·天津·期末）已知函数fxm2m1xm3是幂函数，且该函数是偶函数，则f2的

值是．

70．（22-23高一上·陕西西安·期末）已知幂函数fxa23a3xa1为偶函数，则实数a的值为.

71．（2023·江苏南京·二模）幂函数fxxaaR满足：任意xR有fxfx，且f1f22，

请写出符合上述条件的一个函数fx．

31

m2m

72．（22-23高二上·河南·开学考试）已知幂函数fxm23m3x22为奇函数.

(1)求函数fx的解析式；

(2)若fa1f32a，求a的取值范围.

73．（22-23高一上·山东枣庄·期末）已知幂函数fxm2m5xm1的图像关于y轴对称.

(1)求m的值;

(2)若函数g(x)f(x)4f(x)，求gx的单调递增区间.

关键是"先定奇偶性缩范围,再用单调性解问题"。

1.判断幂函数的奇偶性,确定函数在对称区间的性质关联,如奇函数在−∞,0与0,+∞单调性一致。

2.分析函数在某一区间(如0,+∞)的单调性,结合奇偶性推导另一区间的单调性。

3.综合两者解决比较大小、解不等式等问题,避免忽略定义域限制。

23

74．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知{2,1,,,3}，若幂函数fxx是偶函数且在区间0,

34

上单调递增，则.

x21

75．（24-25高一下·湖南怀化·期末）已知函数fx，若f2a1f3a，则实数a的取值范围

x4

是（）

22

A．,B．4,

33

2112

C．,4,D．4,,

3223

76．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知幂函数f(x)xm2（mN）的图象关于原点对称，且在(0,)上

mm

单调递减，若a2(12a)2，则实数a的取值范围是.

4mm2

77．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知幂函数fxx2mZ在0,上单调递增，且fx的图

象关于y轴对称.

(1)求m的值及函数fx的解析式；

(2)若fa2f12a，求实数a的取值范围.

2

78．（24-25高一上·江苏南京·月考）已知幂函数yxm2m3(mZ)的图象关于y轴对称，且在(0,)上单

mm

调递减，则满足(a1)5(32a)5的实数a的取值范围为（）

232

A．(,1)(,)B．(,)

323

233

C．(1,)(,)D．(0,)

322

11

79．（23-24高一上·江西新余·期末）若幂函数fxx图象过点,，且fm2f2m，则实数m

381

的取值范围是（）

22

A．,2B．2,

33

22

C．,2,D．,2,

33

2

80．（23-24高一上·河南开封·期中）已知幂函数yk2k1xm2m3mN*的图象关于y轴对称，且在

(0,)上是减函数．

(1)求m和k的值；

32

(2)若实数a,ba,bR满足2a3b7m，求的最小值.

a1b1

解决与幂函数有关的综合性问题的方法

首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇

偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．

81．【多选】（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）下列说法正确的是（）

2

A．若函数f(x)m2m1xm2m3是幂函数，则实数m的值是1或2

B．幂函数yx(0)始终经过点(0,0)和(1,1)

4

．若函数，则在区间上单调递减

Cf(x)x5f(x)(,0)

fxfxxx

x1212

D．若函数f(x)x，则对于任意的1，x2[0,)有f

22

2

82．【多选】（25-26高一上·西藏拉萨·期末）关于幂函数fxm2xm3，下列结论正确的是（）

A．fx的图象经过原点B．fx为偶函数

C．fx的值域为0,D．fx在区间0,上单调递增

1

83．【多选】（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知幂函数fx的图象经过点2,，则下列判断正确

8

的有（）

A．fx在区间0,上为减函数B．fx的值域为R

C．方程fx27的实数根为x3D．fx为偶函数

84．【多选】（24-25高一上·贵州黔东南·期末）已知幂函数f(x)a24a4xa2，则下列说法正确的有

（）

A．a1或3B．f(x)一定为奇函数

C．f(x)一定为减函数D．f(x)必过点(1,1)

1m

85．【多选】（24-25高二上·云南红河·期末）已知幂函数fx2mx，则（）

3

2

A．m

3

B．fx的定义域为R

C．fx为非奇非偶函数

D．不等式f2x1fx的解集为1,

86．【多选】（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数f(x)，如果存在不全为零的实数a，b，使得f(xa)b

为奇函数，那么f(x)叫做关于(a,b)的“类奇函数”．下列结论正确的有（）

A．f(x)x31为“类奇函数”

B．f(x)lnx为“类奇函数”

C．若f(x)为“类奇函数”，则f(x)可以是偶函数

D．若f(x)是关于(a,b)的“类奇函数”，则f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称图形

一、单选题

1．（24-25高一上·江苏常州·期末）下列函数中，是奇函数且在0,上单调递减的为（）

2211

A．yx3B．yx3C．yx3D．yx3

2．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知幂函数yf(x)的图象过点(3,3)，则函数yf(x)f(2x)的定

义域为（）

A．(2,2)B．(0,2)C．(0,2]D．0,2

3．（24-25高二下·江苏苏州·期末）“0”是“函数fxxR在区间0,上单调递增”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知幂函数fx的图象过点8,2，则（）

11

A．fxx2B．fxx2

11

C．fxx4D．fxx3

1

x2,x05

5．（22-23高一上·江苏泰州·期末）已知函数f(x)，则f的值为（）

2

f(x2),x0

1126

A．B．C．D．

2222

6．（23-24高二下·江苏苏州·期末）已知幂函数f(x)m2m1x2m1在(0,)上单调递减，则实数m的

值为（）

A．2或1B．1或2C．1D．2

2

7．（22-23高一上·四川遂宁·期中）若函数fxm2m5xm4m1为幂函数，且在区间0,上单调递

减，则m（）

A．2B．3C．2或3D．2