2026高一数学寒假自学课（苏教版）10.3 几个三角恒等式（解析版）

10.3几个三角恒等式

内容导航——预习三步曲

第一步：导

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握

第二步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练考点强知识：核心题型举一反三精准练

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：积化和差公式

11

𝑠��∙𝑐𝑜=2[sin�−�+sin�+�]𝑐��∙𝑠𝑜=2[sin�+�−sin�−�]

11

𝑐��∙𝑐𝑜=2[cos�−�+cos�+�]𝑠��∙𝑠𝑜=2[cos�−�−cos�+�]

注意：

将三角函数的乘积化成和差，便于计算。在计算的时候要小心不要漏掉系数，另外要注意符号。把积化成

1

和差，关键在角度合并后会是特殊角方便计算。2

π3π1

（2025高三·全国·专题练习）若coscos，则sin2．

443

1

【答案】

3

【分析】根据积化和差公式求解即可.

π3π1π3ππ3π

【详解】因为coscoscoscos

4424444

1π111

cos2cosπ(sin21)，所以sin2，

22233

1

故答案为：.

3

知识点2：和差化积公式

�+��−��+��−�

𝑠��+𝑠𝑜=2𝑠�𝑐�;𝑠��−𝑠𝑜=2𝑐�𝑠�

2222

�+��−��+��−�

注𝑐�意�：+𝑐𝑜=2𝑐�𝑐�;𝑐��−𝑐𝑜=−2𝑠�𝑠�

2222

应用和差化积公式时，和差的两个函数名得一致。一般在合并后会出现特殊角能求出值，从而实现合并化

简。

（2025高三·全国·专题练习）cos72cos36的值为（）

11

A．323B．C．D．323

22

【答案】C

【分析】根据和差化积公式可得cos72cos362sin54sin18，利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求

解.

72367236

【详解】原式2sinsin2sin54sin182cos36cos72

22

sin36cos36cos72sin72cos72sin144sin361

2.

sin36sin362sin362sin362

故选：C.

知识点3：半角公式、万能公式

1、半角公式

①；

��

②𝑠��=2𝑠�2𝑐�2；

2�2�2�2�

2222

③𝑐��=𝑐��−；𝑠�=2𝑐�−1=1−2𝑠�

2𝑡�2

2�

④𝑡��=1−𝑡�2

�𝑠��1−𝑐��

2、𝑡万�能2=公1式+�：���利=用𝑠��表示的有理形式。

�

；2

�=tan𝑠��,2𝑐��,𝑡��

�2�1−�2�

222

�注=意t：an2𝑠��=1+�𝑐��=1+�;𝑡��=1−�

半角公式：主要用于角度减半、降幂、去平方。利用半角公式求值的时候注意角的象限。

万能公式：主要用于将三角问题完全代数化,可以用在求最值与范围的问题中。

1

（2026高三·全国·专题练习）已知cos，且270360，则sin＝（）

32

33

A．B．

33

66

C．D．

33

【答案】B

【分析】根据半角公式结合角的范围即可求解.

【详解】因为270360，则135180，sin0,

22

1

1

由半角公式可得1cos3.

sin3

2223

故选：B

知识点4：辅助角公式

1、（其中 ，   ， ）．

���

222222

2、�辅�助��角�公+�式�在��求�最=值�的问+�题时𝑠�常(会�用+�到)，如遇到𝑠��=�+�型，通过𝑐变��形=可得�+�𝑡��=�

�𝑠��+�

利用辅助角公式可得然后根据三角函数取值范围

,�=�𝑐��+�,��𝑐��−

�−��

讨论的范围。22

�𝑠��y=�−��sin�+�=��+�

注意：

通过辅助角公式化简后研究函数的单调性、最值、周期与对称性。

（24-25高二下·安徽宣城·期末）已知3sincos2，则tan（）

33

A．B．3C．D．3

33

【答案】B

π

【分析】先利用辅助角公式结合正弦函数性质得到2kπ,kZ，再结合诱导公式求解tan即可.

3

π

【详解】因为3sincos2，所以2sin()2，

6

ππ

则sin()1，解得2kπ,kZ，

63

ππ

由诱导公式得tantan(kπ)tan3，故B正确.

33

故选：B

题型一积化和差公式的应用

例1.（25-26高一上·全国·课前预习）下列计算正确的是（）

1313

A．cos45cos15B．sin45sin15

44

1331

C．sin45cos15D．cos45sin15

24

【答案】AD

【分析】应用积化和差公式及特殊角函数值求值即可.

1113

【详解】cos45cos15cos4515cos4515cos60cos30，A正确；

224

1131

sin45sin15cos4515cos4515cos60cos30，B错误；

224

1131

sin45cos15sin4515sin4515sin60sin30，C错误；

224

1131

cos45sin15sin4515sin4515sin60sin30，D正确．

224

故选：AD

π

【变式1-1】（25-26高三上·湖北黄冈·期中）函数fxcosxcosx在0,π上的单调递减区间为.

3

π2π

【答案】,

63

【分析】利用积化和差公式并结合整体代入法求解单调递减区间即可.

π

【详解】由积化和差公式得fxcosxcosx

3

1ππ

cos(xx)cos(x(x))

233

1ππ1π1

cos(2x)coscos(2x)，

233234

ππ2π

令2x2kπ,2kππ,kZ，解得xkπ,kπ,kZ，

363

π2ππ2π

当k0时，x,，则fx在0,π上的单调递减区间为,.

6363

π2π

故答案为：,

63

1ππ

【变式1-2】（2025高三·全国·专题练习）已知cos，那么4coscoscos．

433

11

【答案】/0.6875

16

ππ231

【分析】由三角恒等变换化简表达式得4coscoscos2cos2cos，代入cos即

3324

可得解.

ππ1ππππ

【详解】4coscoscos4coscoscos

3323333

12311311111

2coscos22cos2cos22.

2241622816

11

故答案为：.

16

ππ

【变式1-3】2025高三·全国·专题练习）函数ysinxcosx，x0,的值域是．

32

31

【答案】0,

42

【分析】先利用积化和差公式化简函数解析式，再利用正弦函数的性质求值域.

π1ππ

【详解】因为ysinxcosxsinxxsinxx

3233

1ππ13π

sinsin2xsin2x．

233223

πππ2ππ3

又x0,，所以2x,，所以sin2x,1，

233332

13π31

所以sin2x0,.

22342

31

故答案为：0,

42

题型二和差化积公式的应用

例2.（24-25高一下·河南南阳·期末）已知锐角x满足sin3xsinx0，则x的取值范围为（）

ππππππ

A．0,B．0,C．,D．,

646343

【答案】B

【分析】先利用和差化积公式得到sin3xsinx2cos2xsinx，再结合余弦函数性质求解不等式即可.

【详解】由和差化积公式得sin3xsinx2cos2xsinx，

欲求sin3xsinx0，则求2cos2xsinx0即可，

π

因为x是锐角，所以x0,，且sinx0，

2

ππ

故求cos2x0即可，解得2x(2kπ,2kπ),kZ，

22

ππππ

则x(kπ,kπ),kZ，当k0时，x(,)，

4444

ππ

而x0,，得到x0,，故B正确.

24

故选：B

π

【变式2-1】（24-25高一下·四川成都·期末）在ABC中，若AB，且sinAsinB1，则cosC=（）

3

1177

A．B．C．D．

3399

【答案】A

AB3

【分析】由题及和差化积公式可得sin，然后结合诱导公式及二倍角余弦公式可得答案.

23

ABABπABAB

【详解】由和差化积公式：sinAsinB2sincos2cossin3sin1

22622

AB3

sin，又注意到cosCcosπABcosAB，

23

骣A+B1

则cosC=-琪1-2sin2=-.

桫23

故选：A

【变式2-2】（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数fxcos3xcos2x在区间π,2π的零点个数为（）

A．6B．7C．8D．9

【答案】C

5xx

【分析】由fxcos3xcos2x2sinsin，xπ,2π，令fx0，求解x的值，判断选项.

22

5xx

【详解】由fxcos3xcos2x2sinsin，xπ,2π，

22

5xx5xx

令fx0，则2sinsin=0，sin=0或sin=0，

2222

5xx2kπ

故kπ或=kπ,k,kZ，即x1或x=2kπ,k,kZ，

2122125212

2kπ

由xπ,2π，则π12π,或π2kπ2π,k,kZ，

5212

51

即k5,kZ或k1,kZ，

211222

故k12,1,0,1,2,3,4,5或k2=0,1，

4π2π2π4π6π8π

综上所述，存在8个零点,即为,.0.,,,,2π.

555555

故选：C.

【变式2-3】（24-25高二上·上海·月考）已知sinsin2m(m0)，则

cos2cos2.

【答案】

2m

【分析】先由积化和差公式对已知式化简，再利用三角降幂公式化简代入计算即得.

【详解】由sinsin2mm0，

可得2sinsin

coscos]

cos2cos24m，

1cos21cos2cos2cos2

则cos2cos22m.

222

故答案为：2m.

题型三半角公式与万能公式

1sin1sin

例3.（25-26高一上·山东济南·月考）化简的结果是（）

1sin1sin

22sin2cos2sin

A．B．C．D．

coscossincos

【答案】D

【分析】由题设结合同角三角函数平方和公式和倍角公式即可转化化简.

12sincos12sincos

1sin1sin

【详解】由题2222

1sin1sin12sincos12sincos

2222

22

αααααααα

sincossincossincossincos

22222222

22

αααααααα

sincossincossincossincos

22222222

22

αααα

sincossincos

22221sin1sin2sin

.

2α2α2α2αcos

sincossincos

2222

故选：D

1

【变式3-1】（2025高三·全国·专题练习）若是第一象限角，且cos，则cos的值是（）

32

3636

A．B．C．D．

3333

【答案】D

【分析】根据题意确定的范围，再利用半角公式即可得到结果.

2

【详解】因为是第一象限角，所以2k2kkZ，

2

π

则kπkπkZ，所以是第一象限角或第三象限角.

242

1cos1

又知cos，cos2，

322

1cos6

所以cos，

223

故选：D.

【变式3-2】（24-25高一下·江苏南通·月考）若sina，cosb，则tan的值为（）

2

1b1b1b1b

A．B．C．D．

aa1b1b

【答案】B

1cos

【分析】利用倍角公式化简得出tan即可求解.

2sin

【详解】因为sina，cosb，

sin2sin2

1cos1b

所以tan22，

2cos2sincossina

222

故选：B

132tan121cos50

【变式3-3】（24-25高一下·江苏盐城·期中）设acos7sin7，b，c，则

221tan2122

有（）

A．cbaB．acbC．bcaD．abc

【答案】D

【分析】利用辅助角公式，二倍角的正弦，余弦公式化简，利用正弦函数的单调性比较大小即可.

13

【详解】acos7sin7sin30cos7cos30sin7sin307sin23，

22

2sin122sin12

2tan12

bcos12cos122sin12cos12sin24，

1tan212sin2121

12

cos212cos12

1cos50

csin225sin25，

2

π

由于ysinx在0,上单调递增，所以sin23sin24sin25，

2

即abc，

故选：D

题型四辅助角公式的应用

例4.（24-25高一下·云南保山·期末）当x时，函数fx5sinx12cosx取得最小值，则cos（）

551212

A．B．C．D．

13131313

【答案】C

【分析】根据已知条件，利用辅助角公式，结合三角恒等变换，化简fx得到f(x)13sinx，由f1

得到和的关系，从而得解

512

【详解】fx5sinx12cosx13sinxcosx13sinx

1313

512

其中，cos，sin，

1313

依题意得，f13sin13，sin1，

ππ

2kπ，kZ，2kπ，kZ，

22

ππ12

coscos2kπcossin，

2213

故选：C．

4π

【变式4-1】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知cos3sin，则cos(2)的值是（）

53

21171721

A．B．C．D．

25252525

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用辅助公式及二倍角的余弦公式计算得解.

413ππ2

【详解】依题意，cos3sin2(cossin)2sin()，解得sin()，

522665

ππ417

所以cos(2)12sin2()12．

362525

故选：C

π

【变式4-2】（24-25高一下·云南昆明·期末）若fxsin2xcos2x的图象关于xa对称，则fa（）

4

A．1B．0C．1D．2

【答案】B

ππ

【分析】根据辅助角公式化简得fx2sin2x，根据对称轴求出a的值，将a代入解出fa的

44

值.

π

【详解】根据辅助角公式得：fxsin2xcos2x2sin2x，

4

因为fxsin2xcos2x的图象关于xa对称，

πππkππkπ

所以2xkπkZ，解得x即a，

428282

π3πkπ3πkππ

则faf2sin22sinππk0.

482824

故选：B

【变式4-3】（24-25高一下·甘肃白银·期末）函数y3sin3xcos3x的图象的相邻两条对称轴之间的距离

为（）

πππ

A．B．C．D．π

432

【答案】B

【分析】先利用辅助角公式将函数解析式进行化简；再利用正弦型函数的性质可求解.

π2π2π

【详解】因为函数y3sin3xcos3x2sin3x的最小正周期T，

63

πTπ

所以函数y2sin3x的图象相邻两条对称轴之间的距离为.

623

故选：B.

题型五给角求值

π2ππ

例5.（24-25高一下·江苏苏州·月考）求值：tansinsin．

5510

【答案】1

【分析】根据同角三角函数的基本关系及降幂公式、诱导公式求解.

π

sin

π2πππππ2π

【详解】tansinsin52sincossin

π

5510cos5525

5

π2π2π2π

2sin2cos1coscos1，

5555

故答案为：1

3tan101

【变式5-1】（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（）

sin10

A．2B．4C．2D．4

【答案】D

【详解】先将3tan101进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可．

3sin10

1

3tan1013sin10cos102sin10302sin20

【分析】cos104.

11

sin10sin10sin10cos10sin20sin20

22

故选：D.

【变式5-2】（多选）（24-25高一下·江苏镇江·月考）下列等式正确的是（）

A．1tan181tan272B．1cos42cos2

13

C．4sin18cos361D．1

sin10cos10

【答案】AC

【分析】拆角后由两角差的正切公式可判断A；由二倍角的余弦公式结合余弦值可得B错误；由二倍角的

正弦公式和诱导公式可得C正确；由二倍角的正弦和辅助角公式可得D错误.

【详解】对于A，1tan181tan271tan45271tan27

1tan271tan271tan27

11tan271tan272，故A正确；

1tan271tan27

1

对于B，因为π2π，所以1cos42cos222cos2，故B错误；

2

4sin18cos18cos362sin36cos36sin72sin9018

对于C，4sin18cos361，

cos18cos18cos18cos18

故C正确；

13cos103sin102sin3010

4

对于D，1，故D错误；

sin10cos10sin10cos10sin20

2

故选：AC

π2π3π4π5π

【变式5-3】（2025高三上·全国·专题练习）求值：coscoscoscoscos．

1111111111

1

【答案】

32

2π4π6π8π10π

sinsinsinsinsin

【分析】方法一：根据正弦的二倍角公式可得原式1111111111，结合诱导

π2π3π4π5π

2sin2sin2sin2sin2sin

1111111111

公式求解；

π

方法二：令原式乘以25sin，再结合正弦二倍角公式求解即可．

11

2π4π6π8π10π

sinsinsinsinsin

【详解】方法一：原式1111111111

π2π3π4π5π

2sin2sin2sin2sin2sin

1111111111

10π8π6ππ3π5π

sinsinsinsinπsinπsinπ

11

111111111111

5π3π5π5π3π5π

2sinsinsin2sinsinsin

111111111111

π3π5π

sinsinsin

111

111111；

5π3π5π5

2sinsinsin232

111111

π

方法二：令原式乘以25sin得，

11

ππ2π3π4π5π2π2π3π4π5π

25sincoscoscoscoscos24sincoscoscoscos

1111111111111111111111

4π3π4π5π8π3π5π

23sincoscoscos22sincoscos

11111111111111

23π3π5π23π3π5π6π5π

2sinπcoscos2sincoscos2sincos

1111111111111111

5π5π5π5π10πππ

2sinπcos2sincossinsinπsin，

11111111111111

π

sin

11

则原式11．

π5

25sin232

11

1

故答案为：.

32

题型六给值求值

π1π

例6.（25-26高三上·山东济南·期中）已知sinx，则cos2x.

333

77

【答案】/

99

【分析】利用诱导公式和余弦的二倍角公式即可求解.

π1π1

【详解】因为sinx，所以sinx

3333

πππ2π

由cos2xcos2xπcos2x12sinx

3333

2

17

12，

39

7

故答案为：

9

3

【变式6-1】（25-26高二上·广东·期中）已知sin，则cos2.

653

7

【答案】/0.28

25

【分析】由22，利用二倍角的余弦公式计算即得.

36

2

237

【详解】cos2cos212sin12.

366525

7

答案为：##0.28

25

ππ1π

【变式6-2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知sinsin,,π，则sin2.

4462

222

【答案】/2

33

【分析】利用两角和与差的正弦公式、二倍角公式，结合范围，由已知条件求sin2.

ππ2π21

【详解】由正弦平方差公式得sinsinsinsin，

4446

11

所以sin2，所以cos212sin2.

3