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实变函数测试题与参考答案1.单选题（每题4分，共20分）1.1设E⊆ℝ为可测集且m(A.→0B.→0C.→0收敛D.在E上几乎处处收敛到非零函数1.2若f∈(ℝA.fB.f^C.fD.f^1.3设f在[0A.f必为有界变差B.f的导数必连续C.f必为LipschitzD.f的图像长度有限1.4令={A.的测度为1B.的测度为0C.在中收敛到常数函数1/2D.m()=1.5若→f几乎处处，且‖<∞A.→fB.→fC.一致可积D.等度连续2.多选题（每题5分，共15分，多选少选均不得分）2.1设f∈(ℝA.gB.hC.kD.l2.2关于Vitali覆盖引理，下列说法正确的有A.可用于证明Lebesgue微分定理B.要求集合族为闭球族C.可提取可数不交子覆盖D.适用于任意度量空间2.3设为[0,1]A.若∫→∫f<B.若≤g且g∈C.若一致可积，则f∈D.若单调增，则∫→3.填空题（每空3分，共15分）3.1设E⊆ℝ可测，m(3.2若f∈(ℝ)且3.3令f(3.4设f在[0,1]上绝对连续且3.5若E⊆[0,1]满足4.判断题（每题2分，共10分，正确写“T”，错误写“F”）4.1若→f几乎处处且非负，则∫f4.2任意可测函数均可表示为简单函数列的几乎处处极限。4.3若f∈∩，则f∈4.4存在f∈(ℝ4.5若E为零测集，则其闭包亦为零测集。5.计算与证明题（共40分）5.1（8分）设f(x)5.2（8分）设E⊆[0,1m5.3（8分）令(x)=n(5.4（8分）设f∈(ℝ)且f^5.5（8分）设f在[0,1(答案与解析1.1B解析：支集向右飘移，任意固定x终有(x)=0，故几乎处处收敛到0；但m({x:|(1.2B解析：Riemann–Lebesgue定理保证f^连续且f^(ξ)1.3A解析：绝对连续函数必为BV；B错，导数仅可积；C需导数有界；D错，长度有限需导数可积。1.4D解析：sin(nπx)≥01.5A解析：几乎处处收敛加有界蕴含依测度收敛；B需一致可积；C需额外等度积分小；D无关。2.1ABC解析：A有界乘子；B截断；C可积权；D需f∈2.2AC解析：A正确；B不需闭球，只需闭集；C正确；D需加倍条件。2.3ABCD解析：A由Scheffé定理；B控制收敛；C一致可积保证极限可积；D单调收敛。3.12解析：E△(E+1)=(E⧵(E+1))∪((E+3.23解析：Plancherel定理保范。3.30解析：ℚ零测。3.4常数解析：绝对连续且导数零几乎处处必为常数。3.51解析：若m(E)4.1T4.2T4.3T4.4T4.5F5.1解：f^(ξ)=5.2解：考虑卷积~(x)~(故存在x使值≥。5.3解：几乎处处收敛显然；‖=1不趋于0，故非收敛；对任意g∈，∫g→g(0)，故弱\收敛到Dirac测度。5.3解：几乎处处收敛显然；‖=5.4解：由

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