实变函数测试的题目与答案_第1页
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实变函数测试的题目与答案1.单选题（每题4分，共20分）1.1设E⊆ℝ为可测集且0<f则对任意α∈(0A.||≤  B.||1.2令(xA.在[0,2π]上几乎处处收敛到0  B.在C.在([0,2π])1.3设f∈(ℝ)，1≤p<A.‖−f≤C|h|1.4给定E⊆ℝ可测且|E|=1，函数A.f=0处处  B.f=1.5设f∈(ℝ)∩A.f必为解析函数  B.f必为具有紧支集  C.f必为无穷次可微  D.f必为指数型整函数2.多选题（每题5分，共20分；每题至少两个正确选项，多选少选均不得分）2.1关于可测函数f:A.若f连续a.e.，则f可测  B.若f可测，则|fC.若f可测，则可测  D.若f可测，则f的任意原函数可测2.2设∈([0,1A.→0依测度  B.存在子列→C.→0在中  D.对任意p>1，→02.3令f(A.f∈(ℝ)  B.f∈(2.4设E⊆ℝ可测且|E|<(则A.f∈(E)  B.f∈(3.填空题（每题6分，共30分）3.1设E⊆ℝ可测，|E|=x3.2令(xd3.3设f∈(ℝ)且‖f|3.4给定E=[0,1]，定义f3.5设f(f4.计算与证明题（共30分）4.1（10分）设E⊆ℝ可测且|E对任意ε>0，存在δ>0，使得对任意可测子集|4.2（10分）令(x)=(1)证明→0(2)计算(x(3)问是否在(ℝ)中收敛到04.3（10分）设f∈f证明f=0a.e.于答案与解析1.单选题1.1A 解析：由切比雪夫不等式，α||≤1.2C 解析：‖=|sinnx|d1.2选项C正确：‖=4不趋于0，但在中不收敛到0；然而对任意有限测度集A，dx1.3B 解析：中平移连续性定理。1.4B 解析：由积分唯一性定理。1.5C 解析：傅里叶变换具有紧支集蕴含f为整函数且各阶导数属于，故f∈。2.多选题2.1A,B,C 解析：连续a.e.必可测；可测函数对绝对值、平方封闭；原函数不一定可测。2.2A,B 解析：非负范数趋于0蕴含测度收敛，从而存在子列a.e.收敛；但未必收敛（已给定即为收敛），对p>1无信息。2.3B,C,D 解析：f∈当且仅当p<2；f2.4B,C,D 解析：分布函数≤C/表明f∈，从而对p<2成立；但需要平方可积，由分布积分公式|3.填空题3.1设E对称于某点a，则xdx=a|E|=33.2计算d故答案为0。3.3由帕塞瓦尔，‖f^=3.4逐项积分得f‖f3.5高斯傅里叶变换公式f4.计算与证明题4.1证明：给定ε>0，因f∈(E)，由积分的绝对连续性，存在δ>4.2(1)对任意η>|故→0(2)计算((3)由于‖=π不趋于0，

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