16-B样条曲线生成算法

B样条曲线的绘制内容大纲1B样条曲线简介2

B样条曲线定义3均匀周期二次B样条曲线4均匀周期三次B样条曲线

1B样条曲线简介10次Bezier曲线九段二次Bezier曲线

1B样条曲线简介由Gordon和Riesenfeld在1972年提出。B样条是分段曲线，每段参数t的区间是[0,1]。保留Bezier曲线优点，克服了Bezier曲线的弱点。Pi(xi,yi),i=0,1,…,n是控制曲线形状的n+1个控制点Ni,k(t)(i=0,1,…,n)称为k-1次B样条基函数，是递推公式

2B样条曲线定义

(tk-1≤t≤tn+1)注意：ti取值，T=[t0,t1,…,tn+k]是k次B样条函数的节点矢量，节点矢量值不同，就是不同类型的B样条曲线。

(tk-1≤t≤tn+1)i=1，先计算N1,1(t)，再计算N1,2(t)，…最后计算N1,k(t)

2B样条曲线定义i=0，先计算N0,1(t)，再计算N0,2(t)，…最后计算N0,k(t)……

(tk-1≤t≤tn+1)

3均匀周期二次B样条曲线均匀性：节点矢量ti=i(i=0,1,2,…,n+k)周期性：每段基函数一样二次B样条曲线表达式：P(t)=Pi(1-t)2/2+Pi+1(-

t2+t+1/2)+Pi+2t2/20

<=t<=1,i=0,1,2,……n-2当t=0时，P(0)=0.5P0+0.5P1二次B样条曲线经过控制多边形各边的中点i=0P(t)=P0(1-t)2/2+P1(-

t2+t+1/2)+P2t2/2P0P1P2当t=1时，P(1)=0.5P1+0.5P2

3均匀周期二次B样条曲线

每条边是二次B样条曲线的切线i=0:P(t)=P0(1-t)2/2+P1(-

t2+t+1/2)+P2t2/2(0≤t≤1)P0P1P2P3P4P1P2P2P3五个控制点i=1:P(t)=P1(1-t)2/2+P2(-

t2+t+1/2)+P3t2/2(0≤t≤1)i=2:P(t)=P2(1-t)2/2+P3(-

t2+t+1/2)+P4t2/2(0≤t≤1)

3均匀周期二次B样条曲线

01234

3均匀周期二次B样条曲线

5012345678910B样条可扩充性Bezier

B样条可局部修改012345678910012345678910

3均匀周期二次B样条曲线

voidBSpline2(CDC*pDC,intx[],inty[],intn,floatdt,COLORREFcolor){intx1,y1,x2,y2;floatn0,n1,n2;

x1=(x[0]+x[1])*0.5,y1=(y[0]+y[1])*0.5;for(inti=0;i<n-1;i++)

for(floatt=dt;t<1.0001;t=t+0.01)

{n0=(1-t)*(1-t)*0.5;

n1=(-2*t*t+2*t+1)*0.5;n2=t*t*0.5;//计算基函数

x2=x[i]*n0+x[i+1]*n1+x[i+2]*n2;

y2=y[i]*n0+y[i+1]*n1+y[i+2]*n2;//计算曲线上点坐标 Line_DDA(pDC,x1,y1,x2,y2,color);

x1=x2,y1=y2;

}}

3均匀周期二次B样条曲线

P0P1P2P3P(t)=Pi(-t3+3t2-3t+1)/6

+Pi+1(3t3-6t2+4)/6

+Pi+2(-3t3+3t2-3t+1)/6

+Pi+3t3/6

0

<=t<=1,i=0,1,2,……n-3

4均匀周期三次B样条曲线

三次B样条曲线表达式：

4均匀周期三次B样条曲线

voidBSpline3(CDC*pDC,intx[],inty[],intn,floatdt,COLORREFcolor){intx1,y1,x2,y2;floatn0,n1,n2,n3;

x1=(x[0]+x[2])*0.5/3+2*x[1]/3;y1=(y[0]+y[2])*0.5/3+2*y[1]/3;

for(inti=0;i<n-2;i++)for(floatt=dt;t<1.0001;t=t+dt) {n0=(-t*t*t+3*t*t-3*t+1)/6; n1=(3*t*t*t-6*t*t+4)/6; n2=(-3*t*t*t+3*t*t+3*t+1)/6; n3=t*t*t/6;//计算基函数 x2=x[i]*n0+x[i+1]*n1+x[i+2]*n2+x[i+3]*n3; y2=y[i]*n0+y[i+1]*n1+y[i+2]*n2+y[i+3]*n3;//计算曲线上点坐标 Line_DDA(pDC,x1,y1,x2,y2,color); x1=x2,y1=y2; }}【例1】已知控