小学五年级数学（下册）《分数与除法》深度剖析知识清单

小学五年级数学（下册）《分数与除法》深度剖析知识清单

一、核心概念建构：分数与除法关系的本质理解

（一）从除法的视角重新定义分数【基础】【高频考点】

在过往的学习中，分数被视为“把单位1平均分成若干份，表示这样一份或几份的数”。而“分数与除法”这一知识点，为我们打开了理解分数的另一扇至关重要的窗户：分数也可以看作是两数相除的商。这一视角的转变，是数概念发展的一次飞跃。具体而言，两个整数相除，当商不能用整数表示时，就可以用分数来表示。例如，把1个蛋糕平均分给3个人，求每人分得多少个，列式为1÷3。根据分数的意义，每人得到这个蛋糕的三分之一，即1/3个。由此，我们建立起第一个核心等式：1÷3=1/3。这揭示出，除法算式的结果（商）完全可以用一个分数来精准表达，它解决了整数除法中除不尽或商不是整数的问题，极大地扩展了数的应用范围。

（二）从分数的视角反向理解除法【基础】

反之，任何一个分数也可以看作是两个数相除的结果。例如，分数3/4，我们可以理解为把单位“1”平均分成4份，表示这样的3份；同时，它也可以被理解为3除以4的商。这种双向的理解，是后续学习假分数、带分数互化以及分数四则运算的思维基础。它打通了“分物”过程和“除法计算”之间的壁垒，让学生认识到数学知识的内在统一性。

（三）模型拓展：被除数大于除数的情况【难点】【重要】

当被除数大于除数时，商大于1，此时的商可以用假分数或带分数表示。这是对学生已有认知的又一次重要拓展。例如，把3张饼平均分给4个人，每人分得多少张？列式为3÷4。通过动手操作（如将3张饼叠在一起分，或每张饼都平均分成4份再组合），学生可以发现，每人分得的饼是3个1/4张，也就是3/4张。这便得到了第二个关键等式：3÷4=3/4。这个例子完美诠释了，即使被除数小于除数，商同样可以用真分数表示；而当被除数大于除数时，如把5张饼分给4个人，5÷4=5/4（或1又1/4）张，商则是大于1的假分数。这一过程深化了学生对分数意义的理解，分数不再仅仅是一个小于1的数，它可以表示任意两个整数相除的结果。

二、关系模型与符号化表达（a÷b=a/b(b≠0)）

（一）关系对应与规范表述【基础】【必考】

在大量实例的基础上，引导学生归纳、抽象出分数与除法的一般关系是本节课的核心。必须精准掌握以下对应关系：除法算式中的被除数相当于分数的分子，除数相当于分数的分母，除号相当于分数线。用字母表示为a÷b=a/b(b≠0)。这里需要特别强调，除数b不能为0，相应地，分数的分母也不能为0。这一关系是连接“数”与“运算”的桥梁。

（二）易错点辨析【重要】

在理解和应用中，学生极易混淆分数表示的两种不同意义：具体数量和分率（或称“量”与“率”）。这是本知识点的核心易错点，也是后续解决分数应用题的基础。

具体数量（量）：带有单位名称，表示一个具体的长度、重量、面积等。例如，“1/2米”就是指0.5米长的绳子。

分率（率）：不带有单位，表示一个数与另一个数（标准量）之间的关系。例如，“用去一根绳子的1/2”，这里的1/2指的是绳子的总长度的一半，具体长度是多少取决于绳子的总长。

在除法与分数的应用中，求具体的数量，用总数量除以总份数；求一个数是另一个数的几分之几（分率），则用一个数除以另一个数（标准量）。例如，“把3kg糖果平均分给5个小朋友，每个小朋友分到多少千克？”列式为3÷5=3/5（kg），结果是具体数量。而“每个小朋友分到的糖果占总质量的几分之几？”列式为1÷5=1/5，结果是分率。这是解决分数除法应用题的逻辑起点。

三、关键能力突破：基于关系的转化与应用

（一）低级单位转化为高级单位（名数转化）【高频考点】【热点】

利用分数与除法的关系，可以将低级单位的名数改写为高级单位的分数形式。其核心方法是：进率是多少，就用低级单位的数除以进率，所得的商用分数表示。

长度单位：如23厘米=23/100米（因为1米=100厘米，23÷100=23/100）。

时间单位：如17分钟=17/60小时（因为1小时=60分钟，17÷60=17/60）。

质量单位：如9两=9/10斤（或根据具体情境，如9÷1000=9/1000千克，视题目要求的标准量而定）。

面积单位：如7平方分米=7/100平方米。

【易错点警示】学生在转化时容易搞反除以进率还是乘进率，关键在于判断是将小单位换成大单位，数值变小，故应除以进率。

（二）求一个数是另一个数的几分之几【核心考点】【重要】

这是分数与除法关系在实际问题中最广泛的应用。解题的“金钥匙”是：找准标准量（单位“1”），用比较量除以标准量。

标准句式：“A是B的几分之几？”列式为A÷B。

变式拓展：“A占B的几分之几？”同样列式为A÷B。

例如：五一班有男生25人，女生20人。男生人数是女生的几分之几？列式为25÷20=25/20=5/4。女生人数是全班人数的几分之几？列式为20÷(25+20)=20/45=4/9。注意，这里的结果都需要根据分数的基本性质化为最简分数。

（三）假分数与带分数、整数的互化【基础】【必考】

依据分数与除法的关系（分子÷分母），可以实现三者之间的互化。

假分数化为整数或带分数：用分子除以分母。当分子是分母的倍数时，商就是整数，如12/4=12÷4=3。当分子不是分母的倍数时，商就是带分数：商作为带分数的整数部分，余数作为分数部分的分子，分母不变。例如，把7/3化为带分数：7÷3=2余1，所以7/3=2又1/3。

整数和带分数化为假分数：这是上述过程的逆运算。把整数或带分数写成“分子÷分母”的形式。对于整数，可以写成分母为1的假分数。对于带分数，如2又1/3，化为假分数时，分母不变，分子=整数×分母+原来分子，即(2×3+1)/3=7/3。

（四）分数与小数互化的深度理解【拓展】【重要】

分数与小数的互化本质上是除法运算的两种表现形式。

分数化小数：直接用分子除以分母。如3/4=3÷4=0.75。

小数化分数：将小数看作是分母为10、100、1000...的分数，然后化简。如0.375=375/1000，约分后得3/8。

【考点延伸】判断一个最简分数能否化成有限小数。其关键在于分母：分母只含有质因数2和5，则能化成有限小数；如果分母含有2和5以外的质因数，则不能化成有限小数（结果会是无限循环小数）。这是对分数与除法关系的深层挖掘。

四、思维拓展与综合应用

（一）工程问题与分数的结合【难点】【培优】

将工作总量看作单位“1”，那么工作效率就可以用分数来表示，这本质上是除法关系的延伸。例如，一项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成。甲队每天完成这项工程的1÷10=1/10；乙队每天完成1÷15=1/15。两队合作，每天完成(1/10+1/15)。这种模型将除法、分数与实际问题深度融合。

（二）在统计与概率中的应用【跨学科视野】

在统计中，求部分占总体的几分之几，也是分数与除法关系的直接体现。例如，在一个数据集中，某种数据出现的频数占总数据个数的几分之几，就是用频数除以总数。这为后续学习概率（可能性）打下了基础。

（三）在图形与几何中的应用

求一个图形的面积是另一个图形面积的几分之几，同样用比较图形的面积除以标准图形的面积。这打通了数与形之间的界限，体现了数学的整体性。

五、考查方式与解题策略

（一）常见题型【基础】

填空题：如3÷5=()/()；()÷7=4/9；7厘米=()/()米。

判断题：辨析除法与分数的关系，如判断“因为分数可以看成两个数相除，所以分数就是除法”的对错（错，因为除法是一种运算，分数是一个数）。

选择题：选择与除法算式相等的分数，或选择能正确表示题目数量关系的算式。

（二）综合应用题【热点】【重要】

解题一般分为三步：

第一步：读题析题，明确所求问题是“具体数量”还是“分率”。寻找关键词，如“多少千克”是求数量，“几分之几”是求分率。

第二步：确定标准量（单位“1”）。求分率时，标准量通常是“是”、“占”、“相当于”后面的那个量。

第三步：正确列式并计算。注意计算结果能约分的要约成最简分数。

（三）易错题集中突破【难点】

混淆量与率：如“一根绳子剪去1/3米”和“剪去1/3”的区别。

除法算式各部分对应错误：在a÷b=a/b中，误将a与分母对应。

在名数改写中混淆进率：尤其是时间单位（60进制）与其他十进制单位之间的区别。

分数化小数时除不尽不会处理：小学阶段通常保留两位小数或用循环小数表示，但作为分数，直接