2024-2025学年广东某中学八年级上学期期中数学试题（含答案）

2024-2025学年广州市荔湾区广东广雅中学八年级上学期11月期中

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列图案中，是轴对称图形的是（）

HB©C©.。

【答案】A

【分析】此题主要考查轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是解题的关键.

根据如果•个图形沿•条直线折登,直线两旁的部分能够互相直合.这个图形叫做轴对称图形.这条直线

叫做对称轴进行分析即可.

【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；

B、不是轴对称图形，故此选项错误；

C、不是轴对称图形，故此选项错误；

D、不是轴对称图形，故此选项错误.

故选：A.

2.在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，这种设计的原理是（）

A.三角形具有稳定性B.两点之间，线段最短C.两点确定一条直线D.垂线

段最短

【答案】A

【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键.模型中三角形架子

是其主要结构，故可用三角形的稳定性解释.

【详解】解：依题意，在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，

这种设计的原理是三角形具有稳定性，

初中

故选；A.

3.下列计算中，结果正确的是（）

248326268

A.3x-5x=15B.x.%=xc.（x）=xD.x+x=x

【答案】C

【分析】本题考查了单项式乘单项式、同底数基相乘、哥的乘方以及合并同类项，正确掌握相关性质内容

是解题的关键.据此相关运算法则进行逐个计算，即可作答.

【详解】解：A、3x-5x=15x2^15,该选项不符合题意；

B、，♦一=/R%8,该选项不符合题意；

C、（x3）2=x6,该选项符合题意；

D、%2,一不是同类项，故不能合并，该选项不符合题意；

故选：C.

4.已知a,b,c为△4BC的三边长，且〃i=K+g-c|=0,则△48C的形状是（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，等边三角形的判定：根据绝对值的性质及

算术平方根的性质求出a、b,c的关系，即可得解.

【详解】解：根据题意得，a-b=0,b-c=0,

解得Q=b,b=c,

所以，Q=匕=c,

所以，△ABC的形状是等边三角形.

故选：B.

5.具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）

A.乙1+4B.4乙4

C.2=90。-48D.W8=90。

【答案】D

【分析】根据三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可.

【详解】解：A.zJ+z^+zC=180°

.••2乙。=180°

解得NC=90。

此三角形是直角三角形，故本诜项不符合题意:

初中

B.

.•.设/8=4C=X,则乙4=2X

vzJ+z5+zC=180°

.•.x+-x+2r=180°

解得x=45。

.­.zJ=2x=90°

•••此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；

C.vz/l=90o-z^

••。+/8=90°

，此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意：

D/.*z^-z^=90°

•••乙仁48+90°

二此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意.

故答案选D.

【点睛】本题考查了三角形内角司定理，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理.

6.把一副三角板按如图所示平放在桌面上，点E恰好落在CB的延长线上，FELCE,则乙4DE的大小为

()

A.165°B.155°C.145°D.135°

【答案】A

【分析】根据垂直推出乙FEC+"=180。,得到OFIIEC,进而得到4FD8=乙ABC=60。,求出41DF=120°,

再根据Z/1OE=/.ADF+4/DE计算出答案.

【详解】解：-FE1CE,

.♦"EC=90°=ZF,

“/EC+4尸=180°,

'.DFWEC,

初中

“FDB=乙ABC=60°,

：.£ADF=120°,

“FDE=45°,

：.Z.ADE=Z.ADF+乙FDE=165°,

故选：A.

【点睛】此题考查了三角板中的角度问题，平行线的判定和性质，熟记平行线的判定定理和性质定理是解

题的关键.

7.如图，ABWCD,AD=CD,z2=40°,则N1的度数是（）

A.80°B.75°C.70°D.65°

【答案】C

【分析】根据等边对等角，得乙。。=乙。/。，再根据两直线平行，同位角相等得乙1=乙。。=70。.

【详解】解：•:AD=CD,

:.乙DCA=Z~DAC,

•22=40。，

••.，DC4=（180°-40°）-2=70°,

38IICO,

.••/1=4。。=70。.

故选C.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练运用等腰一:角形和平行线的性质是解题的关键.

8.根据下列各组所给条件，不能唯一确定△力8C的形状和大小的是（）

A.AB=6cm,BC=7.4cm.=45°

B.=45°,8c=7.4cm,zC=75°

C.43=45。，AB=6cm,zC=75°

D.BC=5.4cm,AB=6cm.Z.A=60°

【答案】D

初中

【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.根据三角形全等

的判定方法逐个判断即可求解.

【详解】解：A、根据SAS可判定三角形全等，所以能唯一画出△力8C,不符合题意；

B、根据ASA可判定三角形全等，所以能唯一画出△ABC,不符合题意；

C、根据AAS可判定三角形全等，所以能唯一画出△48C,不符合题意；

D、两边及其中一边的对角相等的两个三角形不能判定全等，所以不能唯一画出△4BC,符合题意.

故地：D.

9.如图，在△A8C中，点。是边8C的中点，CE=^AC,△力BC的面积是4,则下列结论正确的是（）

A.Si=S2B.Si=2C.S2=0.5D.Si-S?=1

【答案】D

【分析】设AD与BE相交于点O,连接。C,根据三角形的中线性质可得=S&COD，S&48。=S^ACD-

/△ABC=gx4=2,从而可得另=S^ABO工2,再根据已知CE=%C可得SABEC=^S^ABC=7x4=1,

从而可得S2=s四边形ODCEH¥"品工0.5,然后根据图形面积的和差关系进行计算，即可解答，

本题考查了三角形的面积，根据题目的己知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

【详解】解：设力D与BE相交于点O,连接。。

•••点。是边8c的中点，△ABC的面枳是4,

••,S&ABD=S&ACD=5s△.sc=万X4=2，

51=5=80。2,故B不正确，不符合题意,

,:CE=%。，

初中

,S&BEC=^/\ABC=WX4=1»

•'$2=S四边形ODCE工gSaBEC.°-5,故c不正确，不符合题意，

•••Si=S^ABO=S^DAB—SABOD=2-S&BOD，S?=S四边形0OCE=SABEC—S^BOD=1-S480D，

••・Si。§2,故A不正确，不符合题意，

Si-S2=2-S^BOD-^-S^BOD')=1，故D正确，符合题意，

故选：D.

1().如图，在△48C中，Z.ABC=60°,AO平分4c交8c于点。，CE平分4/1CB交48于点£40、CE交

于点尺则下列说法正确的个数为()

®^AFC=120°；@S^ABD=S^DC,③若A8=24E,则CEJ.力&@CD+AE=AC

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据=60。得，8AC+NBCA=120。，得到强B4C+4BC4)=60。，结合4AR?=180。一；

(^BAC+^BCA)=120°,可判断①；根据SZSABD=$小℃得〃。=OC,无法确定，可判定②错识；根据

AB=2AE,得BE=AE,过点EG_LAC,EH18C,垂足分别为G,H,结合CE平分得EG=EH：结合

△ECH三△ECG(HL),得到CH=CG；结合△BEH三△AEG(HL),得到8H=AG：继而得到力C=BC,利用

等腰三角形的三线合一性质，可判定③正确；

作CG平分44打?交力。于点G,结合44尸C=120°,得到N/FE=^AFG=乙DFC=Z-GFC=60°,证明

△DFC=△GFC(ASA)△AFE=△AFG(ASA)得到AE=AG,CD=CG,结合4C=AG+CG,等量代换可得

CD+AE=AC,可判定④正确.

本题考查了三角形内附和定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，角的平分线性质，熟练掌

握三角形全等的判定和性质，等遽三角形的性质是解题的关键.

【详解】''/.ABC=60°,

：./.BAC+Z.BCA=120°,

点/BAC4-乙BCA)=60°,

•MD平分4交于点D,CE平分NACB交48F点E,

初中

•-Z.AFC=180°-1(z^C+NBCA)=120°,

故①正确；

=S^ADC,

:.BD=DC,无法确定，

故@错误；

vAB=2AE,

'-BE=AE,

过点EG14&E41BC,垂足分别为G,H,

•••CE平分N4CB,

•••EG=EH；

•••△ECHwZ\ECG(HL),

••.CH=CG；

•••△8EH三△AEG(HL),

:.BH=AG；

•-AC=BC,

：.CE1AB,

故③正确；

作CG平分44FC交4c于点G,•••44%=120°,

."FE=Z.AFG=乙DFC=乙GFC=60°,

・"EAF=LGAF,AF=AF.£DCF=LGCF,CF=CF

•••△DFC=△GFC(ASA),△AFE=△AFG(ASA)：.AE=AG,CD=CG,

,•AC=AG+CG,

'•CD+AE=ACi

初中

A

・•.④正确.

故选C.

二、填空题

11.若点4(%4)与点8(3力)关于y轴对称，则a+匕=.

【答案】1

【分析】根据平面直角坐标系内关于y轴对称的点的坐标的特征规律进行求解即可.

本题主要考查了平面直角坐标系内点关于坐标轴对称的特征,熟练掌握若两点关于丫轴对称,则横坐标不

变，纵坐标互为相反数；若两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键.

【详解】"(a,4)与点8(3力)关于y轴对称，

•••Q=-3,b=4,

a4-b=-3+4=1,

故答案为：1.

12.已知三角形的三边长分别是2、7、K，且尤为奇数，贝卜=.

【答案】7

【分析】本题考查了三角形的三边关系，由三边关系得7-2VZV7+2,即可求解；理解“三角形的任意

两边之和大于第三边是解题的关键.

【详解】解：由题意得

7—2<%<7+2,

•••5<%<9,

丁为奇数，

:.x=7；

故答案:7.

13.一个多边形的每一个外角都等于60。，则这个多边形的内角和为度.

【答案】720

【分析】本题考查了多边形的内角和与外角性质，先求出这个多边形的边数，再根据多边形内角和公式进

初中

行计算，即可作答.

【详解】解：•••多边形的每一个外角都等于60。，

它的边数为：360。+60。=6,

二它的内角和：180°x(6-2)=720°,

故答案为：720.

14.如图，射线OC是4108的角平分线，力是射线。。上一点，OP1。/于点尸，DP=5,若点。是射线。8

上一点，0Q=4,则AOOQ的面积是

【答案】10

【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.作

DH108于点”，根据角平分线的性质得到0，=DP=5,根据三角形的面积计算公式，即可得到答案.

【详解】解：作DH108于点H,

•:射线0C是乙40B的角平分线，

DPLOA,DHLOB,

=DP=5,

△OOQ的面积=JxOQxOH=9x4x5=10.

故答案为：10.

15.定义一种新运算(。力)，若G=b,贝IJ(Q力)=c,例(2,8)=3,(3,81)=4.已知(3,5)+(3,7)=(3/),

则x的值为.

【答案】35

【分析】本题考查了乘方、同底数累的运算等知识点，根据新定义运算表示出左右两侧的数，再根据相应

初中

的运算法则求解即可，理解新定义运算和掌握对应知识的运算法则是解题的关键.

【详解】解：设3m=5,3n=7

则由题意可得(3,5)=m,(3,7)=n

(3,x)=m+n

3m+n=x

即x=3m+n=3m-3n=5x7=35

故答案为：35.

16.如图，乙4。8=25。，点”，"分别是边。4OB上的定点，点P,0分别是边。8,0A上的动点，记

小IPQ=a,乙PQN=依当MP+PQ+QN的值最小时，夕-a的大小=(度).

/\

OPNB

【答案】5()

【分析】本题主要考查最短路径问题、轴对称的性质，三角形外角的性质，作〃关于0B的对称点M',N

关于04的对称点N',连接M'N’,交。8于点尸，交0A于点Q,连接MP,QN,可知此时MP+PQ+QN最

小，itLHtzOPM=Z.0PM'=QPN,乙OQP=LAQN=LAQN',再根据三角形外角的性质和平角的定义即

可得出结论.

【详解】解：作M关于08的对称点M',N关于。力的对称点N',连接M'N’,交。8于点P,交04于点°,

连接MP,QN,如图所示.

根据两点之间，线段最短，可知此时MP+PQ+QN最小，即MP+PQ+QN=M'N',

"OPM=NOPM'=QPN,"QP=Z,AQN=乙AQN',

,:乙MPQ=a,乙PQN=/?,

"QPN=|(180°-a),z_OQP=1(180°-/?),

•:乙QPN=Z.AOB+乙OQP,^AOB=25°,

.•.H：180°-a)=25°4-1(18O0-/?),

初中

=50°,

故答案为：50.

三、解答题

17.计算：a4-3a2+(-2a2)3+5a6.

【答案】0

【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则进行计算即可.根据同底数塞的乘法以及积的乘方

进行计算，再合并同类项即可.

【详解】解：原式=3。6-8。6+5。6

=0.

18.如图，AB=AC,Z.B=ZC.求证：AD=AE.

【答案】见解析

【分析】结合题意可得乙A=乙4再根据全等三角形的判定(ASA)得到△ABE三△4CD,根据全等三角形

的性质可得答案.

【详解】证明：•.•在和人48中

z.4=Z-A

AB=AC

乙B=乙C'

•••△ABEwZ\4CD（ASA）,

：.AD=AE.

【点睛】本题考查全等三角形的判定(ASA)和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定(ASA)和性质.

19.如图，△ABC中，AB=AC,/-BAC=120°,是BC边上的中线，且BD=BE,计算/ADE的度数.

【答案】15。

【分析】利用等边对等角和三角形的内角和定理可求乙&48OE的度数，利用等腰三角形三线合一的性质

初中

可求"1。8的度数，再利用角的和差关系即可求由乙ADE的度数.

【详解】解：•••AB=4C,LBAC=120°,

“B=zC=；（180。一48AC）=30°,

•••80=BE,

；zBDE=乙BED=3180°-48）=75°,

-AB=AC,AD是BC边上的中线，

.'.AD1BC,

：.z.ADB=90°,

：.Z.ADE=Z.ADB-Z.BDE=15°.

故答案为：15。.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握等腰三角形等边对等角、三线合

一的性质是解题的关键.

20.如图，在△力8c中，LA=£C=15°,AB=5,求△ABC的面枳.

【分析】本题考查三角形外角性质，等腰三角形性质，30度所对直角边等于斜边一半，延长/从作CD_L

的延长线于点D，根据三角形外角性质和等腰三角形性质，得到BC=AB=5,LDBC=30°,再利用30度

所对直角边等于斜边一半，推出CD,最后根据三角形面积公式求解即可.

【详解】解：延长力8,作COJ.48的延长线于点0,

BC=AB=5,Z-DBC=Z.A+LBCA=30°,

•••CD=；BC=I，

△ABC的面积为：-CD=x5x|=y.

21.如图，已知△4BC.

初中

(1府图中画出△48。关于工轴对称的△TB'C’,并写出力‘、B\。’的坐标；(点4、B、。的对称点分别为

小、夕、cf)；

(2)△，夕。'的面积为

(3)己知P为y轴上一点，若的面积为4,则点P的坐标为

【答案】⑴图见解析，A'(0,-2),夕(2,-1),C'(4,-3)

(2)3

⑶P(0,0)或尸(0,-4)

【分析】本题主要考查了坐标与图形，在平面直角坐标系中画关于x轴的对称的图形，在网格中求三角形

的面积，及其根据三角形面积求点的坐标.

(I)分别标HM、B、C关于%轴对称的点，依次连起来，并读出点的坐标即可；

(2)在网格中，利用割补法计算即可；

⑶设点P(O,m),那么24'=|优+2|,利用$=杷4'—,从而求得P，，得到P的坐标.

【详解】(1)解：如图所示，△4力工'为所求

此时，力'(0,-2),夕(2,-1),C'(4,—3)

(2)解：S^A'B'C'=2x4-1x1x2Tx1x4-|x2x2=3

故答案为：3.

初中

(3)解:设点P(O,m),那么R4'=|mI2|

•••S&VCP=；P力'•=4，C点横坐标为4

.•二PA'x4=4

Zi

：•PA1=2

\m+2\=2

：•m=0或m=-4

AP(0,0)或P(0,-4)

22.在我国北斗卫星导航系统的精确导航下，一艇货轮在海上以每小时40海里的速度行半小时后货轮到

达C处，此时测得灯塔4在其北偏东20。的方向上，求货轮到达C处时与灯塔力的距离.

【答案】货轮到达C处时与灯塔力的距离是20海里.

【分析】本题考查了等边三角形判定和性质，方向角，根据题意得出N8C4=乙4BC=60。，连而根据等边

三角形的性质，即可求解.

【详解】解：如图，

根据题意得：CD||BE,

.-.rl=Z.EBC=40°,

LBCA=zl+Z,ACD=40°+20°=60°,

初中

又乙ABC=180°-80°-40°=60°,

ALBCA=Z.ABC=60°,

是等边三角形，

.•.4C=8C=40x0.5=20（海里），

答：货轮到达。处时与灯塔力的距离是20海里.

23.如图，在AAA。中，射线4A/平分匕历

（I）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）作的中垂线，与4W相交于点G,连接3G、CG；

（2）在（1）条件下，4山。和N8GC有何数量关系？并证明你的结论.

【答案】（1）详见解析；（2）^BAC+^BGC=\S00,证明详见解析.

【分析】（1）作线段4C的垂直平分线即可；

（2）在上截取力。=力。，连接OG.首先证明△。力（SAS）,推出414G+-iCG=180。，利用

四边形内角和定理即可解决问题.

【详解】解：（1）线段6C的中垂线EG如图所示：

（2）结论：Z5JC+Z5GC-1800.

理由：在AB上截取4Z）=4C,连接。G.

•••4W平分4比iC,

:.乙DAG=LCAG,

在△。4G和4G中

AD=AC

vLDAG=Z.CAG

AG=AG

:ADAGdCAG（SAS）,

"DG=UCG,DG=CG,

•・・G在8c的垂直平分线上，

:.BG=CG,

:.BG=DG,

:/ABG—乙BDG,

初中

vz5Z)Gi^Z)G=180o,

•••Z/I8G+ZJCG=18O。，

•:乙4BG+乙BGC+乙4CG+Z.BA0=360°,

：.Z.BAC+Z-BGC=\SO0.

【点睛】本题考查的知识点有简单的尺规作图，全等三角形的判定定理，四边形内角和定理笔，此类题目

需要用数形结合的方法，通过作辅助线，可以使题目简单明了，更容易得解.

24.△48C是等边三角形，点。是4c边上动点，zCBD=a(0°<a<30°),把△力8。沿80对折，得到

△A'BD

图1图2

(1)如图1,若a=15。,则2CB4'=_

(2)如图2,点〃在8D延长线上，K^DAP=LDBC=a.

①连接力P,试探究力P,BP,CP之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由.

②若BP=8,CP=t,连接&4',并求出C，的长.(用含/的式子表示)

【答案】(1)30。

=AP+CP,理由见解析；②8—2£

【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质

是解题的关键.

(1)根据题意得到乙4BC=60°,由乙CBD=a=15°,知乙，8。=Z.ABD=^.ABC-a,LCBA1=乙4'

BD-a=LABC-2a=60°-2a,即可得•到答案：

(2)①连接CP,在8P上取一点P',使2P'=AP,证明△BP'C£^APC(SAS),得到CP=CP',证明

初中

△CPP'为等边二角形，即可得到。P=4P十CP；

②先证ZBCP+48Gl'=180。，得出P4'=PC+&4',证明△ADP三△，DP(SAS),即可求出答案.

【详解】(1)解：•••△力8c是等边三角形，

LABC=60°,

•••Z-CBD=a(0°<a<30°),

•••LA'BD=乙ABD=z.ABC-a,

LCBA'=乙A'BD-a=乙ABC-2a=60°—2a,

va=15%

LCBA'=60°-2x15°=30°,

故答案为：30。.

(2)①证明：BP=AP+CP,理由如下：

连接CP,在BP上取一点P’,使BP'=AP,

△ABC是等边三角形，

.••乙ABC=60°,BC=AC,

LDAP=乙DBC=a,

:.△8P'Cw^APC(SAS),

CP'=CP/BCP'=Z.ACP,

:.乙PCP'=Z.ACP+Z.ACP1=Z-BCP1+z.ACPr=Z-ACB=60°,

•••CP'=CP,

/.△。尸P'是等边三角形，

LCPB=60°,PP'=CP,

.-.BP=BP，+PP1=AP+CP,

即BP=AP+CP；

②由①知，"PC=60。，

LBCP=180°-zFPC-zPFC=180°-60°-a=120°-a,

由(1)知，£.CBAr=60°-2a,

初中

由折叠知，DA=nA\

•••BA=BC,

.•.BA'=BC,

LBCAr=幻80。VCBA')=为80。一(60。-2a)]=60°+a,

ALBCP+Z.BCA'=120。-a+60°+a=180°,

•••点A、C、P在同一直线上，

即PA'=PC+CA",

由折叠可知,BA=BA',z.ADB=乙4'DB,

180°-乙4DB=180°-乙4'困

：.LADP=LA'DP,

vDP=DP,

:.△4DP三△A'DP(SAS),

r

：.AP=APf

由①知，BP=AP+CP,

vBP=8»CP=3

•••AP=BP-CP=8-3

.-.A,P=AP=8-t,

：,CA1=A'P-CP=8-t-t=8-2t.

25.如图，在平面直角坐标系中,已知A（a,O）、B（0,b）分别为%轴和y轴上一点,且a,b满足卬一））」十也十8|

=0,过点8作BE1AC于点E,延长8E至点D,使得BZ）=4C,连接OC、OD.

初中

(1)4点的坐标为,乙0A8的度数为;

(2)如图1,若点C在第一象限，试判断0C与0。的数量关系与位置关系，并说明理由；

(3)如图2,若点C的坐标为(3,-2),连接CO,DE平分N00C,BD与0C交于点、F.

①求。点的坐标；

②试判断DF与CE的数量关系，并说明理由.