2024-2025学年北京市顺义区九年级（上）期末数学试卷（含参考答案）

2024・2025学年北京市顺义区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（共16分，每题2分）

1.（2分）如果2x=3y（xyWO）,那么下列比例式中正确的是（）

A.三二工B.工=3C.&=2D.&:上

32x2y323

2.（2分）将抛物线J，=2X2向上平移3个单位后所得抛物线的表达式是（）

A.尸2，+3B.y=2（x+3）2C.y=2（x-3）2D.y=2x2-3

3.（2分）将二次函数y=~-4/3化为y=（x-A）2+A­的形式，下列结果正确的是（）

A.y=（x+2）2+lB.y=（x+2）2-1

C.y=（x-2）2-1D.y=（x-2）2+l

4.（2分）如图，在OO中，C,。为O。上两点，48为OO的直径.如果NZQC=25°,那么NCO8为

A.100°B.125,C.130°D.155°

5.（2分）若反比例函数y=3（k#0）的图象经过点力（-3,-1）,则下列说法正确的是（）

A.k=-3

B.函数图象经过点（1,3）

C.当x>0时，1随x的增大而增大

D.当xV-3时，yV-1

6.（2分）如图，在△力8C中，乂8=4,NB=60°♦sinC=2,则IC的长为()

3

A.2B.3C.2V3D.3V3

7.（2分）一次困数y=ax2十8/c（〃关o）的图象如图所示，下列结论中正确的是（)

第1页（共29页）

c.4t/+/>=0D.a-8+c<0

8.（2分）如图，一块正方形的木板，边长为10c〃,将该木板在同一平面内沿水平线AD无滑动翻滚两次,

则点B从开始到结束所经过的路径长度为（）

第一次第二次

A.(20+I0V2)cmB.(2O+5TI)cm

C.(5+5^2)TTC7ZJD.(20+5V2)TTcir

二、填空题（共16分，每题2分）

9.（2分）若代数式■有意义，则实数x的取值范围是.

x-5

10.（2分）写出一个开口向下且过点（0,2）的抛物线的表达式

11.（2分）在平面直角坐标系X。9，中，若函数y=X（k户0）的图象经过点力（。，2）和B（4-2）,则

x

a+b的值为.

12.（2分）物理课中同学们观察了小孔成像现象，如图，电子蜡烛的火焰高度力4为3.5cm,倒立的像的

高度CD为7cm,小孔到火焰AB的距离为lOc/n,则小孔到火焰的像CD的距离为c,〃.

13.（2分）如图，ZUBC的顶点在正方形网格的交点处，则siM的值为

第2页（共29页）

AB//CD//EF.若BD=4,OD=2,OE=2,则如

AO

15.（2分）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆.对于现代社会而言,

车仍是不可缺少的重要交通工具.生活中，车轮通常的形状是圆形.

下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是.（填写所有正

确选项的序号）.

①圆是轴对称图形;

②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等:

③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上;

④圆中垂直于弦的直径平分弦.

古代车轮现代车轮

16.（2分）在平面直角坐标系中，若无论k为何值时，直线），=左什2与抛物线（«<0）

总有公共点，则力的取值范围是

三、解答题（共68分，第17・19题，每题5分，第20题6分，第21・23题，每题5分，第24・26题，每

第3页（共29页）

题6分，第27・28题，每题7分）

17.（5分）计算：（九-4）°+2cos300-V12+|1|,

r3（x-l）<2x+7

18.（5分）解不等式组、3X-6

2x>p-

19.（5分）已知2，+/-3=0,求代数式（x+y）2+x（x-2y）的值.

20.（6分）如图，在四边形716co中，AB=2,AC=4,片。=8,NB4C=NC4D.（1）求记：4ABCs

AACD；

（2）若BC=3,求△4CO的周长.

21.（5分）已知二次函数2x+c（aWO）的图象经过点力（0,3）,B（2,3）.

（1）求二次函数的表达式；

（2）直接写出-KW2时，y的最大值.

22.（5分）数学课上，老师提出如下问题：

已知：如图，48是。。的直径，射线4C交。。于点C.

求作：商的中点。.

小华的作法：

①在射线力。上截取就，使,4E=48；

②连接8£,交O。于点Q.

所以点。就是所求作的点.

（1）按照小华的作法，补全图形：

（2）补全下面的证明.

证明：连接力。，

•••48是的直径，

AZADB=（）（填推理依据）.

•；AB=AE,

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：,ZBAD=ZEAD.

，点。为面的中点.

23,（5分）某校九年级数学兴趣小组开展测量“学校操场旗杆”的实践活动，其中一个设计方案如图所示,

旗杆垂直于水平地面，在地面上选取C,。两处（C,B,。在同一条直线上），测得地面上C,D

两点的距离为30〃?，分别在点C和点。处测得旗杆顶端的仰角为61°和42°.请根据他们的测量数据,

求旗杆的高大约是多少？（结果精确到1〃?）.

（参考数据:sin42°-0.67.cos42°-0.74,tan42°=0.90,sin61°-0.87,cos6I°^0.48,tan61°.

24.（6分）篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离5〃?的位置处，正对篮筐进行定点投篮练

习.篮筐距离地面的高度为3.05〃?.篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分.建立如

图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度y（单位：，〃）与水平距离x（单位：〃?）近似满足二次函数

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（1）小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离X与竖直高度7的几组数据如下:

水平距离x/m01234

竖直高度M机1.83.053.84.053.8

①直接写出篮球的竖直高度的最大值;

②篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系j，=。lx-h）2+k（aVO）,求a的值;

③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由；

（2）小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直面度y与水平电离x近似满足函数关系y=-0.3，+bx+c,

篮球出手时竖直高度满足2W,W2.05,若小明将篮球投进篮箧中心，直接写出人的取值范围.

25.（6分）如图，点P为外一点，过点P作的切线P4和尸8,切点分别是点片和点氏连接

力8,直线P。与。0交于点C和点E,交AB于点D,连接,4E,BE.

（1）求证：△4E8是等腰三角形:

26.（6分）已知抛物线y=『-2立，若点、A（-1,/），By2）在抛物线上.

（1）求抛物线的对称轴（用含b的字母表示）;

（2）若对于用21时，都有），2＞刈，求A的取值范围.

27.（7分）如图，在。中，点。在/C边上，作点。关于的对称点。T连接。。交力8于点E,

连接80,作4尸_1_3。（点尸在8c右侧），且4产=8。，连接8。）DF,。户，F交AB于点、G.

（I）①依题意补全图形；

②若N4BD=a,用含有a的式子表示的度数；

（2）用等式表示线段8ft与GE的数量关系，并证明.

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28.（7分）在平面直角坐标系x©，中，对于点沙和点M（，〃，，?）给出如下定义：将点力先关于直线》=

，〃翻折，再向上（〃20时）或向下（〃<0时）平移网个单位,得到的点叫做"关于点必的“关联点”.

（1）①点。（0,0）,A（2,1）,点O关于点4的“关联点”的坐标是；

②若点8（-2,-1）关于点C的“关联点”的坐标是（4,0）,则点。的坐标是；

（2）直线y=x+2分别与x轴，y轴相交于点。，E,。是线段。七上的点.

①点。（1,q）.若直线丁=什2上存在着点尸关于点。的“关联点”，直接写出乡的取值范围；

②点7是以。为圆心，I为半径的圆上的点，点7关于点尸的所有“关联点”组成图形G.若图形G

与坐标轴有公共点，直接写出点尸的横坐标x的取值范围.

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2024・2025学年北京市顺义区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

一、选择题（共16分，每题2分）

1.（2分）如果2x=3y（个X0）,那么下列比例式中正确的是（）

A.三二工B.工=&C.&=2D.至:上

32x2y323

【分析】利用比例的基本性质，把每一个选项中的比例式化成等积式即可解答.

【解答】解：A.因为三=£,所以2x=3_y,故符合题意：

32

B.因为工=3,所以3x=2y,故不符合题意；

X2

C.因为:所以3x=2y,故不符合题意；

D.因为工=工，所以3x=2y,故不符合题意；

23

故选：A.

【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键.

2.（2分）将抛物线y=2d向上平移3个单位后所得抛物线的表达式是（）

A.尸2/+3B.尸2（x+3）2C.y=2（x-3）2D.y=2x2-3

【分析】直接根据平移规律作答即可.

【解答】解：将抛物线旷=北向上平移3个单位后所得抛物线的表达式是卜=2/+3；

故选：A.

【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.并用规律

求函数解析式.

3.（2分）将二次函数》=》2-4好3化为歹=（%-//）2+女的形式，下列结果正确的是（）

A.y=（x+2）2+1B.y=（x+2）2-1

C.y=（x-2）2-1D.尸（x-2）2+l

【分析】利用配方法整理即可得解.

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【解答】解：y=x2-4x+3

=（x2-4x+4）+3-4,

=（x-2）2-1,

即y=（x-2）2-1.

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握和运用配方法是解题的关键.

4.（2分）如图，在。。中，C,。为上两点，为OO的直径.如果/4。。=25°,那么NCO8为

A.100°B.125°C.130°D.155°

【分析】根据圆周角定理求出N4OC的度数，从而求出NC08的度数即可.

【解答】解：VZJDC=25°,

AZAOC=2ZADC=5G°,

，NC08=180°-ZAOC=\309.

故选：C.

【点评】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关健.

5.（2分）若反比例函数y=K（k卉0）的图象经过点力（-3,-1）,则下列说法正确的是（）

x

A.k=-3

B.函数图象经过点（1,3）

C.当x>0时，y随x的增大而增大

D.当xV-3时，y<-1

【分析】根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可.

【解答】解：•・•反比例函数y=K（k卉0）的图象经过点力「3,-1）,

X

••k=-3X（-1）=3,故选项力错误，不合题意；

Vx=1时，》=3=3,

1

・•・函数图象经过点（I,3）,故选项8正确，符合题意；

第9页（共29页）

F=3>0,

・•・此函数图象的两个分支位于一三象限，

・•・当x>0时，歹随着x的增大而减小，故选项C错误，不符合题意；

•・•当xV-3,-\<y<0,故该选项不正确，不符合题意.

故选：B.

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质是

解答此题的关键.

6.（2分）如图，在△/BC中，£B=4,ZB=60°,sinC=—»则力。的长为（）

A.2B.3C.2V3D.3V3

【分析】过点力作的垂线，先利用N4的正弦，求出垂线段的长，再结合NC的正弦即可解决问题.

【解答】解：过点/作3c的垂线，垂足为M,

在中，

sin4=世.

AB

VZZ?=60°,AB=4,

.AMV3

••―9

42

则4W=2V3.

在Rt△力CW中，

sinC=-^-»

AC

第10页（共29页）

.2V32

AC3

：.AC=3V3.

故选：D.

【点评】本题主要考查了解直角三角形，能根据题意构造出合适的直角三角形及熟知正弦的定义是解题

的关键.

的图象如图所示，下列结论中正确的是（

C.4a+b=0D.a・b+cVO

【分析】根据二次函数的图象与性质，逐一判断各选项，即可得到结果.

【解答】解：•・•二次函数图象开口向上,

故力选项错误，不符合题意：

•・•二次函数图象与），轴的正半轴相交，

故8选项错误，不符合题意；

根据二次函数图象与x轴的交点为（1,0）（3,0）,

a+h+c=O,9。+3力+e=(),

两式相减，得8al26=0,

，4a+b=0,

故C选项正确，符合题意；

当x=-1时，y>0,

BP67-b+c>0,

故。选项错误，不符合题意,

故选：C.

第11页（共29页）

【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

8.（2分）如图，一块正方形的木板，边长为\Ocrn,将该木板在同一平面内沿水平线AD无滑动翻滚两次,

则点B从开始到结束所经过的路径长度为（）

第一次第二次

A.(20+10V2)cmB.(2O+5n)cm

C.(5+5扬ncmD.(20+5V2)TTcir

【分析】由题意得到8点经过的路径有两段，其中一段以106cm为半径，圆心角为90°的弧长，另

一段是以10。〃?为半径，圆心角为90°的弧长，然后根据弧长公式计算即可.

【解答】解：点经过的路径如图,

•・•正方形的边长为10c加，

ABD=DBy=V2AB=10V2CB

，〃点所经过的路径长=迎三改返■2兀X10=（5+572）冗加

1804

故选：C.

【点评】本题考查了弧长的计算，正方形的性质，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键.

二、填空题（共16分，每题2分）

9.（2分）若代数式工有意义，则实数x的取值范围是.耳5

x-5

【分析】根据分式有意义的条件解答即可.

【解答】解：代数式工有意义，

x-5

故5W0,

解得x±5,

第12页（共29页）

故答案为：xW5.

【点评】本题考查了分式有意义条件，正确理解X-5N0是解题的关键.

10.（2分）写出一个开口向下且过点（0,2）的抛物线的表达式吁-X2-2X+2（答案不唯一）

【分析】写出一个二次函数，使其二次项系数为负数，常数项为2即可.

【解答】解：根据题意得：y=・¥・2x+2（答案不唯一）,

故答案为：y=-x2-2x+2（答案不唯一*）.

【点评】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键.

11.（2分）在平面直角坐标系X。中，若函数y=X（k卉0）的图象经过点力（。，2）和B（方，-2）,则

X

a+b的值为0

【分析】将点力（m2）和86,-2）代入y=K（k¥：O）之中得。=工，/尸-工，由此可得。十方的值.

x22

【解答】解：,・•函数y=&（k声0）的图象经过点力（。，2）和8（b,-2）,

x

•9—k—k

ab

.*.r?=—,b=,

22

**•a+b=—+(——)=0.

22

故答案为：0.

【点评】此题主要考杳了反比冽函数图象上的点，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式

是解决问题的关键.

12.（2分）物理课中同学们观察了小孔成像现象，如图，电子蜡烛的火焰高度48为3.5c机，倒立的像的

高度CD为7°〃，小孔到火焰的距离为10C/H,则小孔到火焰的像CD的距离为20cm.

【分析】根据相似三角形对应边上的高之比等于相似比得出等式求解即可.

OE=\Ocm,CD//AB,OELAB,OFLCD,

第13页（共29页）

/./\AOB^^COD,

又，：0E工AB,OF工CD,

•.•—ABOE,

CDOF

•・•a5二109

7OF

，"=20,

即小孔到火焰的像CD的距离为20cm,

故答案为：2（）.

【点评】本题考杳了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键.

13.（2分）如图，的顶点在正方形网格的交点处，则sin/的值为_近"—.

【分析】过点。作力8的垂线，构造出直角三角形即可解决问题.

4C=JAM©[2^1^2+22=3旗,

涉急哈

5

【点评】本题主要考查了解直角三角形，能根据题意构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键.

14.（2分）如图,直线力兄/次相交于点。.AR//CD//EF.若，，）=4,。。=2,。/?=2,则空=X.

A0-3一

第14页（共29页）

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可.

【解答】解：・・・8。=4,07）=2,

：,OB=0D+BD=2+4=6,

*：AB//CD//EF,

.QF_QE_2_1

**OAOBy

故答案为：1.

3

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键.

15.（2分）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆.对于现代社会而言，

车仍是不可缺少的重要交通工具.生活中，车轮通常的形状是圆形.

下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是②⑶.（填写所有

正确选项的序号）.

①圆是轴对称图形；

②圆的圆心到圆周上任意•点的距离相等：

③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上；

④圆中垂直于弦的直径平分弦.

古代车轮现代车轮

【分析】根据圆可以看作是所有到定点0的距离等于定长，•的点的集合解答即可.

【解答】解:由圆的定义可得.圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等且圆沿一条直线滚动，圆心始终

在平行于这条直线的一条直线上，

第15页（共29页）

，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是②③.

故答案为：②③.

【点评】本题考查了圆的认识，解题的关键是掌握圆的定义并灵活运用.

16.（2分）在平面直角坐标系X⑦，中，若无论k为何值时，直线y=h+2与抛物线》=〃/+4奴+6（aVO）

总有公共点，则6的取值范围是后2.

【分析】依据题意，由直线y=h+2（攵是常数，AWO）过点（0,2）,抛物线y=4F+4ax+b（aVO）开

口向下，对称轴为宜线x=-2,则》=（）时，y=/+4”+匠2满足题意.

【解答】解：•・•直线y=Ax+2,

・•・直线y=Ax+2过定点（0,2）,

\'y=ax2+4ax+b（“VO）,

・•・抛物线开口向下，对称轴为直线x=-2,

:无论％为何值时，直线y=h+2与抛物线V="2+4QX+"4V0）总有公共点，

.••x=0时，y=a^+Aax+b>2»即/>22,

，无论〃为何值时，直线歹="+2与抛物线^=以2+45+”“<（））总有公共点，则力的取值范围是82

2.

故答案为:b》2.

【点评】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数

图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键.

三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每

题6分，第27-28题，每题7分）

17.（5分）计算：（兀_4）°+2cos300-Vl2+|1W3|-

【分析】利用零指数累，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质，二次根式的运算法则计算即可.

【解答】解：原式=1+2X近-2次+返-1

2

=1+V3-2V3+V3-1

=0.

【点评】本题考查实数的运算，零指数累，特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

r3（x-l）<2x+7

18.（5分）解不等式组

【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解即可.

第16页（共29页）

’3(x-l)<2x+7①

【解答】解「2乂〉3乂-6②，

解不等式①得，xv1()；

解不等式②得，x>-6,

所以不等式组的解集为：-6<xV10.

【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键.

19.(5分)已知法2+炉-3=0,求代数式(x+y)2+x(x-2y)的值.

【分析】先利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把2/+产=3代入化简后的式子

中进行计算，即可解答.

【解答】解:(x+y)2+x(x-2y)

=x2+2xy+y^+x2-2xy

=2X2+V2,

yijr+y2-3=0,

.\2x2+y2=3,

当2x2+y2=3时，原式=3.

【点评】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键.

20.(6分)如图，在四边形力8。。中，AB=2,AC=4,40=8,NB4C=NC4D.(!)求记：AABC^>

△4CO；

(2)若8c=3,求△4CO的周长.

【分析】(I)根据“两边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似”即可得证;

(2)根据“相似三角形的周长比等于相似比”求解即可.

【解答】(1)证明：・.18=2,力。=4,40=8,

.•幽=2=工，AC^-4-X,

**AC72-1AD8-F

・

AB=AC

•.而AD,

第17页(共29页)

又，：/BAC=/CAD,

.•.△力8cs△力co；

(2)解：*：AB=2,JC=4,BC=3,

：.2ABe的周长=2+4+3=9,

,:丛ABCsXACD,

•△一，的周长_研_1

“△ACD的周长ACF

・••△/CO的周长为18.

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.

21.(5分)已知二次函数y=ax2-2x+c(〃K0)的图象经过点力(0,3),B(2,3).

(1)求二次函数的表达式；

(2)直接写出-时，y的最大值.

【分析】(1)把点4%的坐标分别代入y=ad-2x+c得到关于。、c的方程组，然后解方程组即可：

(2)利用配方法得到歹=(x-1)2+2,则当x=l时，y有最小值2,再分别计算出x=-1和x=2时

的函数值，然后确定-1WXW2时，y的最大值.

【解答】解：⑴把力(0,3),B(2,3)分别代入尸加_2升。得卜=3,

(4a-4+c=3

解得卜=1,

lc=3

.•・抛物线解析式为y=--2x+3；

(2)•・?=1-2x+3=(x-1)2+2,

，当x=l时，)，有最小值2,

当》=-1时，y=x2-2x+3=1+2+3=6»

当x=2时，y=x2-2x+3=3,

•••-1WXW2时，y的范围为2《yW6,所以y的最大值为6.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据

题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.也考查了二次函数的性质.

22.(5分)数学课上，老师提出如下问题：

已知：如图，力8是。。的直径，射线力C交。0于点C.

求作：商的中点。.

小华的作法：

第18页(共29页)

①在射线力C上截取力£使,4£=48；

②连接4£,交。。于点Q.

所以点。就是所求作的点.

（I）按照小华的作法，补全图形；

（2）补全下面的证明.

证明：连接力。，

•・Z8是。。的直径，

AZADB=90°（直径所对的圆周角为直角）（填推理依据）.

*：AB=AE,

：.ZBAD=ZEAD.

.,*_BD=CD_.

【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；

（2）连接力。，根据圆周角定理的推论/4。8=90°,再根据等腰三角形的性质得到/比

所以而=&.

•・Z8是。。的直径，

・・・/4。8=90°（直径所对的圆周角为直角）,

第19页（共29页）

t：AB=AE,

；.NBAD=NEAD,

・・・丽=而，

工点。为防的中点.

故答案为：90。，直径所对的圆周角为直角，BD=CD«

【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考查了线段垂直平

分线的性质.也考查了圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理.

23,（5分）某校九年级数学兴趣小组开展测量“学校操场旗杆”的实践活动，其中一个设计方案如图所示,

旗杆垂直于水平地面，在地面上选取C,。两处（C,B,。在同一条直线上），测得地面上C,D

两点的距离为30〃?，分别在点C和点。处测得旗杆顶端的仰角为61°和42°.请根据他们的测量数据,

求旗杆的高大约是多少？（结果精确到1〃?）.

（参考数据:sin42°-0.67.cos42°-0.74,tan42°=0.90,sin61°-0.87,cos6I°^0.48,tan61°.

【分析】根据题意可得：AB1CD,从而根据垂直定义可得N/4C=N/14Q=90°,然后设8c=x/〃，

则（30-x）w,分别在和Rt△/也。中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而

列出关于x的方程，进行计算即可解答.

【解答】解：由题意得：AB1CD,

：,ZABC=ZABD=90°,

设BC=xm,

*：CD=30m,

：,BD=CD-BC=（30-x）〃:，

在RtZX/18。中，ZACB=6\0,

：.AB=BCnan6r（加,

在中，ZADB=42°,

第20页（共29页）

・"8=8O・tan420比0.9(30-x)m,

1.8.r=0.9(30-x),

解得：x=1（）,

，力月=1.8x=18(w),

，旗杆43的高大约是18zw.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，，隹确熟练地进行计算是解题的关键.

24.（6分）篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离5〃？的位置处，正对篮筐进行定点投篮练

习.篮筐距离地面的高度为3.05〃?.篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分.建立如

图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度y（单位：〃力与水平距离x（单位：〃力近似满足二次函数

（1）小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下:

水平距离x/m01234

竖直高度y/m1.83.053.84.053.8

①直接写出篮球的竖直高度的最大值;

②篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=a（x-h）?+k（aVO）,求〃的值;

③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由;

（2）小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系），=-OSH+bx+c,

篮球出手时竖直高度满足2WjW2.（）5,若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出人的取值范围.

【分析】（1）①由表中的数据得到抛物线的顶点坐标为（3,4.05）,即可得到答案；

②根据抛物线的顶点坐标为（3,4.05）,可设y与x满足的函数解析式为y=a（x-3）M.05,再把

（0,1.8）代入解析式即可求出。的值；

③根据②得出函数解析式，再把x=5代入求出y的值即可;

第21页（共29页）

(2)把(5,3.05)代入歹=-0.3F+bx+c得出t=l°・55-c,再根据。的取值范围得出6的取值范围.

5

【解答】解：(1)①由表格数据知，抛物线的对称轴为直线》=等=3,

工抛物线的顶点坐标为(3,4.05),

・•・篮球的竖直高度的最大值是4.05〃”

②设y与x满足的函数解析式为y=a(x-3)2+4.05,

把点(0,1.8)代入得：L8=a(0-3)2+4.05,

解得：a=-0.25；

③小华本次投篮能将篮球投进篮筐，理由：

由②知一与x满足的函数解析式为尸-0.25(x-3)2+4力5,

当x=5时，)，=・0.25X4+4.05=3.05,

・•・小华本次投篮能将篮球投进篮筐：

(2)把(5,3.05)代入y=-0.3/+6x+c得，-0.3X25+56+c=3.05,

解得人=10・55-c,

5

•・•篮球出手时竖直高度满足20W2.O5,

，2WcW2.()5,

当c=2时，力=1.71；当c=2O5时，b=1.7,

.・.6的取值范围为1.7&641.7L

【点评】本题考查二次函数的应用，关键是求出二次函数的解析式，利用函数的性质解答.

25.(6分)如图，点尸为。。外一点，过点尸作。。的切线P4和P8,切点分别是点4和点8,连接

AB,直线PO与。。交于点C和点E,交4B于点D,连接,4E,BE.

(1)求证：△力£8是等腰三角形：

(2)若tan/XEP=LBE=娓,求CO的长.

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【分析】（1）由切线的性质定理推出半径04J_4，OBtPB,由切线长定理得到=由角平分线

的性质定理的逆定理推出PO平分N4PB,由等腰三角形的性质推出PO垂直平分力从即可证明AE=

BE；

(2)由等腰三角形的性质得到N8£Q=N4£Q,AD=BD,因此tanN8£Q=幽=1,令BD=x,BD=

ED2

2x,由勾股定理得到『+(211)2=(爬)2,求出犬=1(舍去负值)，得到8。=1,由圆周角定理得到

4CAD=/BED,因此tan/C4O=tanNB£O=L,即可求出CO长.

2

【解答】(1)证明：•・•"、心分别切圆于4、B,

••・半径OB上PB,PA=PB,

•；O4=()B,

平分乙

•:PA=PB,

••・PO垂直平分力8,

:・AE=BE,

•••△力£8是等腰三角形：

(2)解:•:AE=BE,ED工AB,

:・/BED=NAED,AD=BD,

tanNBED=tan^,AEP=—,

2

.BD1

ED2

令BD=K,ED=2X,

\*BE2=BD2+DE2,

・•・/+⑵)2=(V5)2,

••・K=1(舍去负值)，

:・BD=1,

•:/CAD=/BED,

/.tanZCAD=tanZBED=!，

2

.CDX

**AD=T

AC/)=X

2

第23页（共29页）

【点评】本题考查切线的性质.圆周角定理，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，

勾股定理，等腰三角形的判定和性质，关犍是由等腰三角形的性质推出PO垂直平分力从由锐角的正

切定义求出的长.

26.(6分)已知抛物线y=、2・2bx,若点4(-1,y\),B(〃八及)在抛物线上.

(1)求抛物线的对称轴(用含b的字母表示)；

(2)若对于机21时，都有力>为，求力的取值范围.

【分析】(1)根据抛物线的解析式，得到对称轴为x=Z>：

(2)根据题意，得到m2-2据>2>1,变形为“-1-26A0,结合〃?的范围，得到6V0.

【解答】解：(1),・,抛物线尸解・2加,

，对称轴为x=-

2

即x=b；

(2)'：A(-1,yi),B(小，歹2)，

一・j'l=1+2b,y2=nJ2-2bni,

•・•力>、2,

nr-2hm>2b+\,

/.nr-2bm-2b-l>0,

/.(w2-1)-(2bm+2b)>0>

:.(w+1)(,m-1)-2h(m+1)>0,

/.(w+1)(w-1-2b)>0»

*/21,

m+1>0»

Aw-1-2b>3

J.2b<ni-1,

*/〃?21,

Aw-120,

・・・2〃<0,

：.b<Q.

【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

27.(7分)如图，在△力8c中，点。在力。边上，作点。关于48的对称点。，连接。。交力8于点E,

第24页(共29页)

连接8。，BFVBD（点/在8。右侧），且BF=BD,连接80,DF,DF,D'厂交48于点G.

（1）①依题意补全图形；

②若N4BD=a,用含有a的式子表示N8广。'的度数；

并证明.

【分析】（1）①正确画图即可：

②根据轴对■称的性质和等腰三角形的性质即可解答；

（2）如图2,过点尸作尸HL4B于H,证明△QE凡4DEG,ZXG，尸是等腰直角三角形，证明

W丛FBH（AAS）,根据全等三角形的性质和等腰直角三角形中斜边是直角边的近倍即可解答.

【解答】解：（1）①如图1所示，

：.BD=BD',NABD=ND'BE=a,

•:BFIBD,

・・・/。8尸=90°,

；・NDBF=900+2a,

，：BD=BF,

:.BD，=BF,

：./BFD'=尸二］80。—（90。+2CI）=45。_a.

2

（2）GF=42BE,证明如下：

如图2,过点尸作"/_1_力台于〃，

第25页（共29页）

H

*：BD=BF,NQ8尸=90°,

・•・△OB/是等腰直角三角形，

/.ZBFD=ZBDF=45°,

由②知：ZBED)=45°-a,

：.ZDFD,=a=ZABD,

'：4B0G=4D0F,

:,NBGO=NBDF=45°=4EGD,

•・•点。关于48的对称点。，

:・DE=DE,ABIDD,

:・/DEB=/BHF=90°,

AZEDB+ZDBE=90a,

•:NDBF=900,

:・/DBE+NHBF=9G,

工/EDB=NHBF,

，：BD=BF,

:.4BDEmXFBH(AAS),

:・BH=DE=D'E,BE=FH,

*：NDEG=90",NEGO'=45°,

•••△Q£G是等腰直角三角形，

:・EG=D'E=ED=BH,

:・EG+BG=BH+BG,

第26页（共29页）

即BE=GH,

•:NBG”=45°,N〃=90°,

•••4GHF是等腰直角三角形，

:・GF=®GU,

：,GF=yl2BE.

【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的

性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质，正确作辅助线解决问题是

解题的关键.

28.（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点田和点M（加，〃）给出如下定义：将点力先关于直线x=

加翻折，再向上（〃20时）或向下（〃V（）时）平移川个单位，得到的点叫