2024-2025学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷（含参考答案）

2024・2025学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1.（2分）故宫博物院北院区在建设时使用了混凝土仿生自修复技术，模仿生物组织损伤愈合的机能来提

高建筑寿命，当出现不足（）.00。6米的裂缝时，这种混凝土可以“自愈”，将0.0006用科学记数法表示应

为（）

A.0.6X10-3B.6X10*3C.6X10D.60XIO-

2.（2分）下列图案中,不能看成是轴对称图形的是（）

A.♦借B.Cc.而D.亮

3.（2分）下列运算中,结果正确的是（)

A.a2*a3=a789B.(<#)2=^5C.a3~ra2=\D.(2。)3=8/

4.（2分）若一个三角形的两边长分别是6cm，则它的第三边长不可能是（)

A.5cmB.6cmC.10cmD.12cm

5.（2分）下列各式从左到右变形一定正确的是（)

ai_a

A.生旦=一1B.

a+b卜b2b

D.a-b1

a2-bi2a"+b0

6.（2分）在平面直角坐标系X。中，点尸（-2,3）关于x轴的对称点的坐标为（)

A.(-2,3)B.(-,-3)C.(-2,-3)D.(2,3)

7.(2分)如图，ZAOC=ZBOC=\5°,于点。，CE〃OA交OB于点E,延长OC交08于点

F.有以下结论：®OE=CEx@OE=EFx③CE=2CD；④CE=DF.其中所有正确结论是（）

A.①②B.①③C.②③D.①④

8.（2分）在正方形48CZ）中，点P在边8C上运动，连接4P,过点尸作PQ=AP,连接力。,

CQ.以下结论正确的是（）

第1页（共27页）

B.点尸与边4C的中点重合时，线段。。的长取得最大值

c.点尸与点。重合时，线段c。的K取得最大值

D.点尸运动的过程中，线段C0的长不发生变化

二、填空题（共16分，每题2分）

9.（2分）计算：（1）3-2=；（2）（73-1）°=.

10.（2分）一个多边形的内角和是720°,那么这个多边形是边形.

11.（2分）若分式有意义，则x的取值范围是.

x-1

12.（2分）如图，在△/1CQ和△8CE中，AC=BC,ZACD=ZBCE.只需添加一个条件即可证明△4CO

0△8CE,这个条件可以是.（写出一个即可）

13.（2分）己知等式：x（y-1）+（）=（厂l）（x+3）,若括号内所填的式子记为4则/=.

14.（2分）一辆汽车从4地途经8地开往C地，它在这两个路段的行驶情况如下表所示，匚知这辆汽车

从A地到B地行驶的时间比从B地到。地行驶的时间多0.2/7,那么可列出关于v的方程

为.

路段路程（km）平均速度（km/h）

A地一B地401.25v

8地一。地16V

15.（2分）如图所示的“画图仪”由两根有软道槽的木条。尸，0R组成，两根木条在点。处相连并可绕

点0转动，另有长度与QS相等的两根木条MS、A/八其中木条MS的一端S固定在木条2P上的相应

位置，木条MS可绕点S转动、分别调整点M和点7在相应轨道槽中的位置可改变/尸。火的大小.若

小华同学在某次借助“画图仪”画图时，摆出的位置恰好滴足ST=SM,则此时NTLMH

_O

第2页（共27页）

P

T

Q»R

16.（2分）如图，在中，ZC=90°,ZB=30°.D为边BC上一动点、,连接/Q.当AD」BD

2

取最小值时，毁的值为

三、解答题（共68分。第17题8分，第18题11分，第19题7分，第20题8分，第21题9分。第22

题8分。第23题9分,第24题8分）

17.（8分）分解因式:

（1）3X2+6X+3；

（2）m2（〃-2）+25（2-w）.

18.（11分）⑴计算：（2a・3b）（a+2b）；

22

（2）先化简，再求值；（x-X,x+l）+4—，其中"=3.

x2-l"1

19.（7分）解方程：4।2x

x-22-x

20.（8分）如图，点£尸分别在四边形力8。。的边＜8,C。的延长线上，连接£凡分别交40,BC于

点G,〃，AB//CD,AE=CF.E1/=FG.

(1)求证：2AEG@ACFk

（2）判断线段与Z7C的位置关系，并证明.

21.（9分）已知:如图1,角a和线段相,

（1）求作：等腰三角形力8C,使得它的底角为a,底边BC=〃，.

第3页（共27页）

作法：①作NM8N・a；

②在4N上取点C,使4C=/〃：

③作线段的垂直平分线，交射线8”「点小

④连接AC.

则△NBC为所求作的等腰三角形.

用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）：其中4C=.48的依据

是;

（2）求作：等腰三角形KP0,使得它的顶角NPR0=a,底边00上的高为正

作法：①作NSHr=a：

②作NSHT的角平分线RG；

③在RG上取点H,使/?”=〃［；

④过点〃作RG的垂线，分别交RS,RT于点、P,点。;

则△&P0为所求作的等腰三隹形.

用直尺和圆规在图3中补全图形（要求：保留作图痕迹），并完成以下证明.

证明：•:RG平分/SRT,

・•・/=Z.

,:PQ1.RG,

：.NSRG+NRPH=90°,NTRG+NRQH=90°,

工/RPH=ZRQH.

：,RP=RQ.（）（填推理的依据）

•••△〃尸。为等腰三角形.

图1图2图3

22.(8分)对于多项式F=X2+X,当x=a时，此多项式的值记为尸（。），即/（a）=a2+a,例如尸（・

3)=(-3)2+(-2卜）=6,F（0）=02+0=0.

（1）求尸（2）的值:

第4页（共27页）

（2）有以下两个结论：①对于任意实数a,都有/（-a）=-F（f/）；②对于任意两个实数a、b（同

=向且bWO）,都有（〃-/））・2（〃+6）-（〃+〃）・/（〃-/>）声0.判断这两个结论是否正确，并说明理

由.

23.（9分）在RtZUBC中.N4BC=90°，点。在边AC上，。。=力反点E在△43C的边上或内部，连

接CE、DE,ZECD=ZCAB.ZEDC=^-ZACB.

2

（1）如图1,当点E在边6C上时，连接6力.

①乙4C8=°;

②求证：DE=BD；

（2）如图2,当点E在△.48。的内部时，用等式表示线段CE,BC,AC的数量关系，并证

24.（8分）在平面直角坐标系xQy中，将过点（0,〃）且与y轴垂直的直线记为直线y=〃.对于图形P,

给出如下定义：将图形尸关于直线j，=〃（〃>0）对称后，再向右平移〃个单位长度，得到的图形记为

P',称图形P'为图形尸的“〃型对照变换图形”.

（1）点4（2,1）的“3型对照变换图形"H的坐标为；

（2）己知点B（1,b）的“〃型对照变换图形”为点夕

①点）的坐标为（用含从〃的式子表示）；

②当点夕与点4关于第一、三象限的角平分线对称时，b=,〃=；

<3）己知C（c,c）,作△C0K,其中NCZ）E=90°,CD=DE=2,CE=2&，。，D,E三点顺时针

排列，并且。，石两点的横坐标均不超过c,ACQE的“〃型对照变换图形”为△CQ方，当线段

E'与第一、三象限的角平分线存在交点时，直接写出。的取值范围（用含〃的式子表示）.

四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分）

25.（4分）如图所示的10X10网格是正方形网格，正方形的顶点称为格点，顶点都在格点.上的三角形称

为格点三角形.将与△48C全等，并与△力4。有且只有一条边重合的格点三角形称为△力8。的“友好

格点三角形”.

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（1）画出以44为公共边的△48。的所有“友好格点三角形”:

（2）△4BC共有个“友好格点三角形”.

26.（6分）对于点P,直线/和图形M给出如下定义：若点尸关于直线/的对称点P在图形N的内部

或边上，则称点P为图形N关于直线/的“镜像点”.

在平面直角坐标系xOy中，已知△48C的三个顶点的坐标分别为4（2,1）,B（-1,1）,C（-1,-

2）,设点7（0,Q,直线人为过点7（0,/）且与y轴垂直的直线.

（1）若―-2,在点P]（0,-4）,P2（2,-5.5）,%（7，-2.2）中，点是△48c

关于直线人的''镜像点”；

（2）当ZW0时，若工轴上存在△力8c关于直线人的“镜像点”，则/的最小值为：

（3）已知直线打过点7（0,，）且与第一、三象限的角平分线平行.

①若直线，2上存在△/=（?关于直线人的“镜像点”，直接写出/的取值范围；

②已知边长为1的正方形。的对角线的交点为。（Z,0）,且正方形。£”的边与坐标轴平行.若

正方形。以H边上的所有点都是△力8C关于直线4的“镜像点”，直接写出/的取值范围.

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2024・2025学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

一、选择题（共16分，每题2分）第1・8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1.（2分）故宫博物院北院区在建设时使用了混凝土仿生自修复技术，模仿生物组织损伤愈合的机能来提

高建筑寿命，当出现不足（）.（）0。6米的裂缝时，这种混凝土可以“自愈”，将（）.0006用科学记数法表示应

为（）

A.0.6X10-3B.6X103C.6X10-4D.60X103

【分析】科学记数法的表示形式为4X10〃的形式，其中〃为整数.确定〃的值时，要看把

原数变成4时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，〃

是正数；当原数的绝对值VI时，〃是负数.

【解答】解:0.0006=6X104.

故选：C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aXl"的形式，其中1WIMV10,

〃为整数，表示时关键要正确确定”的值以及〃的值.

2.（2分）下列图案中，不能看成是轴对称图形的是（）

A帚B除C熊D亮

【分析】根据轴对称图形的概念对各个图形分析判断即可得辞.

【解答】解：A,C,。选项中的图案都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的

部分能够互相重合，所以是轴对称图形；

4选项中的图案不能找到这样的两条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所

以不是轴对称图形：

故选：B.

【点评】本题考杳轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关健.

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3.（2分）下列运算中，结果正确的是（)

i3i)25。入

A.a*a=aB.(京)=aC.32=]D.(2a>3=8。3

【分析】根据同底数基相乘，底数不变，指数相加；哥的乘方，底数不变，指数相乘；同底数基相除,

底数不变，指数相减；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的事相乘；对各选项分

析判断后利用排除法求解.

【解答】解：/、。3・43=。6,故此选项不符合题意;

8、（〃）2=应故此选项不符合题意;

C、a，3・〃2=小故此选项不符合题意;

D、（2a）3=8京，故此选项符合题意;

故选：D.

【点评】本题考查了同底数制的乘法，同底数事的除法，幕的乘方与积的乘方.,熟练掌握运算法则是解

题的关键.

4.（2分）若一个三角形的两边长分别是6c〃?，6cm,则它的第三边长不可能是（）

A.5cmB.6cmC.10cmD.12cm

【分析】设三角形的第三边长为xcm,再由三角形的三边关系即可得出结论.

【解答】解：设三角形的第三边长为xcm,

一个三角形的两边长分别是6cm»6cm,

：.6-6<x<6+6,即0UrV12,

••・它的第三边长不可能是12cM.

故选：D.

【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三

边是解题的关键.

5.（2分）下列各式从左到右变形一定正确的是（)

A.^k=-lB.

a+bb2b

Ca+c=aD.a-b1

2,2a+b

b+cba-bd0

【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可.

【解答】解：且也无法约分，则力不符合题意;

a+b

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2

釜无法约分，则“不符合题意;

山无法约分，则。不符合题意:

b+c

a-b二a-b二1则。符合题意;

22

a_1>(a+b)(a-b)a+b

故选：D.

【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键.

6.（2分）在平面直角坐标系xQy中，点P（-2,3）关于x轴的对称点的坐标为（）

A.（-2,3）B.（-,-3）C.（-2,-3）D.（2,3）

【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案.

【解答】解：点P（・2,3）关于x轴的对称点坐标是（・2,-3）,

故选：C.

【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律.

7.（2分）如图，ZAOC=ZBOC=\5<>,CO_LO4于点。，CE〃0A交0B于点E,延长。C交04于点

F.有以下结论：①0E=CE；（2）OE=EF；③CE=2CD；④CE=QF.其中所有正确结论是（）

A.①②B.①③C.②③D.①④

【分析】由平行线性质和直角三角形的性质可得NCEb=N4O4=30°,OF=2DF,即可求解.

【解答】解：・・・NN0C=NB0C=15°,

AZAOB=30°,

•：CDVOA,CE//OA,

:・/CEF=NAOB=30°,OF=2DF,

:./CFE=/B0C+/ECO,EF=2CF,

：・NEC0=NB0C=l5°,OF-EF=2DF-2CF,

：・OE=CE,OE=2CD,

故选：B.

【点评】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质

是解题的关键.

第9页（共27页）

8.（2分）在正方形。中，点夕在边6。上运动，连接力P,过点。作PQ=AP,连接力。,

CQ.以下结论正确的是（）

A.点尸与点6重合时，线段CQ的K取得最大值

B.点尸与边8C的中点重合时，线段。。的长取得最大值

C.点P与点C重合时，线段。。的长取得最大值

D.点P运动的过程中，线段。。的长不发生变化

【分析】如图，在84上截取线段87,使得4r=4P,连接PT.证明（S4S）,推出C。

=PT,NATP=NPCQ,再证明N3C2=NPC°-N4CQ=45°,推出点°在射线。。上运动（NQCQ

=45°）可得结论.

【解答】解：如图，在A4上截取线段8兀使得87=8P,连接尸「

•・•四边形力8c。是正方形，

:,AB=BC,ZB=ZBCD=9(J°,

・：PQ1PA,

・・・/力。。=90°,

AZAPB+ZCPQ=9()°,NAPB+NPAT=90°,

:,NPAT=NCPQ,

•:AB=BC,BT=BP,

:・AT=PC,

•：PA=PQ,

:.XPAT出XQPC(SAS),

:.CQ=PT,NATP=/PCQ,

*：NBTP=NBPT=A5°,

：・N4TP=NPCQ=135°,

第10页（共27页）

/.ZDCQ=ZPCQ-ZBCD=45<>,

:.点。在射线C。上运动（NQC0=45°）,

工当点?与点C重合时，CQ的值最大.

故选：C.

【点评】本题考行正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形等知识，解题的关键是学

会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

二、填空题（共16分，每题2分）

9.（2分）计算：（I）3-2=_1_；（2）（V3-l）0=—1—.

9

【分析】（1）根据负整数指数察的运算法则计算即可：

（2）根据零指数基的运算法则计算即可.

【解答】解：（1）3-2=A-=--

329

故答案为：1；

9

（2）（V3-D°=r

故答案为：i.

【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键.

10.（2分）一个多边形的内角和是720°,那么这个多边形是—工边形.

【分析】〃边形的内角和可以表示成（〃-2）・18（）°,设这个正多边形的边数是〃，就得到方程，从而求

出边数.

【解答】解：这个正多边形的边数是〃，则

（/?-2）*180°=720°,

解得：〃=6.

则这个正多边形的边数是六，

故答案为：六.

【点评】考查了多边形内角和定理，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构

建方程求解.

11.（2分）若分式或2有意义，则x的取值范围是e.

X-1

【分析】分式立2有意义的条件为1W0,即可求得X的范围.

X-1

【解答】解：根据题意得：X-1^0,解得：

第11页（共27页）

故答案为：xWl.

【点评】此题主要考查了分式的意义，要求掌握.意义：对于任意一个分式，分母都不能为0,否则分

式无意义.

解此类问题，只要令分式中分母不等于0,求得x的取值范围即可.

12.(2分)如图，在△4CO和4BC石中，AC=BC,NACD=NBCE.只需添加一个条件即可证明△力CO

分BCE,这个条件可以是CD=CE(答案不唯一).:写出一个即可)

【分析】根据S4S1证明△力CQg/XBCE,即可得出结论.

【解答】解：这个条件可以是CO=C£,理由如卜.：

在△月和△4C七中，

AC=BC

­ZACD=ZBCE»

CD=CE

14ACDmABCE(SAS),

故答案为：CD=CE(答案不唯一).

【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

13.(2分)己知等式：x(y-1)+()=(厂1)(x+3),若括号内所填的式子记为4则力=3广

3.

【分析】把y-1看作整体，利用乘法分配律计算，即可求出力表示的代数式.

【解答】解：(y-1)(x+3)—x(j-1)+3(.y-1)—x(j-1)+(3y-3),

所以4=3y-3,

故答案为：3y・3.

【点评】本题考查了因式分解-提公因式法，正确计算是解题的关键.

14.(2分)一辆汽车从力地途经3地开往。地，它在这两个路段的行驶情况如下表所示，已知这辆汽车

从A地至IJB地行驶的时间比从B地至IJ。地行驶的时间多0.2力，那么可列出关于v的方程为40-

-1.25V—

运=0.2.

v

路段路程(km)平均速度(k而h)

第12页(共27页)

A地一B地401.25v

8地一Ct也16V

【分析】根据汽车从彳地到8地行驶的时间比从B地到C地行驶的时间多0.2〃，列方程即可.

【解答】解：根据题意得：11=0.2.

1.25gv

故答案为：40-11=0.2.

1.25vv

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确理解邈意是关键.

15.（2分）如图所示的“画图仪”由两根有轨道槽的木条OP,0R组成，两根木条在点。处相连并可绕

点。转动，另有长度与。S相等的两根木条MS、MT、其中木条MS的一端S固定在木条。P上的相应

位置，木条MS可绕点S转动、分别调整点M和点「在相应轨道槽中的位置可改变/尸。火的大小.若

小华同学在某次借助“画图仪”画图时，摆出的位置恰好滴足ST=SM,则此时90°.

【分析】根据等腰三角形的性质和外角定理求解.

【解答】解：由题意得：QS=SM=A/r,

：.4Q=4SMQ,

，：ST=SM,

•：ST=SM=MT,

•••△1STM是等边三角形，

/.ZTSM=ASTM=ZTMS=W,

ZTSM=ZQ+ZSMQ=2ZQ=6^,

.,.NQ=3O0,

ZTMR=ZQ+ZQTM=9（）°,

故答案为：90.

【点评】本题考查了作图的应用与设计，掌握等腰三角形的性质和外角定理是解题的关键.

16.（2分）如图，在RtZUBC中，ZC=90°,NB=30".。为边4c上一动点，连接/10.当AD」BD

2

取最小值时，毁的值为2.

BC~3~

第13页（共27页）

B

D

AC

【分析】如图，延长/C到点K,使得CK=/IC,£连接OK,过点、D作DJ4B于点、J,过点K作K〃J_

于点、H,交4C于点。'，连接力O'.证明/1Q+&Q=Z）K+D/2K〃，判断出当点。与力重合时,

2

力。+18。的值最小，由此可得结论.

2

【解答】解：如图，延长力。到点K,使得CK=4C,£连接。K,过点。作DZ48于点/过点K作

KH1AB于点H,交8c于点D',连接力».

•:NDJB=90",NB=30",

:・DJ=%D,

2

'：BCA-AKAC=CK,

：.AD=DK,

:.AD+LBD=DK+DJ，KH,

2

，当点。与。'重合时，/1。+耳。的值最小，设此时CO'=x.

2

•:ZD，CK=/D'HB=90°,NHD'B=NCD'K,

:・/CKD'=N8=30°,

•:D'A=D'K,

・・・N。'AC=30°,

VZACB=90a,

：.ZBAC=W-30°=60°,

：.Z.BAD'=30°,

:・NBAD'=N8=3()°,

BD'=AD'=2CD'=2x,

第14页（共27页）

，8C=3x,

.BDZ_2x_2

••BC3x3,

故答案为：2.

3

【点评】本题考查胡不归问题，解直用三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题.

三、解答题(共68分。第17题8分，第18题11分，第19题7分，第20题8分，第21题9分。第22

题8分。第23题9分，第24题8分)

17.(8分)分解因式：

(1)3/+6x+3；

(2)nr(w-2)+25(2-w).

【分析】(1)先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可;

(2)先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

【解答】解：(1)3X2+6X+3

=3(x2+Zv+l)

=3(x+1)2；

(2)m2(〃-2)+25(2・〃)

=m2(w-2)-25(M-2)

=(H-2)(nr-25)

=(/?-2)(ni+5)(・5).

【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键.

18.(11分)(1)计算：(2a-3b)(。+2力)；

20T2

(2)先化简，再求值：(x-三空,其中x=3.

x2-lx+1

【分析】(1)根据多项式乘多项式的法则计算即可；

(2)先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=3代入进行计算即可.

【解答】解：(1)J^,^=2a2+4ad-3ab-6b2=2a2+ab-6b2；

(2)原式,•竺,(xj)2母

22

x(x+1)(x-l)x

-X・x+1-x-l.x+1

x2x+1x2

第15页(共27页)

2

X

X24-1

当x=3时，原式=1+1=或.

99

【点评】本题考查的是分式的化简求值，多项式乘多项式，熟知以上知识是解题的关键.

19.（7分）解方程：4।2x

x-22-x

【分析】先去分母把分式方程化为整式方程，然后再解答，最后进行检验即可.

【解答】解：原方程去分母得：4-2x=-x+2,

解得：x=2,

检验：当x=2时，x-2=0,

・・・x=2是原方程增根，原方程无解.

【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键.

20.（8分）如图，点E,b分别在四边形力4c。的边川心CO的延长线上，连接ER分别交力。，BC于

点G,H,AB//CD,AE=CF.EH=FG.

（I）求证：4AEGm△CFH；

（2）判断线段力力与〃。的位置关系，并证明.

【分析】（1）由平行线的性质得NE=NR再证明EG=W,然后由S4s1证明△4EG丝即可;

（2）由全等三角形的性质得再由平行线的判定即可得出结论.

【解答】（1）证明：・・"8〃。，

:.NE=NF,

•:EH=FG,

:,EH+GH=FG+GH,

第16页（共27页）

即EG=FH,

在△/£G和△C77/中，

'AE=CF

<NE=NF，

,EG=FH

:.XAEG义XCFH（SAS）；

（2）解：AD//BC,证明如下：

由（1）可知，/\AEG^ACFH,

ZAGE=/CHF,

J.AD//BC,

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的

判定与性质是解题的关键.

21.（9分）已知：如图1,角a和线段型,

（1）求作：等腰三角形力8C,使得它的底角为a,底边BC=M.

作法：①作NA/8N-a；

②在8V上取点C,使

③作线段8c的垂直平分线，交射线AM于点4

④连接4C

则为所求作的等腰三角形.

用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）：其中的依据是线段垂直平分线上

的点到线段两端距离相等.；

（2）求作：等腰三角形AP0,使得它的顶角/PRQ=a,底边P0上的高为江

作法：①作NSRT=Q：

②作NSRT的角平分线RG；

③在R7上取点〃，使A〃=,，J；

④过点〃作RG的垂线，分别交RS,R7于点P,点。；

则△RP。为所求作的等腰三隹形.

用直尺和圆规在图3中补全图形（要求：保留作图痕迹），并完成以下证明.

证明：•:RG平分/SRT,

・•.ZPRH=ZORH.

VPQA.RG,

第17页（共27页）

AZSRG+ZRPH=90°,ZTRG+ZRQH=90a,

・•・ZRPH=ZRQH.

：.RP=RQ.（等角对等边）（填推理的依据）

为等腰三角形.

【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质判断即可：

（2）根据等角对等边判断即可.

【解答】解：（1）作图依据是：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等.

故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等.

（2）图形如图所示：

理由：：，：RG平分4SRT,

J/PRH=ZQRH.

•:PQLRG,

:./SRGURPU=90",NTRG+/RQII=90”,

：.ZRP/I=ZRQ/I,

:・RP=RQ（等角对等边），

为等腰三角形.

故答案为：PRH,QRH,等角对等边.

【点评】本题考查作图-基本作图，应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决

第18页（共27页）

问题.

2

22.(8分)对于多项式尸=3+x：当X=Q时，此多项式的值记为尸(a),即/(q)=a+a,例如产(-

3)=(-3)2+(-3)=6,F(0)=o2+o=o.

(1)求/(2)的值；

(2)有以下两个结论：①对于任意实数a,都有尸(-Q)=-尸(〃)；②对于任意两个实数。、b(同

=|臼且bWO),都有b)・F(a+b)-(a+b)・F(a-b)WO.判断这两个结论是否正确，并说明理

由.

【分析】(1)根据题意直接代入即可；

(2)根据定义逐一判断即可.

【解答】解:(1)F(2)=22+2=4+2=6.

(2)①错误，理由如下：

*/F(a)=a2+a,F(-a)=(-a)2-a=a2-a,

/.-F(a)=-a2--a>

・"(・a)W・F(a),故①错误；

②错误，理由如下：

当a=b时，

(a-b)*F(a+b)-(a+b)*FCa-b)

=0-2a•户(0)

=0-0

=0：

当4=・/)时，

(a-b)・F(a+b)-(a+6)•尸(a-b)

=2a*F(0)-OX产(2a)

=0,

故②错误.

【点评】本题主要考查多项式及绝对值，理解题意是解题的关键.

23.(9分)在RtZ\/8C中.ZABC=90°，点。在边4C上，.点E在△48。的边上或内部，连

接CE、DE,/ECD=/CAB,ZEDC=^-ZACB.

2

(1)如图1,当点£在边8c上时，连接班).

第19页(共27页)

@ZACB=45°；

②求证：DE=BD；

(2)如图2,当点七在△.48C的内部时，用等式表示线段CE,BC,力C的数量关系，并证

明.图1图2

【分析】(1)①根据直角三角形的性质即可解答：

②根据题意求出NC8。，NBED,证得/BED=NCBD,即可得证.

(2)在边4C上截取力/=8，连接4兄证明△CQ£/Z\48”(S4S),设NEDC=a,则NM4=a,

证得NCBF=NCFB,得至ljCr=4C,即可解答.

【解答】(I)①解：•・•在Rt△力8c中.ZJJ?C=90°,NECD=NCAB,

AZACB=45°,

故答案为：45；

②证明：•・•点E在边8C上，/ECD=/CAB,N/8C=90',

：,ZECD=ZCAB=45°,

：,BC=AB.

♦：CD=AB,

：.CD=BC,

・・."D二吟"18,45。忖5。,

乙乙

VZEDC=~ZACB»

乙

・・・NEQC=22.5°,

，NBED=NC+NEDC=675°,

：・ZBED=NCBD,

：,DE=BD.

(2)解：CE=AC-BC,证明如下：

第20页(共27页)

如图，在边力。上截取的=。邑连接

在ACQE和△48”中，

"CE=AF,

<ZECD=ZFAB,

CD二AB,

:.△CDEQ4ABF（SAS）,

：./EDC=NFBA,

设NEOC=a,则N尸比l=a,

NEDCINACB，

乙

AZACB=2ZEDC=2a,乙仍C=90°,

AZA=900-ZACB=W-2a,NCBF=9（）°-ZFBA=90°-a,

：.ZCFB=ZA+ZFBA=（90°-2a）+a=90°-a,

：・/CBF=/CFB,

:.CF=BC,

*：AF=AC-CF,

：,CE=AC-BC.

【点评】本题考查三角形的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌

握全等二角形的判定与性质是解题的关键.

24.（8分）在平面直角坐标系工3,中，将过点（0,〃）且与y轴垂直的直线记为直线y=〃.对于图形尸,

给出如下定义：将图形尸关于直线y=〃（〃>0）对称后，再向右平移〃个单位长度，得到的图形记为

P',称图形P'为图形尸的“〃型对照变换图形”.

（1）点X（2,1）的“3型对照变换图形"H的坐标为/（5,5）；

（2）已知点4（1,h）的“〃型对照变换图形”为点夕

①点4'的坐标为（1十〃，2〃-/））（用含Zb〃的式子表示）；

第21页（共27页）

②当点8'与点8关于第一、三象限的角平分线对称时，b=3,〃=2；

（3）已知C（c,c）,作△CDE,其中NCOE=90°,CD=DE=2,CE=26，C，D,E三点顺时针

排列，并且。，E两点的横坐标均不超过c,△CQE的“〃型对照变换图形”为△。力E,当线段。'

E'与第一、三象限的角平分线存在交点时，直接写出c的取值范围（用含〃的式子表示）.

【分析】（1）根据新定义“〃型对照变换图形”即可求得答案；

（2）①根据新定义“〃型对照变换图形”即可求得答案；

②关于第一、三象限的角平分线对称的两个点的坐标，它们的横、纵坐标互相交换，再结合新定义“〃

型对照变换图形”即可求得答案：

（3）由。（c,c）,利用新定义可得点C'（c+n,2n-c）,可分两种情况:①如果点C'（c+〃，In-

c）在第一、三象限的角平分线的下方，②如果点U（c+〃，2〃-c）在第一、三象限的角平分线的上

方.，分别列出不等式求解即可.

【解答】解：（1）根据题意，点彳（2,1）关于直线y=3对称后，再向右平移3个单位长度，得到H

（5,5）,

故答案为：A'（5,5）；

（2）①点4（1,b）关于直线、=〃对称后，再向右平移〃个单位长度，得到）（1+〃，2n-b）,

故答案为：（1+〃，2n-Z＞）；

②•・•关于第一、三象限的角平分线对称的两个点的坐标，它们的横、纵坐标互相交换，

/.1=2）1-b,b=

，b=3,〃=2,

故答案为：3,2；

（3）已知。（c,。），则点C关于直线卜=〃的对称点坐标为C”（c,2〃・c）,点（a2〃・c）向

右平移〃个单位长度得到点C'（c+〃，2…）,

①如果点C'（c+n,2〃-c）在第一、三象限的角平分线的下方，如图1,

第22页（共27页）

则“N=(c+〃)-(2/?-c)=2c-〃，CF=^-MN,

2

如果线段。'Er与第一、三象限的角平分线存在交点，则OWC产W2五,

即0〈亚(2c-«)«2的，

2

解得：二＞+2；

22

2

VC,D,E三点顺时针排列，旦。，E两点的横坐标均不超过c,则如果线段O'E'与第一、三象限

的角平分线存在交点，

LOWCFW2,BP(/7-2C)《2,

2

第23页(共27页)

解得：

22

综上所述，9-&WCWR-+2.

22

【点评】本题主要考查了坐标的对称、平移、新定义等内容，正确理解题意和熟练掌握相关知识是解题

的关键.

四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分）

25.（4分）如图所示的10X10网格是正方形网格，正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称

为格点三角形.将与△/18C全等，并与。有且只有一条边重合的格点三角形称为^力台。的