2022年全国新高考I卷数学试题（解析版）

绝密☆启用前试卷类型：A

2022年普通高等学校招生全国统一考试

数学

本试卷共4页，22小题，满分150分,考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场

号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位

置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的

答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答

在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答

案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合M={xl«v4},N={x|3xNl},则()

A.1x|0<x<2}B.<x-<x<2>C.1x|3<x<161D.

3

«x—<x<16>

3

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合M,N后可求McN.

详解】M={X|0<X<16),A^={XLV>-),故=<

故选：D

2.若i(l—z)=l,则z+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的除法可求z,从而可求z+5.

【详解】由题设有l-z=：=]=-i,故Z=l+i,故z+5=(l+i)+(l—i)=2,

故选：D

3.在△48C中，点。在边46上，BD=2DA.记。4=海。方=”，则痂=()

A.3/77—2/?B.—2加+3万C.3沅+2万D.

2m4-3/1

【答案】B

【解析】

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】因为点。在边AB上，BD=2DA，所以丽=2方X，即

W-CB=2(C4-CD),

所以丽=3CD-2CA=3/i-2/?i=—2沅+3力.

故选:B.

4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水

库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为IdO.OkmL水位为海拔157.5m时，相应水

面的面积为18O.Okm2,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从

海拔1485m上升到157.5m时，增加的水量约为(J722.65)()

A.1.0xl09m3B.].2xl09m3C.1.4xl09m3D.

1.6xl09m3

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出.

【详解】依题意可知棱台的高为例N=157.5—148.5=9(m),所以增加的水量即为棱台的

体积V.

棱台上底面积S=140.0km2=140xl06m2，下底面积S'=ISO.Okn?=180xl06m2，

/.V=i/?(S+S,+>/SS7)=ix9x^l40xl06+180xl06+V140xl80xl012j

=3x(320+60>/7)xl06«(96+18x2.65)xl07=1.437xl09«1.4xl09(m3).

H

G

AB

故选：C.

5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）

11八1

A.-B.—C.-D.

632

【答案】D

【解析】

【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.

【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=21种不同的取法,

若两数不互质,不同的取法有:（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6|,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7种，

21-7，

故所求概率P=----=-.

213

故选：D.

6.记函数/*）=sin（公x++伙。＞0）的最小正周期为了.若当＜丁＜不，口

），=/。）的图象关于点（音,2）中心对称，则/（1）二（）

35

A.1B.—C.-D.3

22

【答案】A

【解析】

【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解..

【详解】由函数的最小正周期T满足」＜丁＜〃，得上＜上＜〃，解得2VG＜3,

33co

（37r、37rTT

又因为函数图象关于点二「2对称，所以，口+一=攵耳丘Z,且/?=2,

7L）24

所以①=一，+2z,%wz,所以0=3,/（x）=sinf1x+^l+2,

632U4；

故选:A

7.设4=O.le°」,Z?=",c=-ln0.9,则(

)

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.

a<c<b

【答案】C

【解析】

【分析】构造函数/'")=ln(l+x)-x,导数判断其单调性，由此确定〃出,c大小.

【详解】iVW=ln(l+x)-x(x>-l),-1=--

当KE(-1,0)时，f\x)>0,当K€(0,+O0)时/"0)<0,

所以函数/(x)=ln(l+工)一x在(0.+00)单调递减,在(-1.0)上单调递增,

所以/(J)v/(0)=0,所以1。与一［<0,故g>ln?=—ln0.9,即方>c,

所以/(一一1)</(())=0.所以In9—十1—<。，故9二<。--|。，所1以-上1，

10101010109

故4<〃，

(x2-l)e'+l

设g*)=^e'+ln(l-jr)(0<x<1),则g'(x)=(x+l)e'+----

x-\

令〃(x)=e'(x2一1)+1,h\x)=ex(x2+2x-l),

当Ovxv应一［时，〃(幻,0,函数人(©=/。2一1)+1单调递减，

当0—时，hf(x)>0,函数〃(<)=/(/-1)+1单调递增，

又〃(0)=0,

所以当0cxe夜一1时，〃(工)<0，

所以当()<x<&7时，，(外>0,函数#")=xe"n(l—x)单调递增,

所以以0/)>g(0)=0,即0.1e°」>—ln0.9,所以

故选：C.

8.已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为364，且

3</<3>^,则该正四极锥体积的取值范围是()

27812764

B.C.D.

477

[18,27]

【答案】C

【解析】

【分析】设正四棱锥的高为力，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关

系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.

【详解】•・•球的体积为36〃，所以球的半径R=3,

设正四棱锥的底面边长为2〃,高为队

则『=2/+〃2,3?=2/+(3-6)2,

所以60=/，2a2=l2-h2

119[4]2i(代、

所以正四棱锥的体积厂一二,

3333669136J

所以TTfQw

966J

当3W/W26时，Vr>0,当26</工36时，V'<0,

「64

所以当/=2指时，正四凌锥的体积丫取最大值，最大道为可,

27X1

又,=3时，喉彳，时，V=7

27

所以正四棱锥的体积v的最小值为优

2764

所以该正四棱锥体积的取值范围是了三

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0

分.

9.已知正方体A8CQ—ABC4，贝U()

A.直线BG与04,所成佗角为90。B.直线BG与CR所成的角为90。

C.直线3G与平面88QN所成的角为45。D.直线6G与平面A5CO所成的角为

45°

【答案】ABD

【解析】

【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

【详解】如图，连接80、BC,,因为所以直线3G与8c所成的角即为直

线8G与所成的角，

因为四边形88CC为正方形，则&CJ.4G，故直线8G与D4］所成的角为90。，A正

确；

连接AC，因为44_L平面8与C。，30匚平面3区℃,则

因为qC_L6C1,AendC=61,所以“GJ•平面4MC,

又ACu平面Age,所以8G~LC4,故B正确；

连接4G，设AGngA=。，连接BO,

因为1.平面AUGA，。00：平面4片。|。1,则C0J■48,

因为C0_L用〃，BPiCB】B=Bi，所以C0_L平面BBQQ,

所以/。避。为直线8G与平面8B|Q］。所成的角，

设正方体棱长为1，则C0=Y2，BC、=亚,sin/C/O=gg=:，

28cl2

所以，直线BC与平面8片。。所成的角为30。故C错误；

因为CCJ•平面43c。，所以NC8C为直线BC与平面A8CO所成的角，易得

ZC.BC=455,故D正确.

故选：ABD

10.已知函数/。）=X3一1+1,则（）

A./（幻有两个极值点B./（幻有三个零点

C.点（0,1）是曲线），=/*）的对称中心D.直线y=2x是曲线），=/*）的切

线

【答案】AC

【解析】

【分析】利用极值点的定义可判断A,结合了CO的单调性、极值可判断B,利用平移可判

断C；利用导数的几何意义判断D.

【详解】由题，r(x)=3x2-l,令外(》>0得了邛或

令/'。)<0得-立(立，

33

所以/⑴在(-左,*)上单调递减，在(_00,一乎)，(等,+8)上单调递增，

所以x=±@是极值点，故A正确；

3

因〃-乎)=1+竽>0,/(9)=1-竽>0,/(-2)=-5<0,

所以，函数)(力在1-8、一日)上有一个零点，

当工之正时，/(x)>/4>0,即函数/(力在今+8上无零点，

\/\/

综上所述，函数/(X)有一个零点，故B错误；

令人(x)=V-x,该函数的定义域为R,/?(-x)=(-x)3-(-JC)=-X3+%=-/?(x),

则〃。)是奇函数,(0,0)是人。)的对称中心，

将〃(工)的图象向上移动一个单位得到/(A)的图象，

所以点(0,1)是曲线的对称中心，故C正确；

令/'(另=3/—1=2,可得％=±1,乂/⑴=/(—1)=1,

当切点为(1,1)时，切线方程为>=2X一1,当切点为(—1,1)时，切线方程为y=2x+3,

故D错误.

故选：AC

11.已知。为坐标原点，点41/)在抛物线。：/=2〃)，(〃>0)上，过点8(0,7)的直线

交C于P,Q两点，则()

人.。的准线为了=-1B.直线A3与C相切

C.\OP\-\OQ\>\O^D.\BP\-\BQ\y\BA\1

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出抛物线方程可判断A,联立48与抛物线的方程求交点可判断B,利用距离

公式及弦长公式可判断C、D.

【详解】将点A的代入抛物线方程得l=2p,所以抛物线方程为故准线方程为

y=--,A错误；

4

心B=?^=2,所以直线48的方程为)，=2X一1,

1—0

v=2x-l

联立，可得f一2尤+1=0,解得x=l，故B止确；

U=y

设过8的直线为/,若直线/与y轴重合，则直线/与抛物线。只有一个交点，

所以，直线/的斜率存在，设其方程为>="一1,。(%,%),。(%，为)，

联立，得/一日+1=0，

，=y

A=^2-4>0

2

所以<X)+x2=k,所以Z〉2或攵<一2,y\y2=(^x2)=1,

x}x2=1

又I。尸1=+=Jx+y；，IOQ|=7X2+>2=J%+货，

所以|。夕|・|。61=])，1%(1+)\)(1+)'2)=5近金仇=|攵|>2=|04|2,故c正确；

2

因为|3刊=Jl+rlx|，\BQ\=yJ\+k|x2|.

所以|占夕||〃。|=(1+二)|玉电1=1+公>5,而|04『=5,故D正确.

故选：BCD

(3)

12.己知函数/⑶及其导函数/'(幻的定义域均为R,记g(x)=7'(x),若f--2x,

127

g(2+x)均为偶函数，则()

A./(0)=0B.g[-1)=0C./(-I)=/(4)D.

以-l)=g(2)

【答案】BC

【解析】

【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性

质逐项判断即可得解.

<3)

【详解】因为/--2x,双2+为)均为偶函数，

I，/

(3}f3/3)

所以2Kf3+2x即/---Xg(2+x)=g(2-x),

12712

所以〃3-x)=/(x),g(4—x)=g(x),则/(-l)=/(4),故C正确;

3

函数/（x）,以X）的图象分别关于直线1二一/=2对称,

2

又g（x）=ra）,且函数〃劝可导,

所以g；=0，g（3-x）=-g（x）,

Iz，

所以g（4-x）=g0）=-g（3-x）,所以g（x+2）=-g0+l）=g（x）,

所以g一;）=g（3）=0'g（T）=g（1）=_g（2），故B正确，D错误；

若函数/（x）满足题设条件，则函数/（x）+C（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定

/（X）的函数值，故A错误.

故选：BC.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函

数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（1卜X+y）8的展开式中-y6的系数为（用数字作答）.

【答案】-28

【解析】

8

【分析】1-2(X+y)8可化为(X+_-(A-+y)结合二项式展开式的通项公式求

XX

解.

［详解］因为11-?卜/+），）'=（1+）户一7（1+

所以1一2&+），）”的展开式中含丁），6的项为C；x2），6-2c13y5=-28x2）,6,

kX）X

1--（x+y）"的展开式中Vy6的系数为-28

.1/

故答案为：-28

14.写出与圆f+y2=i和J—3产+（＞，-4）2=16都相切的一条直线的方程

35725

【答案】旷=__工+_或丁=一工一—或x=_l

442424

【解析】

【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.

【详解】圆V+)3=1的圆心为0(0,0),半径为1，圆。-3)2+(厂4)2=16的圆心。|

为(3,4),半径为4,

两圆圆心距为巧邛=5,等于两圆半径之和，故两圆外切，

如图，

433

当切线为,时，因为二Q，所以勺=一],设方程为丁二一1%+«/>0)

d——[=1535

。到/的距离f5，解得/二:，所以/的方程为y=一二x+—,

卜后444

当切线为机时，设直线方程为代+y+〃=o,其中〃>o,左<(),

当切线为〃时，易知切线方程为X=一1,

35725„

故答案为；y=—x+—^y=——x五或I1

4424

15.若曲线y=(x+a)e'有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围是

【答案】(f,-4)u(O,+巧

【解析】

【分析】设出切点横坐标与,利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到

关于小的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得。的取值范围.

【详解】丁y=(x+a)e',，)，'=(%+1+a)e',

设切点为伍,%)，则%=(%+0)*,切线斜率出=&+1+a)e",

切线方程为：y—(xo+a)e"=(xo+l+a)e"(x-xo),

;切线过原点，，一($+a)e与=($+l+a)eM(-%),

整理得：X()+O¥0-=0,

•・•切线有两条，，❷=/+4々＞0,解得av-4或。＞0,

・••〃的取值范围是(y,-4)u(O,+8),

故答案为：(TR—4)D(0,+8)

16.已知椭圆C：I+与=1(。＞〃＞0),C的上顶点为A,两个焦点为K，F,,离心率

crb-

为过”且垂直于的直线与。交于。，E两点，|。£|=6,则石的周长是

【答案】13

【解析】

22

【分析】利用离心率得到椭圆的方程为二十与=1,B|J3x*2+4y2-12c2=0,根据离

4c~3c~

心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线OE的斜率，写出直线DE

的方程：x=Gy-c,代入椭圆方程31+4丫2-12。2=0,整理化简得到：

13),2-66cy—9c2=0,利用弦长公式求得c=Q,得。=2。=1，根据对称性将

△ADE的周长转化为△鸟。£的周长，利用椭圆的定义得到周长为4。=13.

c1

【详解】•・•椭圆的离心率为《=-=一，・・・a=2c,・・・/=〃2一/=3/,・•・椭圆的方程

a2

为二十三二1,即3/+4），2一12。2=0,不妨设左焦点为6，右焦点为K,如图所

4c~3c~

7T

示，VAF2=a,OF2=C,a=2c,=5为正三角形，•・,过耳且

垂直于48的直线与C交于。，£两点，OE为线段A5的垂直平分线，.••直线OE的斜

率为立，斜率倒数为直线。七的方程：x=/y-c,代入椭圆方程

3

3/+4/一⑵2=0,整理化简得到:13y2—6百折9c2=0,

2

判别式♦=（6丘）+4X13X9C2=62X16XCS

=J+（3）~E_%|=2X书=2x6x4x（=6,

TOE为线段人用的垂直平分线，根据对称性，AD=DF2f4后=石巴，・,送4）石的周

长等于△鸟。£的周长，利用椭圆的定义得到△入。£周长为

DF

\DF2\+\EF2\+\DE\=|DF21+|EF21+|O用+||=|06H2H%|+|%|=2。+2=4。=13

故答案为：13.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

SI

17.记S”为数列｛4｝的前〃项和，已知4=1,（肃j是公差为§的等差数列.

（1）求｛q｝的通项公式;

111

（2）证明：一+—+…+—<o2.

可〃2an

【答案】（1）an=」——

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得j=1+4（〃-1）二二一，得到

a”JJ

S（〃+2）4，利用和与项的关系得到当〃n2时，

"3

4二1=（〃+2””_（〃+1”,1,进而得:2二”利用累乘法求得

〃”"T33%_】〃-]

《=〃（,）,检验对于〃=1也成立，得到｛《,｝的通项公式勺="（'；"）；

111（1A

（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到一+—+…+—=21--------,进而证得.

qa2a„<n+\）

【小问I详解】

S.।

\*4=1,/.S.=a,=1,/.—=1,

4

又・・・，&|是公差为!的等差数歹ij,

凡3

S".1/〃+2(n+2)a

二一二1+二(〃-1)=--,・•・S”=------n

433”3

•••当什2时，叫二誓也

5+2)图(整+1)%

%=5〃』

33

整理得：(“-I)%=(〃+l)q♦-1，

an+\

即口n二一7,

a

n-\〃T

a.a.ci,,an

an=qx—x^x...x———

a\a2an-2an-\

,34nw+l+

=IX—X—X...X----------X-----------=--------------

237?-2n-i2

显然对于〃=1也成立，

・•・｛《；｝的通项公式="（；+”；

【小问2详解】

_L-2.化，

an+\nn+\J

cosAsin28

18.记“13。的内角A,B,C的对边分别为mb,c,已知

1+sinA1+cos2B

（1）若。二---，求B；

3

212

（2）求二的最小值.

【答案】（1）

6

⑵4A/2-5.

【解析】

【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将c°s”=sm28化成

l+sin41+cos28

cos（A+8）=sinB,再结合即可求出；

（2）由（1）知，C」+B,A=--2Bf再利用正弦定理以及二倍角公式将

22

化成4cos28+一一-5,然后利用基本不等式即可解出.

COS2B

【小问I详解】

E、Icos4sin232sinBcosBsinB

因为--------=----------=-------——=------,即

1+sinAl+cos2B2cos-BcosB

（A+B）=_cosC=；

sinB=cosAcos-sinAsin8=cos

而0<8〈色，所以8=3；

26

【小问2详解】

兀兀

由(1)知，sinB=-cosC>0>所以一<。<兀,()<3<:一,

22

而sinB=-cosC=sinC--,

I2

TC7T

所以。二一+8,即有A二一—28.

22

「匕1、［。2+。2sin2A+sin2Bcos22B+l-cos2B

c2sin2Ccos2B

(2cos2+1-cos2B,2r-r-

------------------------二4cos-6+---—5>2x/8-5=4>/2-5・

cos-Bcos-B

当且仅当cos?8=Y2时取等号，所以“的最小值为4&—5・

2c~

19.如图，直二棱柱人〃c—AMG的体积为4,的面积为2夜.

（1）求A到平面48c的距离；

（2）设。为AC的中点，AA]=ABt平面ABC_L平面A34A，求二面角

A—3Z）—C的正弦值.

【答案】（1）＞/2

⑵由

2

【解析】

【分析】（I）由等体积法运算即可得解；

（2）由面面垂直的性质及判定可得BC_L平面ABgA，建立空间直角坐标系，利用空间

向量法即可得解.

【小问1详解】

在直三棱柱ABC-A,B}C]中，设点4到平面\BC的距离为h,

J、'qSA'BC'&h-ABC~TS“8C,AA=4匕8C-A«1C1=

JJJJ

解得h=e，

所以点A到平面A8c的距离为行；

【小问2详解】

取AB的中点E连接AE如图，因为A4,=A3,所以AE_LA田，

又平面4BCJ.平面A84A,平面A^cn平面AB8M

且AEu平面人8片％,所以AEJ_平面43C,

在直三棱柱4BC—4罔6中，84_1平面A8C,

由3Cu平面ABC,8Cu平面ABC可得A£_L4C,BB{1BC,

又AE,BB]u平面488人且相交，所以BCJL平面484A,

所以BC,BA,8月两两垂直，以8为原点，建立空间直角坐标系，如图，

由(1)得AE=&，所以=AB=2,%B=2C，所以8C=2,

则4(020),4(0,2,2),B(0,0,0),C(2,0,0),所以A(的中点。(1,1,1),

则而=(1,1,1),羽二(0,2,0),定=(2,0,0),

一,、in-BD=x+y-^z=0

设平面的一个法向量初=(x,y,z),则〈_____,

m-BA—2y—0

可取肩=(1,0,-1),

-/、

设平面3OC的一个法向量〃=c),则〈_m__-_B_D_=a+b+c=0

[mBC=2a=0

可取;?=(0,

fnn11

R二丽二7^^

二且

所以二面角4一8加一。的正弦值为

~~2

20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好

和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时

在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，8表示事件“选

产(日4)上P(8|A)

到的人患有该疾病的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程

P(B\A)

度的一项度量指标，记该指标为R.

P(A|B)P(A\B)

(i)证明:

~P(A\B)P(A\B)；

（ii）利用该调查数据，给出。（川8）,。（川耳）的估计值，并利用（i）的结果给出R的

估计值.

附六二——幽二型——，

（Q+b）（c+d）（a+c）（b+d）

P(K2>k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）答案见解析

（2）（i）证明见解析；（ii）R=6；

【解析】

【分析】（1）由所给数据结合公式求出K?的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有

99%的把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生E惯有差异；（2）（i）根据定义结合

条件概率公式即可完成证明；（ii）根据（i）结合已知数据求R.

【小问1详解】

由已知K2=Mad-bcf_200(40x90-60xl0)2=24,

(a+b)(c+d)(〃+c)(/?+d)50x150x100x100

XP(/C2>6.635)=0.01,24>6.635,

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

【小问2详解】

P(8|A)P(B\~A)P(AB)P(A)P(丽)P(A)

(i)因为R=

P(B\A)P(A)P(AB)P(A)P(AB)

P⑻P(AB)P(B)

所以A=----------=------=-------=-

P(B)P(AB)P(B)P(AB)

所以心

P(A|B)P(A\B)

(ii)

由已知P(A|3)=d2.,P(A|^)=—

100100

-60--90

又P(A|3)=——，P(A\B)=——

100100

P（f|B）尸，笆）_6

所以R二

21.已知点42,1）在双曲线C：二——二二i（a〉i）上，直线/交C于RQ两点，直线

a~a-1

人P,A。的斜率之和为0.

（1）求/的斜率；

（2）若lan/PAQ=2&,求△PAQ的面积.

【答案】（1）-1；

⑵谑.

9

【解析】

【分析】（1）由点42,1）在双曲线上可求出〃，易知直线/的斜率存在，设/：>="+〃2,

P（N，Y），Q（毛,丹），再根据如+%>=°，即可解出/的斜率;

（2）根据直线AP,AQ的斜率之和为0可知直线AP,A2的倾斜角互补，再根据

tanZPA（2=2>/2即可求出直线AP,AQ的斜率，再分别联立直线ARAQ与双曲线方程

求出点P,Q的坐标，即可得到直线产。的方程以及尸。的长，由点到直线的距离公式求出

点A到直线PQ的距离，即可得出△PAQ的面积.

【小问1详解】

r2v241

因为点A（2,l）在双曲线。：二—―2—=1（6/>1）±,所以r-_L=i,解得/=2,

a-a-a'a'-\

即双曲线C:二--y2=1

2

易知直线/的斜率存在，设/：、=丘+〃7,2（司,乂）,。（工2，）’2），

y=kx+tn

222

联立《x22可得，(l-2Ar)Jv-4wAr-2m-2=0,

----y-=1

12.

4mk2/+2

所以，X1+x2=

A=16m2k2+4(2/?r+2)(2公-1)>0=>TH2-1+2A:2>0.

所以由可得，三।+汜=0，

NJit乙

即（西一2）（仇+"2—1）+（&-2）（34-772-1）=0,

即2Hm+{m-\-2k）^xx+X2）-4（/n-l）=0,

所以22x+（6-1-2/）--2—-4（/n-l）=0,

乙K11乙K1y

化简得，8攵？+4々-4+4m（Z+l）=0,即（Z+l）（2Z-l+〃z）=0,

所以女=-1或m=1一2匕

当〃7=1—2左时，直线/:>=依+m=4（：1-2）+1过点4（2,1）,与题意不符，舍去,

故攵二一1.

【小问2详解】

不妨设直线尸AP3的倾斜角为。,尸3〈⑶，因为L+%=0,所以。+4=兀，

因为tanNPAQ-20,所以tan(^-a)=2也，即tan2a=20，

即V5ian?a-tana-&=0，解得tana=>/5'

于是，直线P4:y=0(x—2)+1,直线08:y=—0(x—2)+1,

y=x/2(x-2)+l

a

联立“、.一可得,/+2(1-2&b+10-4收=0,

所以巧,=比平

因为方程有一个根为2.

同理可得，qJ8产,yg=-4^-5

所以PQ:x+y-2=0,|PQ|=L,

点A到直线尸Q的距离,2+1~32及，

a=j=-=----

V23

故△"(?的面积为_Lx3x迪=蛆臣.

2339

22.已知函数/(x)=e'-ar和g(x);ar-lnx有相同最小值.

(1)求〃；

(2)证明：存在直线y=〃，其与两条曲线)，=/(幻和)，=且(幻共有三个不同的交点，并

且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

【答案】(1)a=\

(2)见解析

【解析】

【分析】(1)根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求

a注意分类讨论.

(2)根据(1)可得当力＞1时，e'-x=。的解的个数、x—lnx=/?的解的个数均为2,

构建新函数/?(x)=e'+lnx-2x,利用导数可得该函数只有一个零点且可得/(x),g(x)

的大小关系，根据存在直线y=〃与曲线y=/(x)、y=g(x)有三个不同的交点可得力

的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.

【小问1详解】

y(x)=e'-ax的定义域为R,而f\x)=ex-a,

若aKO,则/'(x)＞0,此时/a)无最小值，故。＞0.

8(幻=奴一1111的定义域为(0,+8),而/")=。一,=竺」.

.1

当了<lna时，f'(x)<0,故/“)在(一8,Ina)上为减函数，

当/>lna时，/,(x)>0,故/")在(Ina,+8)上为增函数，

故/(x)nvn=/(lna)=a-"Ina.

当时，/(刈<0,故在(0,：)上为减函数，

当X〉1时，g'(x)>0,故g(x)在上为增函数，

a；