安徽省淮南市寿县部分学校2026届九年级上学期1月期末考试数学试卷（含答案）

安徽省淮南市寿县部分学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题一、单选题1．下列函数中，是二次函数的是（

）A． B． C． D．2．关于的函数的图象与轴有四个不同的公共点，则的取值范围是（

）A．且 B． C． D．3．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（）A． B．C． D．4．已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（

）A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是C．当时，随的增大而减小 D．函数有最大值为5．如图，已知直线，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，，若，则（

）A． B． C． D．6．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝2：3，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（）A． B． C． D．7．如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（

）A． B．4 C． D．58．如图，在中，是角平分线，的交点，若，，则的值是()A． B． C． D．9．如图，是直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为（）A．4米 B．（2+2）米 C．（4﹣4）米 D．（4﹣4）米10．如图，在中，，，为上任意一点，为的中点，连接在上且，连接，则的最小值为（

）

A． B． C． D．二、填空题11．如图，反比例函数的图象上有两点A和B，横坐标分别是a和b，且，过点A作y轴平行线，过点B作x轴平行线，交于点C，连接，若面积为2，则．12．如图，表示垂直于地面的两根电线杆的主视图，线段AB和线段CD表示两根电线杆，线段AD和BC表示两根拉紧的铁丝，AD和BC交于点P．测量得米，点P距地面的高度为3米，则CD的长为米．13．如图．在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点.的顶点都在格点上,则的正弦值是．14．如图，一艘船从处向北偏西的方向行驶3海里到处，再从处向正东方向行驶5海里到处，此时这艘船与出发点处相距海里.三、解答题15．计算：．16．已知抛物线过（1，0），（0，-3）两点，且对称轴为直线：x=2，求此抛物线的解析式．17．如图，已知和，边、交于点，平分，平分，且．求证：．

18．足球训练中球员从球门正前方9米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行至与球门水平距离3米处时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式；(2)已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．19．如图，为的直径，是的切线，过点作射线的垂线，垂足为．(1)求证：点是弧的中点；(2)若，，求的长．20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，其中点的坐标为，与轴交于点．(1)求抛物线和直线的函数表达式；(2)点是直线上方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点的坐标；(3)连接和（2）中求出的点、点位于直线下方且在抛物线上，若，求点的坐标．21．小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，）22．如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点，将△CDE沿CE折叠得到△CFE，点F恰好落在边AB上．

（1）证明：△AEF∽△BFC．（2）若AB=，BC=1，作线段CE的中垂线，交AB于点P，交CD于点Q，连结PE，PC．①求线段DQ的长．②试判断△PCE的形状，并说明理由．23．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为的中点，直线交抛物线于点，且点坐标为，点坐标为．(1)求这条抛物线对应的函数关系式；(2)连接，试判断与的位置关系，并说明理由；(3)连接交直线于点，在直线上，是否存在这样的点不与点重合，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案题号12345678910答案BBCDDACDDC1．B【详解】解：二次函数要求自变量的最高次数为2，且系数不为0．选项A：，的最高次数为1，是一次函数；选项B：，的最高次数为2，且系数，符合定义；选项C：，分母有未知数，不是二次函数；选项D：，分母有未知数，不是二次函数；故选：B．2．B【详解】解：∵∴，由题意得，且当时，，即，解得：．故选：．3．C【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形，∴折起后，长方体底面的长为，宽为，∴，又∵，且，，∴，∴函数关系式为，故选：．4．D【详解】解：，，∴抛物线开口向下，顶点坐标为，当时，随的增大而增大，函数最大值为；故D正确．故选：D．5．D【详解】解：∵，，，故选：D．6．A【详解】解：设AD＝2k，则DB＝3k，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝5k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，∴∠EDA＋∠FDB＝120°，又∵∠EDA＋∠AED＝120°，∴∠FDB＝∠AED，∴△AED∽△BDF，由折叠得CE＝DE，CF＝DF，∴△AED的周长为7k，△BDF的周长为8k，∴△AED与△BDF的相似比为7：8，∴CE：CF＝DE：DF＝7：8．故选：A．7．C【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为∴，∵，∴，∴，∵，∴，故选：C．8．D【详解】解：，，平分，，，，过点作，平分，，，即：，解得：，，故选D．9．D【详解】在Rt△CMB中，∵∠CMB=90°，MB=AM+AB=12米，∠MBC=30°，∴CM=MB•tan30°=12×=4，在Rt△ADM中，∵∠AMD=90°，∠MAD=45°，∴∠MAD=∠MDA=45°，∴MD=AM=4米，∴CD=CM-DM=（4-4）米，故选D．10．C【详解】解：取的中点，∵为的中点，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，当三点共线的时，的值最小∴，故选．

11．【详解】解：延长交轴于点，∵点和点，横坐标分别是和，且，，∵轴，面积为，，，∵点在反比例函数图象上，∴，∵反比例函数在第二象限，，故答案为：12．12【详解】解：过点作的垂线，交于点，如图所示∵，∴∴由题意可得：米，米∴∴∵，∴∴∴∵∴∵∴∴米故答案为：12．13．【详解】详解：∵AB2=32+42=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，则sin∠BAC==．

故答案为．14．【详解】解：如图：，，，海里，海里，海里，（海里），（海里），故答案为：．15．【详解】解：．16．y=-x2+4x-3【详解】试题解析：设抛物线的解析式为y=a(x−2)2+k.把A(1,0),B(0,−3)的坐标代入,得解得.∴y=−(x−2)2+1=−x2+4x−3.即这个二次函数的解析式为y=−x2+4x−3.17．见解析【详解】证明：∵平分，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．18．(1)(2)球能射进球门【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线，把点代入得：，解得，抛物线的函数表达式为；（2）当时，，球能射进球门．19．(1)见解析(2)【详解】（1）证明：连接，∵，∴；∵是的切线，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴点C是弧的中点；（2）解：连接，∵为的直径，∴；∵∴，∴，∵；∴，∴，∵，，∴，∴（舍去），故．20．(1)；；(2)；(3)．【详解】（1）解：把、，代入，可得，解得，抛物线的函数表达式为；设直线的函数表达式为，把代入得，，解得，，直线的函数表达式为；（2）解：过作轴交于，如图所示：设，则，，，，当时，取最大值，此时的坐标为；（3）解：直线下方存在点，使得，理由如下：过作交的延长线于，过作轴，过作于，过作于，如图所示：由（2）知，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，设直线的解析式为，把、的坐标代入可得，，解得：直线的解析式为：，则解得，或的坐标为．21．大楼的高度约为．【详解】解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形，∴，∵，∴，设，在中，，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，答：大楼的高度约为．22．（1）详见解析；（2）2-；（3）等腰直角三角形．【详解】解：（1）∵将△CDE沿CE折叠得到△CFE∴∴又∵∴∴△AEF∽△BFC（2）①连接EQ，PQ是CE的中垂线，如图：

∵AB=，BC=1，将△CDE沿CE折叠得到△CFE，四边形ABCD是矩形∴∴都是等腰直角三角形∴设，则，在直角三角形DEQ中：，解得：故DQ的长为；②设，则，PQ是CE的中垂线∴∴