福建省福州第四十中学等校2025-2026学年第一学期期末考试高三数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页福建省福州第四十中学等校2025-2026学年第一学期期末考试高三数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A=x∣x−1>1，B=x∣xA.−1,0 B.−1,0 C.−2,0 D.−2,02.已知复数z满足z2−i=3+i，则z=A.1 B.2 C.2 D.3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=3，2acosC+2ccosA=3a，则a=(

)A.2 B.3 C.43 D.4.函数y=loga(x+2)−3(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，则nmA.5 B.2 C.4+23 5.一个袋子中有4个球，其中有2个白色球(标号为1和2)，2个黑色球(标号为3和4)，这4个球除颜色和标号外完全相同，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球颜色相同的概率为(

)A.23 B.12 C.136.意大利数学家斐波那契(约1170∼1250)，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵(如梅花，飞燕草，万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列an满足：a1=a2=1，an+2A.2022 B.2023 C.59 D.607.已知过抛物线C:y2=12x

的焦点F

的动直线交抛物线C

于A,B

两点，Q为线段AB

的中点，P为抛物线C上任意一点，则PF+PQA.6 B.3 C.12 D.98.在▵ABC中，点P满足BP=3PC，过点P的直线与AB,AC所在的直线分别交于点M,N，若AM=λAB，AN=μAC(λ>0,μ>0)，则A.22+1 B.32+1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.已知一组数据1,2,m,6,7的平均数为4，则这组数据的方差是5

B.数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23

C.若样本x1,x2,⋯,x10的平均值为8，则2x1−1,2x2−1,⋯,2x1010.《命运交响曲》是被尊称为“乐圣”的音乐家贝多芬创作的重要作品之一．如果以时间为横轴，音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，若这些点在函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的图象上，且图象的一个最高点为A.A=2

B.fx在区间0,π4上的最大值为3

C.直线x=π6是fx图象的一条对称轴

D.11.用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度对这个问题进行研究，其中比利时数学家GerminalDandelin1794−1847的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥PO中，已知高PO=2，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题中，正确的为(

)

A.圆的面积为4π B.椭圆的长轴长为37

C.双曲线两渐近线的夹角正切值为34 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线x=−1与圆(x−2)2+(y−1)2=a+513.已知an是单调递减的等比数列，其前n项和为Sn，若a3+a6=9,14.已知四面体ABCD的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为16π，△ABC是边长为3的正三角形，则四面体ABCD的体积的最大值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)地球上生命体内都存在生物钟，研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体征状况.控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称PER，PER分为PERl(导致早起倾向)和PERo(导致晚睡倾向).某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与GRPE蛋白干预实验.以下是16只实验鼠在光照诱导与GRPE蛋白干预实验中，出现PERl突变的Sd指标：实验鼠编号12345678Sd指标9.959.999.969.9610.019.929.9810.04实验鼠编号910111213141516Sd指标10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95长期试验发现，若实验鼠Sd指标超过10.00，则认定其体征状况严重，(1)从实验鼠中随机选取3只，记X为体征状况严重的只数，求X的分布列和数学期望;(2)若编号1∼8的实验鼠为GRPE蛋白干预实验组，编号9∼16的为非GRPE蛋白干预对照组，试依据小概率值α=0.1的独立性检验，分析GRPE蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关?α0.10.050.01x2.7063.8416.635附：χ2=n(ad−bc)16.(本小题15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是矩形，AD⊥平面PAB，PA⊥PB，E、M分别为AD、PB的中点．(1)求证：EM//平面PCD；(2)若AP=AD=2，AB=2AD，求直线PE与平面17.(本小题15分)在▵ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知向量m，n满足m=b2(1)求B的值；(2)若b=19，▵ABC的面积是532，∠ABC的角平分线BD①求a+c；②求BD的值．18.(本小题17分)

已知函数f(x)=12x2−(a+1)x+alnx,a∈R．

(1)若a=−1，求函数f(x)的极值；

(2)讨论函数f(x)的单调性；

(3)若函数y=f(x)+(a+1)x19.(本小题17分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，且过点(−62,12)．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设椭圆E的右焦点为F，过点G(2,0)作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为参考答案1.B

2.C

3.A

4.A

5.C

6.D

7.A

8.B

9.BCD

10.AC

11.AB

12.4

13.60

14.915.解：(1)由题意得，16只实验鼠中，有7只体征状况严重，

X的可能取值有0，1，2，3，

P(X=0)=C93C163=3

X

0

1

2

3

P

3

9

27

1所以X的数学期望E(X)=0×320+1×920+2×

GPRE蛋白干预

非GPRE蛋白干预

合计

体征状况严重

2

5

7

体征状况不严重

6

3

9

合计

8

8

16零假设H0：实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预没有关系，

利用列联表中的数据得，χ2=16×(2×3−5×6)28×8×7×9=167≈2.286<2.706=x0.1，16.(1)取PC的中点为F，连接MF，因为M、F分别为PB、PC的中点，所以FM//BC，FM=1又因为四边形ABCD为矩形，AD//BC，AD=BC，且E为AD的中点，所以DE//BC，DE=12BC，所以DE//FM所以四边形DEMF是平行四边形，所以DF//EM，又因为DF⊂平面PCD，EM⊄平面PCD，所以直线EM//平面PCD．(2)因为AD⊥平面PAB，PA、PB⊂平面PAB，则AD⊥PA，AD⊥PB，以A为原点，平面PAB内过点A且垂直于AB的直线为x轴，AB、AD所在直线分别为y、z轴，建立空间直角坐标系A−xyz，如图所示，因为AP=AD=2，则AB=因为PA⊥PB，故▵PAB为等腰直角三角形，且∠PAB=45所以P2,2易知平面ABCD的一个法向量为n=则设直线PE与平面ABCD所成的角为θ，则sinθ=所以直线PE与平面ABCD所成的角的正弦值为10

17.(1)m由正弦定理得sinBcossinBcosC+因为sinA≠0，所以cosB=12(2)①由12acsinB=由余弦定理b2=a所以a+c=7.

②由S▵ABC53所以BD=

18.解：(1)当a=−1时，f(x)=12x2−lnx，定义域为0,+∞，

f′(x)=x−1x，

当f′(x)=0，解得x=1，

当x>1时，f′(x)>0，当0<x<1时，f′(x)<0，

因此当x=1处函数取极小值，极小值为f(1)=12；

(2)f′(x)=x−(a+1)+ax=x2−(a+1)x+ax

=(x−1)(x−a)x,x>0，

若a≤0，则x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

x∈(1,+∞)时，f′(x)>0,f(x)单调递增，

若0<a<1，则x∈(0,a)时，f′(x)>0,f(x)单调递增，

x∈(a,1)时，f′(x)<0,f(x)单调递减，

x∈(1,+∞)时，f′(x)>0,f(x)单调递增，

若a=1，则x∈(0,+∞)时，f′(x)≥0,f(x)单调递增，

若a>1，则x∈(0,1)时，f′(x)>0,f(x)单调递增，

x∈(1,a)时，f′(x)<0,f(x)单调递减，

x∈(a,+