江苏省无锡市金桥双语实验学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2025-2026学年江苏省无锡市滨湖区金桥双语实验学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是(

)A.x2+x-y=0 B.a2.⊙O的半径为6，点P到圆心O的距离为3，点P与⊙O的位置关系是(

)A.点P在⊙O外 B.点P在⊙O内 C.点P在⊙O上3.下列说法正确的是(

)A.圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴

B.平分弦的直径垂直于弦

C.三角形的内心到三角形三条边的距离相等

D.相等的圆心角所对的弧相等4.玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比时(如图)，可以敲击出音符“sol”的声音.若AB=10cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC为(

)A.5-12

B.555.如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD=40∘，则∠ABD的大小为A.60∘ B.50∘ C.40∘6.如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形.若OA：AA'=1：3，△ABCA.8

B.18

C.32

D.647.如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE=60∘，若AD=2，CD=2A.13

B.12

C.438.若关于x的一元二次方程mx2+n=0的一个根为1，则方程A.2 B.4 C.2或4 D.-2或9.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AB'C'D'，此时B'C'恰好经过点A.355

B.3

C.12

10.如图所示，已知正方形ABCD，点E为线段BC上异于端点的一动点，DH⊥AE于点F，交AB于点H，AE、BD交于点P，FG平分∠DFE交DB于点G.下列结论正确的有(

)

①若∠BAE=∠HDB，则S△BHD=14DH2；

②若CE=3BE，则DGA.①③ B.①④ C.②③ D.②④二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。11.若ab=65，则a+12.若将一元二次方程x2+8x=6化为(x+13.某展览中心6月份的参观人数为14.4万人，8月份的参观人数为16.9万人.设6至8月参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为

.14.一个圆锥的侧面积为36πcm2，其底面圆的半径为4cm，则该圆锥的母线长为

15.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为(4,4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为______.

16.如图，在半径为6的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，AC与BD交于点E，若E是BD的中点，则AC的长是

.

17.如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90∘，对角线AC，BD相交于点O.若AB=AC=5，BC=6，∠

18.如图1，在矩形ABCD中，AB=43，AD=9，点E从点B出发，沿BC边运动到点C，连接AE，过点E作AE的垂线交CD于点F.

(1)若BE=6，则CF=______；

(2)如图2，在点E的运动过程中，以EF为边，在EF上方作等边△EFG，则边三、解答题：本题共9小题，共94分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题16分)

用适当的方法解下列方程：

(1)(2x-5)2=16；

(2)(x+820.(本小题10分)

已知关于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0.

(1)当该方程有实数根时，求m的范围；

(2)若该方程的两个根x21.(本小题10分)

平行四边形ABCD中，点F是边BC上一点，连结DF并延长交AB的延长线于点E，且∠EDB=∠A.

(1)求证：△BDF∽△BCD；

(2)若AD=4，22.(本小题10分)

如图，已知AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，点C为AB延长线上一点，AE⊥CF，垂足为E，AF平分∠EAC，AG=BG，连接AG，BF.

(1)求证：EC是⊙O的切线；

(2)若23.(本小题8分)

在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=5，BC=12，已知⊙O经过点C，且与AB相切于点D.

(1)在图1中作出⊙O(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；

(2)若点D是边AB上的动点，设⊙O与边24.(本小题10分)

某零食商店以22元/千克的价格购进一种饼干，计划以34元/千克的价格销售，为促销，现决定降价销售，已知这种饼干销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0<x<10)之间满足的函数关系图象如下：

(1)若这种饼干定价为28元/千克时，则商店获利______元；

(2)若商店要想获利25.(本小题8分)

根据以下材料，完成探究任务.利用相似三角形测高发现、提出问题数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动.如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙AB，同学们提出问题如下：围墙AB的高度是多少米？

分析问题结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行如下操作：

①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进地面F点时，测得OF=6m；

②当阳光恰从围墙最高点经窗户点D处射进地面E点时，测得OE=0.8m解决问题(1)如图，靠窗放置一张长方形桌子，DN//OF，点N在光线AF上，求DN的长；

(2)求AB，OB26.(本小题10分)

【基本模型】(1)如图1，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，AE⊥BD交BC于点E，则AEBD的值是______；

【类比探究】(2)如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AB=12，AC=16，D为AC边上一点，连接BD，AE⊥BD，交BC于点E，若AEBD=34，求BE的长；

【拓展迁移】(3)在矩形ABCD中，AD=30，AB=18，点E、F分别为线段AD和线段BC边上的一点，以EF为折痕，将四边形ABFE翻折，得到四边形EFGH，直线27.(本小题12分)

如图，已知P为锐角∠MAN内部一点，过点P作PB⊥AM于点B，PC⊥AN于点C，以PB为直径作⊙O，交直线CP于点D，连接AP，BD，AP交⊙O于点E.

(1)求证：∠BPD=∠BAC；

(2)连接EB，ED，当BD=2PD，AB=45时，在点P的整个运动过程中，

①若∠BDE=60∘，求PD的长；

②若△BED是以BD为腰的等腰三角形时，求所有满足条件的BD的长；

(3)当点P与点C重合，如图2.参考答案一、选择题：1.D

2.B

3.C

4.C

5.B

6.C

7.C

8.C

9.D

10.B

二、填空题：11.11512.26

13.14.4(1+x14.9

15.(2,0)

16.817.9718.332；三、解答题：19.解：(1)(2x-5)2=16，

∴2x-5=±4，

∴x1=4.5，x2=0.5.

(2)(x+8)2=3(x+8)；

(x+8)2-3(x+8)=0，

(x+8)(x+8-3)=0，

∴x+8=0或x+8-3=0，

∴x1=-8，x2=-5.

(3)2x2-6x+1=0；

这里a=2，b=-6，c=1，

∴Δ=(-6)2-4×2×1=28>0，

∴x=6±282×2=3±7221.(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴∠A=∠C，

∵∠EDB=∠A，

∴∠EDB=∠C，

而∠DBF=∠CBD，

∴△BDF∽△BCD；

(2)解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴BC=AD=4，

∵△BDF∽△BCD，

∴BD：：BC=BF：BD，

即23：4=BF：23，

解得BF=3，

∴CF=BC-BF=4-3=1，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB//CD，AB=CD，

∴△CDF∽△BEF，

∴CDBE=CFBF=13，

∴ABBE=13.

22.(1)证明：如图，连接OF，

∵OA=OF，

∴∠OAF=∠OFA，

∵AF平分∠EAC，

∴∠OAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠OFA，

∴OF//AE，

∵AE⊥CF，

∴OF⊥CF，

∵OF是⊙O的半径，

∴EC是⊙O的切线；

(2)解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠AGB=∠AFB=90∘，

∵BG=AG=62，

∴AB=AG2+BG2=12，

∴BF=AB2-AF2=45，

∵∠E=∠AFB，∠EAF=∠FAB，

∴△AEF∽△AFB，

∴EFBF=AFAB，即EF45=812，

解得：EF=853.

23.解：(1)如图，⊙O即为所求；

(2)连接CO，OD，过点C作CT⊥AB于点T.

在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=52+122=13，

∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CT，

∴CT=AC⋅BCAB=6013，

∵∠ECF=90∘，

∴EF是直径，

∴EF=CO+OD≥CD，

∴当C，O，D共线时，点D与点T重合，此时EF的值最小，最小值为6013.

24.解：(1)设这种饼干销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0<x<10)之间满足的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，

将(3,75)，(5,105)代入y=kx+b得：3k+b=755k+b=105，

解得：k=15b=30，

∴这种饼干销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0<x<10)之间满足的函数关系式为y=15x+30.

当x=34-28=6时，y=15×6+30=120，

∴(28-22)×120=6×120=720(元)，

即若这种饼干定价为28元/千克时，则商店获利720元．

故答案为：720；

(2)根据题意得：(34-x-22)(15x+30)=600，

整理得：x2-10x+16=0，

解得：x1=2，x2=8，

∵要让顾客获得更大实惠，

∴x=8，

∴34-x=34-8=26(元).

答：这种饼干的销售价应定为每千克26元．

25.解：(1)∵OD//AB，

∴△EOD∽△EBA，

∴ODAB=OEEB，

即1.2AB=0.80.8+OB①，

∵CO//AB，

∴△FOC∽△FBA，

∴COAB=FOFB，

即1.8+1.2AB=66+OB②，

解由①②组成的方程组得OB=1.8，AB=3.9，

∵△EOD∽△EBA，

∴EDEA=ODAB=1.23.9=413，

∴ADAE=913，

∵DN//OF，

∴△ADN∽△AEF，

∴DNEF=ADAE，

即DN6-0.8=913，

解得DN=3.6，

答：DN的长为3.6m；

(2)由(1)得AB的长为3.9m，OB的长为1.8m.

26.解：(1)如图1，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90∘，AB=6，AD=BC=8，

∴BD=AB2+AD2=62+82=10，

∵AE⊥BD，

∴∠ADB+∠DAE=90∘，

∵∠BAE+∠DAE=90∘，

∴∠BAE=∠ADB，

∵∠ABE=∠DAB=90∘，

∴△AEB∽△DBA，

∴AEBD=ABAD=68=34，

故答案为：34；

(2)在Rt△A