2025年安徽高起专数学（理科）考试试题及答案

2025年安徽高起专数学（理科）考试试题及答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.已知函数f(x)=x^33x，下列结论正确的是（）

A.f(x)在区间（∞，0）内单调递增

B.f(x)在区间（0，+∞）内单调递增

C.f(x)在区间（∞，0）内单调递减

D.f(x)在区间（0，+∞）内单调递减

答案：C

解析：求导得f'(x)=3x^23，令f'(x)=0，解得x=±1。当x<1时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当1<x<0时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当0<x<1时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f'(x)>0，f(x)单调递增。故选C。

2.若a、b是实数，且a^2+b^2=1，则a+b的取值范围是（）

A.[√2，√2]

B.[1，1]

C.[0，2]

D.[2，2]

答案：A

解析：设a=cosθ，b=sinθ，则a+b=cosθ+sinθ。利用三角函数的和差化积公式，可得a+b=√2sin(θ+π/4)。由于sin(θ+π/4)的取值范围是[1，1]，所以a+b的取值范围是[√2，√2]。故选A。

3.已知函数f(x)=|x1||x+1|，下列结论正确的是（）

A.f(x)在区间（∞，1）内单调递增

B.f(x)在区间（1，1）内单调递增

C.f(x)在区间（1，+∞）内单调递增

D.f(x)在区间（∞，1）内单调递减

答案：C

解析：当x<1时，f(x)=2；当1≤x≤1时，f(x)=2x；当x>1时，f(x)=2。故f(x)在区间（∞，1）内恒为2，f(x)在区间（1，1）内单调递减，f(x)在区间（1，+∞）内恒为2。故选C。

4.若a、b是实数，且a+b=3，则a^2+b^2的最小值是（）

A.3

B.6

C.9

D.12

答案：B

解析：利用柯西不等式(a^2+b^2)(1^2+1^2)≥(a+b)^2，得a^2+b^2≥6。当a=b=3/2时，等号成立。故a^2+b^2的最小值是6。故选B。

5.已知函数g(x)=x^2+k在区间（∞，+∞）内单调递增，则实数k的取值范围是（）

A.k≤0

B.k≥0

C.k<1

D.k>1

答案：B

解析：函数g(x)=x^2+k的导数为g'(x)=2x。由于g(x)在区间（∞，+∞）内单调递增，所以g'(x)≥0。因此，k≥0。故选B。

6.若直线y=kx+m与圆x^2+y^2=4相切，则k^2+m^2的最小值是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：圆心到直线的距离为d=|m|/√(k^2+1)，由于直线与圆相切，所以d=2。故m^2=4(k^2+1)。将m^2代入k^2+m^2，得k^2+m^2=4k^2+4。当k=0时，k^2+m^2的最小值为4。故选B。

7.若函数h(x)=x^2+bx+c在区间（∞，1）内单调递减，则b的取值范围是（）

A.b≤2

B.b≥2

C.b≤2

D.b≥2

答案：C

解析：函数h(x)=x^2+bx+c的导数为h'(x)=2x+b。由于h(x)在区间（∞，1）内单调递减，所以h'(x)≤0。因此，2x+b≤0，即b≤2x。当x=1时，b≤2。故选C。

8.已知函数p(x)=(xa)^2+(xb)^2，其中a、b是实数，则函数的最小值是（）

A.(ab)^2

B.|ab|^2

C.(a+b)^2

D.|a+b|^2

答案：B

解析：函数p(x)=(xa)^2+(xb)^2可以看作是点(x,0)到点(a,0)和(b,0)的距离之和的平方。当x=(a+b)/2时，p(x)取得最小值。此时，p(x)=|ab|^2。故选B。

二、填空题（每题5分，共40分）

9.若a、b是实数，且a^2+b^2=5，a+b=2，则ab的值为_______。

答案：4

解析：由(a+b)^2=a^2+b^2+2ab，得4=5+2ab，解得ab=1/2。

10.若函数f(x)=x^2+k在区间（∞，+∞）内单调递增，则实数k的取值范围是_______。

答案：k≥0

解析：同选择题第5题。

11.若直线y=kx+m与圆x^2+y^2=4相切，则k^2+m^2的最小值是_______。

答案：4

解析：同选择题第6题。

12.若函数h(x)=x^2+bx+c在区间（∞，1）内单调递减，则b的取值范围是_______。

答案：b≤2

解析：同选择题第7题。

13.若函数p(x)=(xa)^2+(xb)^2的最小值为1，则|ab|的值为_______。

答案：1

解析：同选择题第8题。

14.若a、b、c是实数，且a^2+b^2+c^2=14，a+b+c=3，则abc的值为_______。

答案：6

解析：由(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc，得9=14+2ab+2ac+2bc，解得ab+ac+bc=5/2。由a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^22(ab+ac+bc)，得a^2+b^2+c^2=9/2。再由abc=(a+b+c)(ab+ac+bc)a^2b^2a^2c^2b^2c^2，得abc=3(5/2)a^2b^2a^2c^2b^2c^2。由a^2+b^2+c^2=14，得a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2=(a^2+b^2+c^2)^22(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)，即14(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)=196。解得a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2=14。将a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2代入abc的表达式中，得abc=6。

三、解答题（每题20分，共40分）

15.已知函数f(x)=x^33x+1，求f(x)的单调递增区间。

答案：单调递增区间为（1，1）。

解析：求导得f'(x)=3x^23。令f'(x)=0，解得x=±1。当x<1时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当1<x<1时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f'(x)>0，f(x)单调递增。故单调递增区间为（1，1）。

16.已知直线y=kx+m与圆x^2+y^2=4相切，求实数k、m的取值范围。

答案：k可以取任意实数，m的取值范围是[2√(1+k^2)，2√(1+k^2)]。