人教版八年级数学下册《二次根式》专项测试卷及答案

第第页人教版八年级数学下册《二次根式》专项测试卷及答案题型一求二次根式的值1．已知，均为实数，则的值为．2．计算：（1）（2）（结果用正整数指数幂表示）题型二求二次根式中的参数3．若是整数，则正整数的最小值是（）A． B． C． D．4．已知是正整数，则满足条件的最小整数n为．题型三二次根式有意义的条件5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求，的值及的平方根．6．（25-26八年级下·全国·课后作业）若式子有意义，则点的坐标在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限题型四利用二次根式的性质化筍7．（25-26八年级下·全国·周测）阅读下列解题过程：；；；…(1)__________，__________．(2)利用这一规律计算：．(3)观察上面的解题过程，计算：（为正整数）．8．（25-26八年级下·全国·周测）已知三角形的三条边的长分别为5化简的结果是．题型五二次根式的乘法9．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知满足等式求：(1)的值．(2)的值．10．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面一题的解答过程并判断是否正确．若不正确请写出正确的解答过程．已知为实数化简．解：．题型六二次根式的除法11．（2026八年级下·全国·专题练习）若与互为相反数则的值为．12．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列各式：①②③．如果那么等式成立的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③题型七二次根式的乘除混合运算13．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简：．14．（24-25八年级下·北京海淀·期中）小君想到了一种证明等式成立的方法．证明过程如下：设则．等号左边等号右边∵∴∴等号右边∴等号左边等号右边∴等式成立．(1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组）再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程．解：设则________________．将原无理方程转化为用mn表示的整式方程（组）并完成原无理方程的求解过程如下：(2)请直接写出方程的解为________．题型八最简二次根式的判断15．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列二次根式中是最简二次根式的是（）A． B． C． D．16．（23-24八年级下·山东济宁·月考）下列二次根式是最简二次根式的是（）A． B． C． D．题型九化为最简二次根式17．（24-25八年级下·全国·期末）如图在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片则图中空白部分的面积为（）A． B．C． D．18．（25-26八年级下·全国·周测）请观察式子：．仿照上面的方法解决下列问题：(1)化简：①②③．(2)把中根号外的因式移到根号内求化简后的结果．题型十已知最简二次根式求参数19．若最简二次根式和能合并则ab的值分别是（）A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和120．（22-23八年级下·安徽·月考）已知其中AB为最简二次根式且则的值为．题型十一同类二次根式21．（25-26八年级下·全国·课后作业）规定：若则称与是关于1的“平衡数”．(1)若3与是关于1的“平衡数”与也是关于1的“平衡数”求的值．(2)若至少有一个是有理数判断与是否是关于1的“平衡数”并说明理由．22．（24-25八年级下·重庆·期中）若a和b都是正整数且和是可以合并的二次根式下列结论中正确的个数为（）①只存在一组a和b使得②只存在两组a和b使得③不存在a和b使得④若只存在三组a和b使得则的值为36或81A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型十二二次根式的加减运算23．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知最简二次根式与另一个二次根式合并后的结果为则的值为．24．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面的材料然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时我们有时候会碰到形如的式子其实我们还可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫作分母有理化．化简：(1)____________________．(2)．题型十三二次根式的混合运算25．（25-26八年级下·全国·周测）计算的结果是（）A． B． C． D．26．（25-26八年级下·全国·周测）下面是小华同学解答题目的过程：第一步第二步第三步．第四步小华的解题过程是否有错误？如果有请指出从第几步开始犯错并写出正确的解答过程．题型十四分母有理化27．（2026八年级下·全国·专题练习）在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：．(1)化简：__________．(2)观察上面的计算过程直接写出式子：__________．(3)利用分母有理化计算：．28．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明计算时想起分配律解答的过程如下：解：原式．他的解法正确吗？若不正确请写出正确的解答过程．题型十五已知字母的值化简求值29．（24-25八年级下·山东日照·月考）小明在解决问题：已知求的值．他是这样分析与解的：．请你根据小明的分析过程解决如下问题：(1)化简．(2)若．求：①求的值．②直接写出代数式的值________________．30．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简并任取一个的值使其结果为正整数．题型十六已知条件式化简求值31．（25-26八年级下·全国·周测）已知等式成立化简的结果为（）A． B． C． D．432．在数学课外学习活动中嘉琪遇到一道题：已知求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：∵∴．∴（a﹣2）2＝3即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据嘉琪的解题过程解决如下问题：（1）试化简和（2）化简（3）若求4a2﹣8a+1的值．题型十七比较二次根式的大小33．（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如比较和的大小我们可以把a和b分别平方．∵∴而∴．请利用“平方法”解决下面问题：(1)比较的大小c_______d（填写><或者=）(2)猜想之间的大小关系并证明．34．（23-24八年级下·河南漯河·月考）观察下列一组等式解答后面的问题：．(1)化简：_____________（n为正整数）(2)比较大小：_______（填“”“”或“”）(3)请根据上面的结论找规律计算下列算式的结果：．题型十八二次根式的应用35．（25-26八年级下·全国·周测）现将一个面积为的正方形的一组对边缩短就成为一个长方形这个长方形的面积为．36．（23-24九年级上·福建漳州·期中）阅读材料：已知为非负实数∵∴当且仅当“”时等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知求函数的最小值．解：令则由得．当且仅当即时函数取到最小值最小值为4．根据以上材料解答下列问题：(1)已知则当______时函数取到最小值最小值为______(2)用篱笆围一个面积为的矩形花园则当这个矩形花园的长宽各为多少时所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？(3)已知则自变量取何值时函数取到最大值？最大值为多少？题型十九复合二次根式的化简37．（24-25八年级下·甘肃武威·月考）阅读材料：把根式进行化简若能找到两个数使即把变成从而可以对根式进行化简．例如：化简：．解：．根据上述材料解答下列问题．(1)化简：．(2)化简：．(3)计算：．38．先阅读材料然后回答问题．（1）小张同学在研究二次根式的化简时遇到了一个问题：化简经过思考小张解决这个问题的过程如下：①②③④在上述化简过程中第________步出现了错误化简的正确结果为________（2）化简（3）请根据你从上述材料中得到的启发化简：．参考答案题型一求二次根式的值1．已知均为实数则的值为．【答案】8【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值进而得出y的值进而得出答案．【详解】解：∵∴故答案为：8【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件正确把握二次根式的定义是解题关键．2．计算：（1）（2）（结果用正整数指数幂表示）【答案】（1）（2）【分析】（1）根据负整数指数幂零指数幂二次根式的性质计算即可得到答案（2）根据积的乘方同底数幂乘法的性质计算即可得到答案．【详解】（1）（2）．【点睛】本题考查了负整数指数幂零指数幂二次根式积的乘方同底数幂乘法的知识解题的关键是熟练掌握负整数指数幂零指数幂二次根式积的乘方同底数幂乘法的性质从而完成求解．题型二求二次根式中的参数3．若是整数则正整数的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据二次根式性质将化简成再根据是整数需要让能开方为整数即可求出的最小值．【详解】解：是整数是整数正整数的最小值是故选：．【点睛】本题考查了二次根式的定义正确分解因式是解答本题的关键．4．已知是正整数则满足条件的最小整数n为．【答案】3【分析】先变形得到根据题意n必须是3的完全平方数倍所以最小正整数n为3．【详解】解：∵而是整数∴最小正整数n为3．故答案为：3．【点睛】本题考查了二次根式的化简一般利用化简二次根式．题型三二次根式有意义的条件5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知求的值及的平方根．【答案】的平方根是．【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定的值再代入求出的值最后计算的平方根．【详解】解：根据二次根式的被开方数非负可得：解得：．将代入原式得：解得：．．∵的平方根是∴的平方根是．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件平方根的计算解题关键是利用二次根式被开方数非负的性质确定的值进而求出其他量．6．（25-26八年级下·全国·课后作业）若式子有意义则点的坐标在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】本题考查了二次根式有意义的条件与平面直角坐标系中象限的符号特征掌握二次根式有意义的条件及各象限内点的坐标符号特征是解题的关键．根据二次根式有意义的条件确定的取值范围再判断点的坐标符号从而确定所在象限．【详解】解：∵式子有意义∴即∴∴点中且故∴点的横坐标为负纵坐标为正∴点在第二象限．故选：B．题型四利用二次根式的性质化筍7．（25-26八年级下·全国·周测）阅读下列解题过程：…(1)____________________．(2)利用这一规律计算：．(3)观察上面的解题过程计算：（为正整数）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）通过观察已知例子总结被开方数的规律再利用二次根式的性质化简（2）先根据规律将每个根式转化为分数形式再通过约分计算乘积（3）先对被开方数通分再结合完全平方公式和二次根式性质化简．【详解】（1）解：对于：∵∴．对于：∵∴．（2）解：．（3）解：对被开方数通分并化简：∵为正整数∴即．【点睛】本题考查了二次根式的化简与规律探究解题关键是通过观察例子总结出根式的化简规律再利用分式约分完全平方公式等知识进行计算．8．（25-26八年级下·全国·周测）已知三角形的三条边的长分别为5化简的结果是．【答案】【分析】先根据三角形三边关系确定的取值范围再利用二次根式的性质将根号转化为绝对值结合的范围化简绝对值最后计算式子结果．根据三角形三边关系确定的取值范围再利用绝对值的性质化简表达式．【详解】解：由三角形三边关系得．．∴原式．故答案为：．题型五二次根式的乘法9．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知满足等式求：(1)的值．(2)的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列出关于m的不等式组求解得到m的值再代入等式求出n（2）将（1）中得到的的值代入式子利用二次根式的乘法法则化简计算．【详解】（1）解：由题意得：解得．将代入等式得．（2）解：由（1）可知．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件与二次根式的乘法运算掌握二次根式的被开方数非负以确定字母取值及二次根式的乘法法则是解题的关键．10．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面一题的解答过程并判断是否正确．若不正确请写出正确的解答过程．已知为实数化简．解：．【答案】不正确．正确的解答过程见解析【分析】本题考查了二次根式的化简掌握先根据二次根式有意义的条件确定字母的符号再结合二次根式的乘法法则化简同时正确处理根号化简后的绝对值符号是解题的关键．先根据二次根式有意义的条件确定a的符号再依据二次根式的乘法法则化简同时注意根号化简后绝对值的符号处理．【详解】解：不正确．正确的解答过程如下：∴∴．题型六二次根式的除法11．（2026八年级下·全国·专题练习）若与互为相反数则的值为．【答案】【分析】本题考查了二次根式的非负性掌握几个非负数的和为则每个非负数都为是解题的关键．先根据互为相反数的两个数和为列出等式再结合二次根式的非负性得到关于的方程求解出的值最后代入式子计算结果．【详解】解：∵与互为相反数∴∵二次根式具有非负性∴只有当且时和为解得：将代入：​．故答案为：．12．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列各式：①②③．如果那么等式成立的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】本题考查了二次根式的乘除法二次根式的性质化简掌握二次根式乘除法的运算法则是解题的关键．由和可知和均为负数根据二次根式的乘除法法则二次根式的性质逐一化简即可判断等式是否成立．【详解】解：∵∴．对于①：成立符合题意对于②：中但和在实数范围内无定义故不成立不符合题意对于③：∵∴成立符合题意∴等式成立的是①③．故选：B．题型七二次根式的乘除混合运算13．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简：．【答案】【分析】本题考查了二次根式的乘除运算与分母有理化解题关键是通过完全平方公式分母有理化简化式子逐步计算得出结果．先将除法转化为乘法再通过分母有理化化简式子逐步计算得出结果．【详解】解：原式．14．（24-25八年级下·北京海淀·期中）小君想到了一种证明等式成立的方法．证明过程如下：设则．等号左边等号右边∵∴∴等号右边∴等号左边等号右边∴等式成立．(1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组）再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程．解：设则________________．将原无理方程转化为用mn表示的整式方程（组）并完成原无理方程的求解过程如下：(2)请直接写出方程的解为________．【答案】(1)91．(2)【分析】本题主要考查了无理方程二次根式的性质与化简二次根式的乘除法二元一次方程组的解等知识点熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．（1）依据题意由则又则可求出mn进而完成解答（2）解法一：依据题意由从而则故然后整理后求解即可．解法二：设由题意得计算可得进而可得据此求解即可．【详解】（1）解：设∴∵∴∵∴．联立解得：∴．∴．故答案为：91．（2）解法一：∵∴∴∴．∴解得：．经检验：是原方程的解．解法二：设∵∴∵∴即∴∴∴即∴解得：．经检验：是原方程的解．故答案为：．题型八最简二次根式的判断15．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列二次根式中是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义掌握最简二次根式必须满足①被开方数的因数不含能开得尽方的数②被开方数不含分母．根据二次根式必须满足的条件逐项判断即可．【详解】解：A．分母含根号需有理化为不符合最简二次根式条件B．被开方数为分数需化为不符合最简二次根式条件C．被开方数含分母10需化为不符合最简二次根式条件D．被开方数30分解质因数为无平方数因子且不含分母符合最简二次根式条件．故选D．16．（23-24八年级下·山东济宁·月考）下列二次根式是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了最简二次根式的识别熟练掌握二次根式的化简以及最简二次根式的概念是解题的关键.化简后根据最简二次根式的概念逐一进行判断即可.【详解】A.故选项不符合题意B.故选项不符合题意C.故选项不符合题意D.是最简二次根式符合题意故选D.题型九化为最简二次根式17．（24-25八年级下·全国·期末）如图在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片则图中空白部分的面积为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了算术平方根的应用化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长从而求出的长再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为和它们的边长分别为空白部分的面积．故选：D．18．（25-26八年级下·全国·周测）请观察式子：．仿照上面的方法解决下列问题：(1)化简：①②③．(2)把中根号外的因式移到根号内求化简后的结果．【答案】(1)①②③(2)【分析】（1）仿照例子将根号外的数平方后移入根号内再结合二次根式的性质化简（2）先根据二次根式有意义的条件确定的范围再将根号外的因式变形后移入根号内化简．【详解】（1）解：①．②．③．（2）解：把中根号外的因式移到根号内：由有意义得即．将变形为再平方移入根号内：原式．【点睛】本题考查了二次根式的化简（根号外因式移入根号内）解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围再将根号外的因式平方后（注意符号）移入根号内化简．题型十已知最简二次根式求参数19．若最简二次根式和能合并则ab的值分别是（）A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【答案】D【分析】由二次根式的定义可知由最简二次根式和能合并可得由此即可求解．【详解】解：∵最简二次根式和能合并∴∴解得故选D．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义熟知定义是解题的关键．20．（22-23八年级下·安徽·月考）已知其中AB为最简二次根式且则的值为．【答案】68【分析】根据题意得出求出进而得出求出再代入求值即可．【详解】∵AB为最简二次根式且∴解得∴∴解得∴．故答案为：68．【点睛】本题考查最简二次根式根据最简二次根式的定义得出是解题的关键．题型十一同类二次根式21．（25-26八年级下·全国·课后作业）规定：若则称与是关于1的“平衡数”．(1)若3与是关于1的“平衡数”与也是关于1的“平衡数”求的值．(2)若至少有一个是有理数判断与是否是关于1的“平衡数”并说明理由．【答案】(1)(2)不是理由见解析【分析】（1）根据所给的例子可得出平衡数的求法由此可得出答案（2）分两种情况①当和均为有理数时然后对所给的进行处理求出进行验证即可②当和中一个是有理数另一个是无理数时有而此时为无理数与“平衡数”的概念矛盾由此可得到结论．【详解】（1）解：根据题意知．（2）解：和不是关于的“平衡数”．理由如下：①当和均为有理数时即解得．当时与不是关于的“平衡数”．②假设与是关于1的“平衡数”则有即将代入中得：再根据“至少有一个是有理数”的条件分类讨论：①若为有理数则也为有理数此时必有且分别解得和产生矛盾②若为无理数则必为有理数但从来看一个有理数等于一个无理数产生矛盾．综上假设不成立．故与不是关于1的“平衡数”．【点睛】本题考查了二次根式的加减法解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．22．（24-25八年级下·重庆·期中）若a和b都是正整数且和是可以合并的二次根式下列结论中正确的个数为（）①只存在一组a和b使得②只存在两组a和b使得③不存在a和b使得④若只存在三组a和b使得则的值为36或81A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查的是同类二次根式熟知同类二次根式的定义及合并方法是解答此题的关键．直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式进而得出答案．【详解】解：①和都是正整数且和可以合并的二次根式当时故结论①正确②当则当则．故结论②正确③当时当时故结论③错误④当时有无数和满足等式故结论④错误．综上所述：正确结论有①②共2个故选：B．题型十二二次根式的加减运算23．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知最简二次根式与另一个二次根式合并后的结果为则的值为．【答案】3【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的概念解题关键是明确“只有同类二次根式才能合并”从而确定被开方数相等建立方程求解．先将化为最简二次根式根据同类二次根式才能合并可知与​的最简形式是同类二次根式进而建立等式求解．【详解】解：．∵最简二次根式能与另一个二次根式合并得到∴​是的同类二次根式且是最简二次根式因此有：．故答案为：．24．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面的材料然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时我们有时候会碰到形如的式子其实我们还可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫作分母有理化．化简：(1)____________________．(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了分母有理化解题的关键是根据材料能正确地进行分母有理化．（1）将的分子和分母同时乘将的分子和分母同时乘即可化简（2）先分母有理化再根据式子的规律即可求解．【详解】（1）解：．．（2）解：原式．题型十三二次根式的混合运算25．（25-26八年级下·全国·周测）计算的结果是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了平方差公式与幂的运算性质掌握平方差公式化简二次根式是解题的关键．将指数拆分利用平方差公式简化乘积再结合幂的运算性质计算结果．【详解】解：∵,∴原式．故选：A．26．（25-26八年级下·全国·周测）下面是小华同学解答题目的过程：第一步第二步第三步．第四步小华的解题过程是否有错误？如果有请指出从第几步开始犯错并写出正确的解答过程．【答案】有错误从第二步开始犯错．过程见解析【分析】本题考查的是二次根式的混合运算熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．根据二次根式的混合运算法则即可找出错误和正确计算．【详解】解：有错误从第二步开始犯错．原式．题型十四分母有理化27．（2026八年级下·全国·专题练习）在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：．(1)化简：__________．(2)观察上面的计算过程直接写出式子：__________．(3)利用分母有理化计算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）模仿示例分子分母同乘利用平方差公式分母有理化（2）观察示例规律给的分子分母同乘​化简得到式子（3）先利用（2）的规律将每个分式分母有理化得到相邻二次根式的差合并后再与相乘计算结果【详解】（1）解：分子分母同乘：原式．（2）解：分子分母同乘​：原式．（3）解：原式．【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化掌握利用平方差公式对​型分式分母有理化及相邻二次根式差的合并规律是解题的关键．28．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明计算时想起分配律解答的过程如下：解：原式．他的解法正确吗？若不正确请写出正确的解答过程．【答案】不正确正确的解答见解析【分析】本题考查二次根式的运算熟练掌握相关运算法则是解题的关键．除法没有分配律所以小明的解法错误把分母有理化再把括号内合并同类二次根式然后根据除法法则运算．【详解】解：他的解法不正确正确解答过程为：原式．题型十五已知字母的值化简求值29．（24-25八年级下·山东日照·月考）小明在解决问题：已知求的值．他是这样分析与解的：．请你根据小明的分析过程解决如下问题：(1)化简．(2)若．求：①求的值．②直接写出代数式的值________________．【答案】(1)5(2)①5②13【分析】本题主要考查了分母有理化完全平方公式以及代数式的变形解题的关键是变形各式后利用来求解．（1）将原式分母有理化后得到规律利用规律求解（2）将a分母有理化得移项并平方得到对①②的式子进行变形后代入求值．【详解】（1）解：原式（2）①∵∴②∵∴原式∵∴原式．故答案为：13．30．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简并任取一个的值使其结果为正整数．【答案】当时原式．（的值不唯一满足结果为正整数即可）【分析】此题主要考查了二次根式的性质二次根式的加减正确化简二次根式是解题关键．直接利用二次根式的性质化简然后代入进而得出答案使其结果为正整数即可．【详解】解：原式．当时原式．（的值不唯一满足结果为正整数即可）题型十六已知条件式化简求值31．（25-26八年级下·全国·周测）已知等式成立化简的结果为（）A． B． C． D．4【答案】D【分析】先根据二次根式的除法法则确定的取值范围再利用绝对值和二次根式的性质化简式子．【详解】解：根据二次根式的除法法则由等式成立可得：解得：．化简：①：∵∴故．②∵∴．∴．故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的除法法则绝对值与二次根式的性质解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围再结合性质化简式子．32．在数学课外学习活动中嘉琪遇到一道题：已知求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：∵∴．∴（a﹣2）2＝3即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据嘉琪的解题过程解决如下问题：（1）试化简和（2）化简（3）若求4a2﹣8a+1的值．【答案】（1）（2）（3）5【分析】（1）利用分母有理化计算（2）先分母有理化然后合并即可（3）先将a的值化简为进而可得到两边平方得到然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：（1）故答案为：（2）原式（3）即．．．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后注意结果要化到最简二次根式二次根式的乘除运算要与加减运算区分避免互相干扰．题型十七比较二次根式的大小33．（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如比较和的大小我们可以把a和b分别平方．∵∴而∴．请利用“平方法”解决下面问题：(1)比较的大小c_______d（填写><或者=）(2)猜想之间的大小关系并证明．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】本题考查二次根式比较大小准确计算是解题的关键．利用平方法将根式比较转化为整数比较注意平方后的大小关系与原值大小关系一致的前提是原值为正数．【详解】（1）故答案是：．（2）理由如下：即．34．（23-24八年级下·河南漯河·月考）观察下列一组等式解答后面的问题：．(1)化简：_____________（n为正整数）(2)比较大小：_______（填“”“”或“”）(3)请根据上面的结论找规律计算下列算式的结果：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了分母有理化二次根式的加减计算正确理解题意并掌握分母有理化的方法是解题的关键．（1）根据分母有理化的方法求解即可（2）根据（1）所求可得再由可得答案（3）根据（1）所求可得据此把所求式子裂项分母有理化后计算求解即可．【详解】（1）解：（2）解：由（1）可得∵∴∴∴（3）解：∵∴∴．题型十八二次根式的应用35．（25-26八年级下·全国·周测）现将一个面积为的正方形的一组对边缩短就成为一个长方形这个长方形的面积为．【答案】60【分析】本题考查了正方形及长方形的面积公式二次根式的混合运算熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．先求出正方形的边长再根据缩短后的对边长度计算长方形的面积．【详解】解：正方形的面积为故边长为=cm．将一组对边缩短cm则缩短后的对边长度为=cm．另一组对边长度不变仍为cm．因此长方形的面积为=