人教版八年级数学下册《二次根式的加法与减法》专项测试卷（含答案）

第第页人教版八年级数学下册《二次根式的加法与减法》专项测试卷（含答案）【题型1同类二次根式】1．下列各组二次根式是同类二次根式的是（）A．与 B．与 C．与 D．与2．下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．3．下列各式与可以合并的是（）A． B． C． D．4．若最简二次根式与可以合并，则的值是（）A． B． C． D．5．已知最简二次根式与另一个二次根式合并后的结果为，则的值为．【题型2二次根式的加减运算】1．计算：2．计算：(1)．(2)．(3)．(4)．3．计算下列各式：(1)；(2)．4.计算下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)．5．计算：(1)．(2)．(3)．6．计算：(1)；(2)．

【题型3二次根式的混合运算】1．计算：2．计算：．3．计算：(1)(2)4．计算：(1)；(2)．5．计算：(1)(2)6．计算：(1)；(2)．7．已知求：的值8．已知．(1)计算________________________．(2)求的值．【题型4分母有理化】1．阅读下列解题过程：请回答下列问题：(1)观察上面的解答过程请写出_____(2)利用上面的解法请化简：2．先阅读再解答．由可以看出两个含有二次根式的代数式相乘积不含有二次根式称这两个代数式互为有理化因式在进行二次根式计算时利用有理化因式有时可以化去分母中的根号例如：请完成下列问题：(1)的有理化因式是______化简______(2)计算：______(3)比较与的大小并说明理由．【题型5已知字母的值化简求值】1．已知则化简的值是（）A．1 B． C．2 D．2．已知：则的值为．3．设则的值是．4．已知求的值．【题型6已知条件式化简求值】1．已知求代数式的值．2．已知求下列代数式的值.(1)(2).3．已知求代数式的值．4．已知求下列各式的值：(1)(2)【题型7比较二次根式的大小】1．比较大小：（填“”“”或“”）．2．比较大小：（填“>”“<”或“=”）3．比较大小．4．课堂上数学老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下：解：．因为所以所以所以所以．我们把这种比较大小的方法称为作差法．请你仿照上述方法比较下列各组数的大小：(1)和(2)和．5．先观察解题过程再解决问题．比较与的大小．解：∵∴．又∵∴．试用以上方法比较与的大小．【题型8二次根式的应用】1．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度所用的经验公式是其中v表示车速（单位：）d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m）f表示动摩擦因数．若在某次交通事故调查中测得则肇事汽车行驶的速度约为（）A． B． C． D．2．如图从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形剩余部分的面积是（）A． B． C． D．3．如图将一个半径为的圆环铁丝展开重新围成一个矩形．若矩形的长为则矩形的宽是（）A． B． C． D．4．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式即三角形的三边长分别为abc则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙如果设那么其三角形的面积．这个公式便是海伦公式也被称为“海伦一秦九韶公式”．若则此三角形面积为（）A． B． C． D．5．如图李明家有一块矩形空地已知．现要在空地中挖一个矩形水池（即图中阴影部分）其余部分种植草莓．其中矩形水池的长为宽为．(1)求矩形空地的周长．（结果化为最简二次根式）(2)已知李明家种植的草莓售价为7元且每平方米产草莓．若李明家将所收获的草莓全部销售完销售收入为多少元？【题型9复合二次根式的化简】1．阅读材料：小李同学在学习二次根式后发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方如．善于思考的小李同学进行了以下探索：设（其中abmn均为整数）则有．∴．这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：(1)当abmn均为正整数时若用含mn的式子分别表示ab得：____________(2)若且amn均为正整数求a的值．(3)化简：．2．观察下面的运算完成计算：(1)(2)．3．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题改变它的形式变换它的结构直到发现有价值的东西这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2那么如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式因此双重二次根式得以化简．材料二：在直角坐标系xOy中对于点P(xy)和Q(xy′)给出如下定义：若y则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(32)的“横负纵变点”为(32)点(﹣25)的“横负纵变点”为(﹣2﹣5)．问题：（1）点的“横负纵变点”为点的“横负纵变点”为（2）化简：1．下列二次根式与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．2．下列计算正确的是（）A． B． C． D．3．．4．计算：．5．已知分别求下列代数式的值：(1)(2)．参考答案【题型1同类二次根式】1．下列各组二次根式是同类二次根式的是（）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】B【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义进行判断即可．【详解】解：A与不是同类二次根式故该选项不合题意B与是同类二次根式故该选项符合题意C与不是同类二次根式故该选项不合题意D与不是同类二次根式故该选项不合题意．故选：B．2．下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查二次根式化简同类二次根式找出与是同类二次根式的选项即化简后被开方数均为2的二次根式即可．【详解】解：A被开方数为3故A不符合题意B被开方数为2故B符合题意C是整式不是二次根式故C不符合题意D被开方数为3故D不符合题意．故选：B.3．下列各式与可以合并的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查二次根式的性质及同类二次根式熟练掌握二次根式的性质及同类二次根式是解题的关键判断二次根式能否合并需化简为最简二次根式后根号内的数相同先将化简再逐一检查各选项化简后的结果即可．【详解】解：∵∴选项A：选项B：选项C：选项D：∴只有选项C化简后根号内为2与化简后的被开方数相同可以合并故选C．4．若最简二次根式与可以合并则的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了最简二次根式的计算准确计算是解题的关键．两个二次根式可以合并说明它们是同类二次根式因此被开方数相同先将化为最简形式得到从而确定被开方数为2．【详解】∵且与可以合并∴与是同类二次根式∴∴∴故选：A．5．已知最简二次根式与另一个二次根式合并后的结果为则的值为．【答案】3【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的概念解题关键是明确“只有同类二次根式才能合并”从而确定被开方数相等建立方程求解．先将化为最简二次根式根据同类二次根式才能合并可知与​的最简形式是同类二次根式进而建立等式求解．【详解】解：．∵最简二次根式能与另一个二次根式合并得到∴​是的同类二次根式且是最简二次根式因此有：．故答案为：．【题型2二次根式的加减运算】1．计算：【答案】【分析】本题考查了二次根式的运算熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．先去括号然后合并同类二次根式即可得出答案．【详解】解：原式．2．计算：(1)．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式再合并同类二次根式（2）先去括号再将二次根式化为最简形式最后合并同类二次根式（3）把每个二次根式化简后合并同类二次根式（4）先化简各二次根式再合并同类二次根式．【详解】（1）解：原式=．（2）解：原式=．（3）解：原式=．（4）解：原式=．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算解题关键是先将二次根式化为最简形式再准确合并同类二次根式．3．计算下列各式：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了二次根式的混合运算二次根式的性质正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先根据二次根式的性质进行化简再运算乘法最后运算加减法即可作答．（2）先根据二次根式的性质进行化简再去括号最后运算加减法即可作答．【详解】（1）解：（2）解：．4.计算下列各式：(1)(2)(3)(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．（1）先将二次根式化简成最简二次根式再进行加减运算．（2）先将二次根式化简成最简二次根式再进行加减运算．（3）先将二次根式化简成最简二次根式再进行加减运算．（4）先将二次根式化简成最简二次根式再进行加减运算．【详解】（1）解：．（2）解：．（3）解：．（4）解：．5．计算：(1)．(2)．(3)．【答案】(1)0(2)(3)【分析】本题考查了二次根式的加减运算掌握先将二次根式化为最简形式再合并同类二次根式是解题的关键．（1）先将化为最简二次根式再合并同类二次根式（2）把所有二次根式化为最简形式去括号后合并同类二次根式（3）先化简绝对值再将二次根式化为最简去括号后合并同类二次根式．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．（3）解：原式．6．计算：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算对于（1）根据乘法分配律二次根式的乘法法则计算对于（2）根据再根据完全平方公式计算然后根据二次根式的加减法计算即可．【详解】（1）解：（2）解：．

【题型3二次根式的混合运算】1．计算：【答案】【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算熟知二次根式的混合计算法则是解题的关键．首先计算完全平方公式和二次根式的乘除然后合并即可．【详解】解得：．2．计算：．【答案】【分析】本题考查了二次根式的混合运算熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据二次根式的乘除法法则计算再根据二次根式的性质化简然后计算加减即可．【详解】解：．3．计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算掌握相关运算法则成为解题的关键．（1）先计算乘法再根据二次根式的性质化简即可（2）根据平方差公式计算即可．【详解】（1）解：（2）解：4．计算：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了二次根式混合运算熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）根据完全平方公式和平方差公式结合二次根式混合运算法则进行求解即可（2）根据二次根式混合运算法则进行求解即可．【详解】（1）解：（2）解：．5．计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查的是二次根式的混合运算.（1）先计算二次根式的乘除运算再计算加减运算即可.（2）先计算二次根式的乘法运算再计算加减运算即可.【详解】（1）解：.（2）解：.6．计算：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了二次根式的混合运算熟练掌握运算法则是解题关键．（1）先化简二次根式再计算乘法然后计算加减法即可得（2）先利用乘法公式计算再计算加减法即可得．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．7．已知求：的值【答案】【分析】本题主要考查二次根式混合运算分母有理数化根据二次根式的运算法则计算即可．【详解】解：．8．已知．(1)计算________________________．(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】此题考查了二次根式的混合运算分母有理化熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）先分母有理化可得再代入计算即可求解（2）由（1）得：然后根据完全平方公式变形再代入计算即可求解．【详解】（1）解：∵∴故答案为：6（2）解：由（1）得：∴．【题型4分母有理化】1．阅读下列解题过程：请回答下列问题：(1)观察上面的解答过程请写出_____(2)利用上面的解法请化简：【答案】(1)(2)9【分析】本题考查了分母有理化的规律熟练掌握根式的分母有理化的化简方法是解题的关键．（1）观察解题过程发现分母有理化的规律进行化简求解即可（2）仿照题干中的解题过程得到的规律化简序列再将每个分数按照规律化简计算即可．【详解】（1）解：根据题意得根据分母有理化的方法分子分母同时乘以得：故答案为：（2）解：由（1）知对于每个正整数都有则．2．先阅读再解答．由可以看出两个含有二次根式的代数式相乘积不含有二次根式称这两个代数式互为有理化因式在进行二次根式计算时利用有理化因式有时可以化去分母中的根号例如：请完成下列问题：(1)的有理化因式是______化简______(2)计算：______(3)比较与的大小并说明理由．【答案】(1)(2)(3)理由见解析【分析】本题考查二次根式的有理化因式化简计算以及大小比较熟练掌握有理化因式是解题的关键．（1）利用平方差公式求有理化因式和分母有理化即可（2）通过有理化将每个项转化为差的形式利用望远镜求和计算即可（3）通过有理化将差值转化为倒数形式比较分母大小得出结论即可．【详解】（1）解：则的有理化因式是故答案为：（2）解：根据题意得：对于任意的正整数有则故答案为：（3）解：设则由于则即因此．【题型5已知字母的值化简求值】1．已知则化简的值是（）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】本题考查了二次根式的性质分式的加法熟悉掌握运算法则是解题的关键．将表达式利用二次根式的性质化简并通分可化为再代入已知条件求值．【详解】解：由可知则又∵∴．故选：C．2．已知：则的值为．【答案】2026【分析】本题考查分母有理化二次根式的混合运算代数式求值理解题中求解方法并灵活运用是解答的关键．首先将分母有理化得到然后计算展开得到的值再代入表达式即可求解．【详解】解：．故答案为：2026．3．设则的值是．【答案】【分析】本题考查了二次根式混合运算通过观察发现和互为倒数即从而将原式化简为．【详解】解：由计算所以．则．因此．故答案为：．4．已知求的值．【答案】【分析】本题考查了二次根式的化简求值准确熟练地进行计算是解题的关键．先根据已知求出和的值然后利用因式分解进行计算即可解答．【详解】解：．【题型6已知条件式化简求值]1．已知求代数式的值．【答案】【分析】本题考查的是完全平方公式二次根式的混合运算先计算再把原式化为再整体代入计算即可．【详解】解：∵∴∴．2．已知求下列代数式的值.(1)(2).【答案】(1)(2)49【分析】本题考查了乘法公式分式的加减运算二次根式的混合运算．（1）根据平方差公式将原式整理成再根据二次根式的运算法则计算即可求解（2）根据完全平方公式将原式整理成再根据二次根式的运算法则计算即可求解．【详解】（1）解：∵∴则．（2）解：∵∴则．3．已知求代数式的值．【答案】2【分析】根据完全平方公式把原式变形把的值代入计算即可．【详解】解：．【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值解题的关键是掌握完全平方公式．4．已知求下列各式的值：(1)(2)【答案】(1)(2)10【分析】（1）先求解再利用平方差公式进行因式分解再直接代入计算即可（2）先求解再利用完全平方公式进行变形求值即可.【详解】（1）解：（2）【点睛】本题考查的是二次根式的求值二次根式的加减乘法的混合运算掌握“利用平方差公式与完全平方公式进行变形求解代数式的值”是解本题的关键【题型7比较二次根式的大小】1．比较大小：（填“”“”或“”）．【答案】【分析】本题考查了比较二次根式的大小．通过比较两个正数的平方大小来确定原数的大小．【详解】解：由于所以．故答案为：．2．比较大小：（填“>”“<”或“=”）【答案】>【分析】本题考查了比较二次根式的大小．先整理根据得则即可作答．【详解】解：依题意∵∴∴即故答案为：>．3．比较大小．【答案】【分析】本题主要考查了二次根式比较大小可求出再求出进而得到据此可得答案．【详解】解：∵∴∴故答案为：．4．课堂上数学老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下：解：．因为所以所以所以所以．我们把这种比较大小的方法称为作差法．请你仿照上述方法比较下列各组数的大小：(1)和(2)和．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了实数大小的比较熟练掌握实数大小的比较方法是解题的关键．（1）先求出然后根据即可得出答案（2）先求出然后根据即可得出答案．【详解】（1）解：．．（2）解：．．5．先观察解题过程再解决问题．比较与的大小．解：∵∴．又∵∴．试用以上方法比较与的大小．【答案】【分析】本题主要考查了实数的大小比较掌握二次根式的运算法则把二次根式化为分子为1的数是解题的关键．根据示例中的方法把与化为分子为1的数再比较大小即可．【详解】解：∴又∵∴＜即：．【题型8二次根式的应用】1．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度所用的经验公式是其中v表示车速（单位：）d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m）f表示动摩擦因数．若在某次交通事故调查中测得则肇事汽车行驶的速度约为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查二次根式的实际应用直接将给定的和代入经验公式计算即可．【详解】解：∵∴∴∴．故肇事汽车行驶的速度约为故选：D．2．如图从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形剩余部分的面积是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了算术平方根在几何图形中的应用二次根式的运算等知识根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键．根据开方运算可得阴影的边长根据二次根式的乘法可得大正方形的面积根据面积的和差可得答案．【详解】解：两个空白小正方形的面积是两个空白小正方形的边长是大正方形的边长是大正方形的面积是阴影部分的面积是．故选：C．3．如图将一个半径为的圆环铁丝展开重新围成一个矩形．若矩形的长为则矩形的宽是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次根式的混合运算熟练掌握运算法则是解题的关键根据题意得出圆的周长再根据矩形公式进而求得矩形的宽．【详解】解：根据题意得：矩形的周长等于圆的周长∴矩形的周长为∵矩形的长为∴矩形的宽是．故选：B4．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式即三角形的三边长分别为abc则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙如果设那么其三角形的面积．这个公式便是海伦公式也被称为“海伦一秦九韶公式”．若则此三角形面积为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出p的值再根据海伦公式求三角形的面积即可．本题考查了二次根式的应用考查学生的计算能力掌握是解题的关键．【详解】解：∵∴则三角形的面积．故选：A5．如图李明家有一块矩形空地已知．现要在空地中挖一个矩形水池（即图中阴影部分）其余部分种植草莓．其中矩形水池的长为宽为．(1)求矩形空地的周长．（结果化为最简二次根式）(2)已知李明家种植的草莓售价为7元且每平方米产草莓．若李明家将所收获的草莓全部销售完销售收入为多少元？【答案】(1)(2)销售收入为3780元【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．（1）根据长方形周长计算公式求解即可（2）先求出种植草莓的面积再根据草莓的售价和产量进行求解即可．【详解】（1）解：由题意得长方形空地的周长为：．（2）解：由题意得（元）．答：销售收入为3780元．【题型9复合二次根式的化简】1．阅读材料：小李同学在学习二次根式后发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方如．善于思考的小李同学进行了以下探索：设（其中abmn均为整数）则有．∴．这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：(1)当abmn均为正整数时若用含mn的式子分别表示ab得：____________(2)若且amn均为正整数求a的值．(3)化简：．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）利用完全平方公式将展开即可求解（2）由（1）中所得结论结合amn均为正整数即可求解（3）据此即可求解．【详解】（1）解：∵∴．故答案为：．（2）解：∵∴由（1）中结论可知：∴∵mn均为正整数∴或当时当时∴a的值为或．（3）解：∴．【点睛】本题考查复合二次根式的化简．正确理解题意是解题关键．2．观察下面的运算完成计算：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）被开方数据此即可开方（2）首先化简然后代入原式利用相同的方法化简即可．【详解】（1）解：原式（2）则原式【点睛】本题考查了二次根式的化简把所求的式子的被开方数化成完全平方式是关键．3．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题改变它的形式变换它的结构直到发现有价值的东西这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a