2025-2026学年上海市闵行区莘庄中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年上海市闵行区莘庄中学高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.“m>1”是“方程x2m−1−yA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若存在x0使得f(x0)=f′(x0)，则称x0A.f(x)=ln(x+1) B.f(x)=e−x C.3.函数y=f(x)的图象如图所示，y=f′(x)为函数y=f(x)的导函数，则不等式f′(x)x<0的解集为(

)A.(−3,−1)

B.(0,1)

C.(−3,−1)∪(0,1)

D.(−∞,−3)∪(1,+∞)4.已知圆锥曲线Γ的对称中心为原点O，若对于Γ上的任意一点A，均存在Γ上两点B，C，使得原点O到直线AB，AC和BC的距离都相等，则称曲线Γ为“完美曲线”.现有如下两个命题：

①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”．

下列判断正确的是(

)A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题

C.①②都是真命题 D.①②都是假命题二、填空题：本题共12小题，共54分。5.已知向量a=(x,1)，b=(1,2−x)，若a//b，则实数x=

6.若某圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为

.(结果保留π)7.直线l：y=x+1与圆C：x2+y2−4x−2y=0相交所得的弦长为8.已知ABCD是正方形，点M是AB的中点，点E在对角线AC上，且AE=3EC，则∠MED的大小为

．9.函数y=lnx−12x2的驻点为

10.双曲线x2−y24=1的两条渐近线夹角的余弦值为11.已知函数f(x)=1x，则Δx→0limf(2+Δx)−f(2)Δx=12.设M(x,y)为抛物线y2=4x上任意一点，若x+2y+m的最小值为1，则m的值为

．13.若f(x)=13x3+x2−ax+b在14.已知F1为双曲线x2a2−y2b215.某同学画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体)，发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆(如图所示).若该同学所画的椭圆的离心率为12，则“切面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为

．16.定义在(0,+∞)上的函数y=f(x)满足x⋅f′(x)=x+1，且f(1)=3，当不等式f(x)≥(a−2)x+2有解，则正实数a的最大值为

．三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

已知A(1,2)、B(3,6)，动点P满足PA⋅PB=−4，设动点P的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的标准方程；

(2)求过点A(1,2)且与曲线18.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AD//BC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2．

(1)求证：平面PAC⊥平面PDC；

(2)求直线EC与平面PAC所成角的正弦值．19.(本小题15分)

为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本10万元，每年需另投入流动成本c(x)(万元)与lnx10成正比(其中x(台)表示产量)，并知当生产20台该产品时，需要流动成本ln2万元，每件产品的售价p(x)与产量x(台)的函数关系为p(x)=−x100+10x+5150(万元)(其中x≥10).记当年销售该产品x台获得的利润(利润=销售收入−生产成本)为f(x)万元．

(1)求函数f(x)20.(本小题17分)

已知双曲线Γ：x23−y212=1，A(2,2)是双曲线Γ上一点．

(1)若椭圆C以双曲线Γ的顶点为焦点，长轴长为43，求椭圆C的标准方程；

(2)设P是第一象限中双曲线Γ渐近线上一点，Q是双曲线Γ上一点，且PA=AQ，求△POQ的面积S(O为坐标原点)；

(3)当直线l：y=−4x+m(常数m∈R)与双曲线Γ的左支交于M、N两点时，分别记直线21.(本小题17分)

若函数y=f(x)在x=x0处取得极值，且f(x0)=λx0(常数λ∈R)，则称x0是函数y=f(x)的“λ相关点”．

(1)若函数y=x2+2x+2存在“λ相关点”，求λ的值；

(2)若函数y=kx2−2lnx(常数k∈R)存在“1相关点”，求k的值：

(3)设函数y=f(x)的表达式为f(x)=ax3+bx2+cx(常数a参考答案1.A

2.B

3.C

4.A

5.1

6.4π

7.28.π29.1

10.3511.−112.5

13.(−∞,3]

14.515.30°

16.3+117.解：(1)设P(x,y)，由A(1,2)、B(3,6)，

得PA=(1−x,2−y)，PB=(3−x,6−y)，

由PA⋅PB=(1−x)(3−x)+(2−y)(6−y)=−4，得(x−2)2+(y−4)2=1，

可得曲线C的标准方程为(x−2)2+(y−4)2=1；

(2)曲线C是以(2,4)为圆心，1为半径的圆，

当过点A(1,2)的直线斜率不存在时，直线方程为x=1，满足与圆C相切；

当过点A(1,2)的切线斜率存在时，设切线方程为y−2=k(x−1)，即kx−y+2−k=018.解：(1)因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，

由题知，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，所以∠BAC=∠CAD=45°，

由余弦定理得CD2=AC2+AD2−2AC⋅ADcos45°=2+4−22×2×22=2，

所以CD=2，又AC=AB2+BC2=2，所以AC2+CD2=AD2，

即AC⊥CD，因为PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，所以CD⊥平面PAC，

因为CD⊂平面PDC，所以平面PAC⊥平面PDC．

(2)由(1)知，PD在平面PAC内的射影为PC，所以CE19.解：(1)因为每年需另投入流动成本c(x)(万元)与lnx10成正比(其中x(台)表示产量)，

所以设c(x)=klnx10，

当生产20台该产品时，需要流动成本ln2万元，

代入x=20可得kln2=ln2，所以k=1，

所以f(x)=xp(x)−lnx10−10=−1100x2+5150x−lnx10，

所以f(x)=−1100x2+5150x−lnx10(x≥10,x∈N∗)；

(2)因为f(x)=−110020.解：(1)因为双曲线的方程为x23−y212=1，所以双曲线的左右顶点为(±3,0)，

设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，所以2a=43，c=3，

所以a2=12b2=a2−c2=9，

所以椭圆C的标准方程为x212+y29=1

(2)因为双曲线的渐近线方程为y=±2x，

不妨设P(t,2t)(t>0)，

又PA=AQ，所以xQ−2=2−tyQ−2=2−2t，

所以Q(4−t,4−2t)，又因为Q是双曲线上一点，

所以(4−t)23−(4−2t)212=1，解得t=94，

所以P(94,92)，Q(74,−12)，

所以|OP|=(94−0)221.解：(1)因为g(x)=x2+2x+2=(x+1)2+1在x=−1处取得极值(最值)，

由g(−1)=λ(−1)，解得λ=−1．

(2)记h(x)=kx2−2lnx(x>0)，

y=h(x)在x=x0处取得极值且h(x0)=x0，

由h′(x)=2kx−2x得2kx0−2x0=0，

所以kx0=1且k>0，

所以x0=1k，

由kx0−2lnx0=x0，得x0+2lnx0−1=0，

设φ(x)=x+2lnx−1，

所以φ′(x)=1+2x>0，

所以函数y=φ(x)在区间(0,+∞)上严格单调递增，

又φ(1)=0，

所以方程x+2lnx−1=0有唯一实数根x=1，即1k=1，

解得k=1，

当k=1时，y=x2−2lnx，x>0，

y′=2x−2x=2(x2−1)x，

令y′=0，得x=1或x=−1(舍去)，

所以在(0,1)上y′<0，y=x2−2lnx单调递减，

在(1,+∞)上y′>0，y=x2−2lnx单调递增，

所以y=x2−2lnx在x=1