2026届中学生标准学术能力诊断性测试高一下数学期末质量检测试题含解析

2026届中学生标准学术能力诊断性测试高一下数学期末质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数则＝（）A． B． C．2 D．02．单位圆中，的圆心角所对的弧长为()A． B． C． D．3．已知l，m是两条不同的直线，m⊥平面α，则“”是“l⊥m”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．在等差数列中，，则等于()A．2 B．18 C．4 D．95．在三棱锥中，已知所有棱长均为，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．6．已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值为2，则的取值范围是（）A． B． C． D．7．不等式的解集为，则不等式的解集为（）A．或 B． C． D．或8．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的值为()A． B． C． D．9．如果成等差数列，成等比数列，那么等于（）A． B． C． D．10．已知函数，给出下列四个结论：①函数满足；②函数图象关于直线对称；③函数满足；④函数在是单调增函数；其中正确结论的个数是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若一组样本数据，，，，的平均数为，则该组样本数据的方差为12．已知向量，满足，且在方向上的投影是，则实数_______.13．在中，.以为圆心，2为半径作圆，线段为该圆的一条直径，则的最小值为_________.14．不等式x（2x﹣1）＜0的解集是_____．15．从甲、乙、丙等5名候选学生中选2名作为青年志愿者，则甲、乙、丙中有2个被选中的概率为________．16．若，则满足的的取值范围为______________；三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在中，，角的平分线交于点，设，其中．（1）求；（2）若，求的长．18．设为等差数列的前项和，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）令，且数列的前项和为，求证：.19．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计的频率分布直方图如图所示．（1）估计这组数据的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）；（2）现按分层抽样从质量为[200，250)，[250，300)的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；（3）某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出以下两种收购方案：方案①：所有芒果以9元/千克收购；方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购．通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多．参考数据：．20．在三棱锥中，平面平面，，，分别是棱，上的点（1）为的中点，求证：平面平面.（2）若，平面，求的值.21．设两个非零向量与不共线，（1）若，，，求证：三点共线；（2）试确定实数，使和同向.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

先求得的值，进而求得的值.【详解】依题意，，故选B.【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查运算求解能力，属于基础题.2、B【解析】

将转化为弧度，即可得出答案.【详解】，因此，单位圆中，的圆心角所对的弧长为.故选B.【点睛】本题考查角度与弧度的转化，同时也考查了弧长的计算，考查计算能力，属于基础题.3、A【解析】

根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.【详解】当m⊥平面α时，若l∥α”则“l⊥m”成立，即充分性成立，若l⊥m，则l∥α或l⊂α，即必要性不成立，则“l∥α”是“l⊥m”充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题4、D【解析】

利用等差数列性质得到，，计算得到答案.【详解】等差数列中，故选：D【点睛】本题考查了等差数列的计算，利用性质可以简化运算，是解题的关键.5、A【解析】

取的中点，连接、，于是得到异面直线与所成的角为，然后计算出的三条边长，并利用余弦定理计算出，即可得出答案．【详解】如下图所示，取的中点，连接、，由于、分别为、的中点，则，且，所以，异面直线与所成的角为或其补角，三棱锥是边长为的正四面体，则、均是边长为的等边三角形，为的中点，则，且，同理可得，在中，由余弦定理得，因此，异面直线与所成角的余弦值为，故选A．【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，利用平移法求异面直线所成角的基本步骤如下：（1）一作：平移直线，找出异面直线所成的角；（2）二证：对异面直线所成的角进行说明；（3）三计算：选择合适的三角形，并计算出三角形的边长，利用余弦定理计算所求的角．6、D【解析】

化简函数为正弦型函数，根据题意，利用正弦函数的图象与性质求得的取值范围.【详解】解：函数则函数在上是含原点的递增区间；又因为函数在区间上是单调递增，则，得不等式组又因为，所以解得.又因为函数在区间上恰好取得一次最大值为2，可得，所以，综上所述，可得.故选：D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图像和性质应用问题，也考查了三角函数的灵活应用，属于中档题.7、A【解析】不等式的解集为,的两根为，，且，即,解得则不等式可化为解得故选8、B【解析】

化简式子得到，利用正弦定理余弦定理原式等于，代入数据得到答案.【详解】利用正弦定理和余弦定理得到：故选B【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力.9、D【解析】

因为成等差数列,所以,因为成等比数列,所以,因此.故选D10、C【解析】

求出余弦函数的周期，对称轴，单调性，逐个判断选项的正误即可．【详解】函数，函数的周期为，所以①正确；时，，函数取得最大值，所以函数图象关于直线对称，②正确；函数满足即．所以③正确；因为时，，函数取得最大值，所以函数在上不是单调增函数，不正确；故选．【点睛】本题主要考查余弦函数的单调性、周期性以及对称轴等性质的应用．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】因为该组样本数据的平均数为2017，所以，解得，则该组样本数据的方差为.12、1【解析】

在方向上的投影为，把向量坐标代入公式，构造出关于的方程，求得.【详解】因为，所以，解得：，故填：.【点睛】本题考查向量的数量积定义中投影的概念、及向量数量积的坐标运算，考查基本运算能力.13、-10【解析】

向量变形为，化简得，转化为讨论夹角问题求解.【详解】由题线段为该圆的一条直径，设夹角为，可得：，当夹角为时取得最小值-10.故答案为：-10【点睛】此题考查求平面向量数量积的最小值，关键在于根据平面向量的运算法则进行变形，结合线性运算化简求得，此题也可建立直角坐标系，三角换元设坐标利用函数关系求最值.14、【解析】

求出不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集，得到答案．【详解】由不等式对应方程的实数根为0和，所以该不等式的解集是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15、【解析】因为从5名候选学生中任选2名学生的方法共有10种，而甲、乙、丙中有2个被选中的方法有3种，所以甲、乙、丙中有2个被选中的概率为.16、【解析】

本题首先可确定在区间上所对应的的值，然后可结合正弦函数图像得出不等式的解集．【详解】当时，令，解得或，如图，绘出正弦函数图像，结合函数图像可知，当时，的解集为【点睛】本题考查三角函数不等式的解法，考查对正弦函数性质的理解，考查计算能力，体现了基础性，是简单题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）5.【解析】

（1）根据求出和的值，利用角平分线和二倍角公式求出，即可求出；（2）根据正弦定理求出，的关系，利用向量的夹角公式求出，可得，正弦定理可得答案【详解】解：（1）由，且，，，，则；（2）由正弦定理，得，即，，又，，由上两式解得，又由，得，解得【点睛】本题考查了二倍角公式和正弦定理的灵活运用和计算能力，是中档题．18、（1），（2）见解析【解析】

(1)根据等差数列的通项公式得到结果；（2）根据第一问得到，由裂项求和得到结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意得，，解得，，则，.（2）由得∴.【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。19、（1）255；（2）；（3）选择方案②获利多【解析】

1）由频率分布直方图能求出这组数据的平均数．（2）利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250）内的芒果有2个，记为a1，a2，质量在[250，300）内的芒果有3个，记为b1，b2，b3，从抽取的5个芒果中抽取2个，利用列举法能求出这2个芒果都来自同一个质量区间的概率．（3）方案①收入22950元，方案②：低于250克的芒果的收入为8400元，不低于250克的芒果的收入为17400元，由此能求出选择方案②获利多．【详解】（1）由频率分布直方图知，各区间频率为0.07，0.15，0.20，0.30，0.25，0.03这组数据的平均数．（2）利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250)内的芒果有2个，记为，，质量在[250，300)内的芒果有3个，记为，，；从抽取的5个芒果中抽取2个共有10种不同情况：，，，，，，，，，．记事件为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则有4种不同组合：，，，从而，故这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为.（3）方案①收入：（元）；方案②：低于250克的芒果收入为（元）；不低于250克的芒果收入为（元）；故方案②的收入为（元）．由于，所以选择方案②获利多．【点睛】本题考查平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）根据等腰三角形的性质，证得，由面面垂直的性质定理，证得平面，进而证得平面平面.（2）根据线面平行的性质定理，证得，平行线分线段成比例，由此求得的值.【详解】（1），为的中点，所以.又因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）∵平面，面，面面∴，∴.【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查线面平行的性质定理，考查空间想象能力和逻