专题一　微重点4　切割线放缩 -大二轮数学专题复习

微重点4切割线放缩[考情分析]在高考题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用常规方法求解，也可以用切线不等式进行放缩.导数切线放缩法是一种非常实用的数学方法，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律，使问题简单化，利用切线不等式进行求解，能起到事半功倍的效果.考点一切线放缩常见的切线放缩：∀x∈R都有ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立.∀x>-1都有ln(x+1)≤x，当且仅当x=0时等号成立.当x>0时，x>sinx；当x<0时，x<sinx.例1(2024·银川模拟)设函数f(x)=ex-m-lnx.(1)若曲线y=lnx在点(1，0)处的切线与曲线y=ex-m也相切，求m的值；(2)当m≤2时，证明：f(x)>0恒成立.(1)解由y=lnx，得y'=1x，当x=1时，y'所以曲线y=lnx在点(1，0)处的切线斜率为1，所以曲线y=lnx在点(1，0)处的切线方程为y=x-1，由y=ex-m，得y'=ex-m，设曲线y=ex-m与直线y=x-1相切于点(x0，x0-1)，则ex0-m=1,(2)证明方法一因为m≤2，所以ex-m≥ex-2，所以f(x)=ex-m-lnx≥ex-2-lnx，令h(x)=ex-2-lnx，x∈(0，+∞)，所以h'(x)=ex-2-1令g(x)=ex-2-1x，x∈(0，+∞所以g'(x)=ex-2+1x2所以g(x)即h'(x)在(0，+∞)上单调递增，因为h'(1)=1e-1<0，h'(2)=1-12所以∃x0∈(1，2)，使得h'(x0)=ex0-2-1x当x∈(0，x0)时，h'(x)<0，当x∈(x0，+∞)时，h'(x)>0，所以h(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增，所以h(x)min=h(x0)=ex0-2-ln由①得ex0-2=1x0所以h(x0)=ex0-2-lnx0=1x0+x因为x0∈(1，2)，所以h(x)min=h(x0)>0，所以ex-2-lnx>0，故ex-m≥ex-2>lnx，所以f(x)>0.方法二因为m≤2，所以ex-m≥ex-2，所以f(x)=ex-m-lnx≥ex-2-lnx，由(1)知曲线y=ex-2和y=lnx的公切线方程为y=x-1，设φ(x)=ex-2-x+1，x∈R，则φ'(x)=ex-2-1，当x<2时，φ'(x)<0，当x>2时，φ'(x)>0，所以φ(x)在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，所以φ(x)≥φ(2)=0，故ex-2≥x-1，当且仅当x=2时等号成立.令m(x)=x-1-lnx，x∈(0，+∞)，所以m'(x)=1-1x=当x∈(0，1)时，m'(x)<0，当x∈(1，+∞)时，m'(x)>0，所以m(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，所以m(x)≥m(1)=0，故x-1≥lnx，当且仅当x=1时等号成立，所以ex-2≥x-1≥lnx，且两等号不能同时成立，所以ex-2>lnx，即ex-2-lnx>0，即证得f(x)>0.[规律方法]该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的问题(拆成两个函数)，两函数有斜率相同的切线，这是切线放缩的基础，引入一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传递性即可，难点在于合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线.跟踪演练1已知函数f(x)=ex-x2(1)若直线y=x+a为f(x)的切线，求a的值；(2)若对∀x∈(0，+∞)，恒有f(x)≥bx，求b的取值范围.解(1)设直线y=x+a与曲线f(x)相切于点(x0，y0)，因为f'(x)=ex-x，则f'(x0)=ex0-x0解得x0=0，则y0=f(x0)=0，即0+a=0，解得a=0.(2)因为f(0)=0，且曲线f(x)在x=0处的切线方程为y=x.故可猜测当x∈(0，+∞)时，f(x)的图象恒在切线y=x的上方，即证当x∈(0，+∞)时，f(x)>x，即证当x∈(0，+∞)时，ex-x22-x设h(x)=ex-x22-x则h'(x)=ex-x-1，设P(x)=h'(x)=ex-x-1，则P'(x)=ex-1，因为P'(x)>0在(0，+∞)上恒成立，所以h'(x)在(0，+∞)上单调递增，又因为h'(0)=0，所以当x∈(0，+∞)时，h'(x)>0，所以h(x)在(0，+∞)上单调递增，所以当x∈(0，+∞)时，h(x)>h(0)=0，即ex-x22-x即ex-x22-1>由此可得，当x∈(0，+∞)时，只需x≥bx即可，解得b≤1.故b的取值范围为(-∞，1].考点二双切线放缩例2(2024·河南省名校联盟模拟)已知b>0，函数f(x)=(x+a)ln(x+b)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为xln2-y-ln2=0.(1)求a，b的值；(2)若方程f(x)=1e(e为自然对数的底数)有两个实数根x1，x2，且x1<x2，证明：x2-x1<1+1e+(1)解因为f'(x)=x+ax+b+ln(所以f'(1)=1+a1+b+ln(1+b)=ln由题意知f(1)=0，所以f(1)=(1+a)ln(1+b)=0，又因为b>0，联立(1+解得a(2)证明由(1)可知f(x)=(x-1)ln(x+1)，x>-1，f(0)=0，f(1)=0，f'(x)=1-2x+1+ln(x+1)，设u(x)=f'(x则u'(x)=2(x+1)所以u(x)即f'(x)在(-1，+∞)上单调递增.又f'(0)=-1<0，f'(1)=ln2>0，所以存在x0∈(0，1)，使得f'(x0)=0，且当x∈(-1，x0)时，f'(x)<0，当x∈(x0，+∞)时，f'(x)>0，故f(x)在(-1，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增.由(1)知f(x)的图象在点(1，0)处的切线方程为xln2-y-ln2=0，令h(x)=(x-1)ln2，F(x)=f(x)-h(x)=(x-1)ln(x+1)-(x-1)ln2，则F'(x)=f'(x)-h'(x)=f'(x)-ln2，因为f'(x)在(-1，+∞)上单调递增，所以F'(x)在(-1，+∞)上单调递增.又F'(1)=0，所以当-1<x<1时，F'(x)<0，当x>1时，F'(x)>0.所以F(x)在(-1，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增.故F(x)≥F(1)=0，即(x-1)ln(x+1)≥(x-1)ln2，当且仅当x=1时等号成立.因为方程f(x)=1e有两个实数根x1，x2，且x1<x2也就是f(x2)=f(x1)=1e>f(1)=f(0)=0，且注意到f(x)在(1，+∞)所以-1<x1<0<x0<1<x2，所以(x2-1)ln(x2+1)>(x2-1)ln2，即f(x2)>h(x2).设方程h(x)=1e的根为x2'则x2'=1+1又h(x)在(-1，+∞)上单调递增，所以h(x2')=f(x2)>h(x2)，故x2'>x2.①易知f(x)的图象在坐标原点处的切线方程为y=-x，令g(x)=-x，T(x)=f(x)-g(x)=(x-1)ln(x+1)+x，则T'(x)=f'(x)-g'(x)=f'(x)+1，因为f'(x)在(-1，+∞)上单调递增，所以T'(x)在(-1，+∞)上单调递增.又T'(0)=0，所以当-1<x<0时，T'(x)<0，当x>0时，T'(x)>0，所以T(x)在(-1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增.所以T(x)≥T(0)=0，(x-1)ln(x+1)≥-x，当且仅当x=0时等号成立.因为-1<x1<0，所以(x1-1)ln(x1+1)>-x1，即f(x1)>g(x1).设方程g(x)=1e的根为x1'，则x1'=-又g(x)在(-1，+∞)上单调递减，所以g(x1')=f(x1)>g(x1)，所以x1'<x1，从而-x1'>-x1.②由①②可知x2-x1<x2'-x1'=1+1e+1[规律方法]含有两个零点的f(x)的解析式(可能含有参数)，告知方程f(x)=b有两个实根x1，x2，要证明两个实根之差小于(或大于)某个表达式.求解策略是求出f(x)在两个零点处(有时候不一定是零点处)的切线方程(有时候不是找切线，而是找过曲线上某两点的直线)，然后严格证明曲线f(x)在切线(或所找直线)的上方或下方，进而对x1，x2作出放大或者缩小，从而实现证明.跟踪演练2已知f(x)=x-xlnx-1，记f(x)在x=1e处的切线方程为y=g(x(1)证明：g(x)≥f(x)；(2)若方程f(x)=m有两个不相等的实根x1，x2(x1<x2)，证明：x1-x2>2m+2-e-1e证明(1)f(x)=x-xlnx-1的定义域为(0，+∞)，∵f'(x)=1-(lnx+1)=-lnx，∴f'1e=1f1e=1e+1e-1=∴f(x)在x=1e处的切线方程为y-2e-1=则g(x)=x+1e令F(x)=g(x)-f(x)=x+1e-1-(x-xlnx-1)=1e+xlnx，x∈(0，+∞则F'(x)=1+lnx，令F'(x)=0，解得x=1∴当0<x<1e时，F'(x)<0，F(x)在0当x>1e时，F'(x)>0，F(x)在1∴F(x)min=F1e=0∴F(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，即g(x)≥f(x).(2)由(1)知f'(x)=-lnx，令f'(x)=0，得x=1，∴当0<x<1时，f'(x)>0，f(x)在(0，1)上单调递增，当x>1时，f'(x)<0，f(x)在(1，+∞)上单调递减，∴f(x)max=f(1)=0，当x→0时，f(x)→-1；当x>e时，f(x)<f(e)=-1，∵方程f(x)=m有两个不相等的实根x1，x2(x1<x2)，∴-1<m<0，且0<x1<1<x2<e，∵f'(e)=-1，f(e)=-1，∴函数f(x)在x=e处的切线方程为y-(-1)=-(x-e)，即y=-x+e-1.下证f(x)≤-x+e-1，令h(x)=-x+e-1-f(x)=-x+e-1-(x-xlnx-1)=-2x+xlnx+e，x∈(0，+∞)，则h'(x)=-2+lnx+1=-1+lnx，令h'(x)=0，解得x=e，∴当0<x<e时，h'(x)<0，h(x)在(0，e)上单调递减，当x>e时，h'(x)>0，h(x)在(e，+∞)上单调递增，∴h(x)min=h(e)=0，∴h(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，即f(x)≤-x+e-1，当且仅当x=e时等号成立.∵1<x2<e，∴m=f(x2)<-x2+e-1，即-x2>m-e+1，由(1)知，f(x)≤g(x)=x+1e-1∵0<x1<1，∴m=f(x1)≤x1+1e-1即x1≥m-1e+1，∴x1-x2>2m+2-e-1专题强化练(分值：30分)1.(13分)已知函数f(x)=ln(x+1).(1)证明：当x>-1时，f(x)≤x；(5分)(2)已知n∈N*，证明：e1+12+1证明(1)令h(x)=ln(x+1)-x(x>-1)，则h'(x)=1x+1当-1<x<0时，h'(x)>0，则函数h(x)在(-1，0)上单调递增，当x>0时，h'(x)<0，则函数h(x)在(0，+∞)上单调递减，∴h(x)≤h(0)=0，即f(x)≤x.(2)由(1)可得ln(x+1)≤x，当且仅当x=0时取等号，令x=1n，n∈N∴1n>ln1n+11+12+13+…+1n>ln21+ln32+ln43+…+lnn即1+12+13+…+1n>ln(n则e1+12+13又由(1)知，ln(x+1)≤x，当且仅当x=0时取等号，令x=n+1，又n∈N*，∴ln(n+2)<n+1，②由①②得，e1+12+12.(17分)[牛顿法求函数的零点]牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：如图，设r是f(x)=0的根，首先选取x0作为r的初始近似值，若f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与x轴相交于点(x1，0)，称x1是r的一次近似值；用x1替代x0重复上面的过程，得到x2，称x2是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：x0，x1，x2，…，xn，….在一定精确度下，用四舍五入法取值，当xn-1，xn(n∈N*)的近似值相等时，该值即作为函数f(x)的一个零点r.(1)若f(x)=x3+3x2+x-3，当x0=0时，求方程f(x)=0的根的二次近似值(保留到小数点后两位)；(4分)(2)求函数g(x)=ex-3在点(2，g(2))处的切线方程，并证明：ln3<1+3e2；(5(3)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取曲线的切线或割线.若h(x)=x(1-lnx)，关于x的方程h(x)=a的两个根分别为x1，x2(x1<x2)，证明：x2-x1>e-ea.(8分)(1)解f'(x)=3x2+6x+1，当x0=0时，f'(0)=1，f(0)=-3，f(x)在点(0，-3)处的切线方程为y+3=x，与x轴的交点横坐标为(3，0)，所以x1=3，f'(3)=46，f(3)=54，f(x)在点(3，54)处的切线方程为y-54=46(x-3)，与x轴的交点为4223，0，所以方程f(x)(2)解由题意可知，g(2)=e2-3，g'(x)=ex，g'(2)=e2，所以g(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y-(e2-3)=e2(x-2)，即e2x-y-e2-3=0.设m(x)=lnx-1-xe2，则m'(x)=1x-显然m'(x)在(1，+∞)上单调递减，令m'(x)=0，解得x=e2，所以当x∈(1，e2)时，m'(x)>0，则m(x)在(1，e2)上单调递增，当x∈(e2，+∞)时，m'(x)<0，则m(x)在(e2，+∞)上单调递减，所以m(x)≤m(e2)=lne2-1-e2e当且仅当x=e2时等号成立，所以m(3)<m(e2)，即ln3-1-3e2<0，所以ln3<1+(3)证明