2025-2026学年广东广州某中学九年级（上）期中数学试题（含答案）

2025学年第一学期广州市南武教育集团联合练习题

九年级数学

一、单选题（每小题3分，共30分）

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

2.抛物线），=-x2的顶点坐标是（）

A.（-1,0）B.（0,-1）

3.下列关于x的方程一定有实数解的是（）

A.X?一丫+2=0B.x2+x+4=0

C.缶2_22=0D.x2-2x-\=0

4.用公式法解一元二次方程3/+3=2%时，首先要确定a,b,c的值，下列选项正确的是（）

A.。=3,b=2,c=3B.a=—3»b=2,c=3

C.c/=3,b=2,c=—3D.。=3,b=-2,c=3

5.已知一元二次方程X2一8工一6二0，配方后可化为（）

A.(X-4)2=10B.(X-4)2=22

C.(X+4)2=22D.(X+4)2=10

6.二次函数y=/—2V—3的图象如图所示，则函数值歹<0时，x的取值范围是（）

A.-1<x<3B.x<-\C.x>3D.x<-l或x>3

3

7.如图所示的是一个中心对称图形，力为对称中心，若NC=90。，AC=\BC=-,则8B'长为()

2

初中

C1B'

C.8D.V13

8.已知人C互为相反数，则关于X的方程。/+5工+。=0（〃工0）根的情况（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.有一根为5

9.己知二次函数+6x+c（〃工0）的图象如图所示，给出以下结论：®a+b+c<0；②a-b+cvO；

③b+2〃<0：®abc>0,其中所有正确结论的序号是（）

A.③④B.②③C.①④D,①②③

10.如图，在平面直角坐标系中，点力的坐标为（-8,0）,点C的坐标为（0,6）,将矩形048。绕O按顺时

针方向旋转a度得到CU0。'，此时直线。/、直线A'C分别与直线gC相交于点P、Q.当450Va490。，

二、填空题（每小题3分，共18分）

11.在平面直角坐标内，点历（。,3）,与点N（l/）关于原点对称，那么。+6=

12.已知一元二次方程f+x—3=0的两个实数根为〃7,“，则〃?+〃=

初中

13.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成45。角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不

考虑空气阻力，小球的飞行高度〃（单位：m）与飞行时间/（单位：s）之间具有函数关系。=-3〃+12/•小

球飞行过程中能达到的最大高度为m.

电力---------

14.若不，々是方程一-2工一9=0的两个实数根，则才一3$72=-

15.二次函数yudY+hx+dowO）的图象过点4（0,〃?），8（1,一m），C（2,/?）,0（3,-〃。，其中〃?，〃为

常数，则一的值为.

n

16.如图，抛物线歹二分2+c与x轴交于％,8两点，顶点为。，点尸为抛物线上，且位于x轴下方，直线尸d,

OF+OF

PB与y轴分别交于E,尸两点，当点户运动时，——=

0C

三、解答题（9小题，共72分）

17.解下列方程：

（1）X2+8X=0：

（2）2X2-4X-6=0.

18.已知关于x的方程/+（%+1）工+左-2=0.求证：不论攵取何实数，此方程都有两个不相等的实数根.

19.如图，在平面直角坐标系中，VX6C的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均

为1个单位长度.

初中

（1）将V力8c浇点。逆时针旋转90。、画出旋转后得到的△44G；

（2）画出△4%G、使层G与V43c关于y轴对称：

（3）△44G与层G是否成中心对称？（答出“是”或“否”即可）

20,某村2020年的人均收入为20000元，2022年的人均收入为24200元，求2020年到2022年该村人均收入的

年平均增长率.

21.已知抛物线》=/+2〃?工-：m2（〃7>0）,与x轴的交点4,8（点4在点8的左侧）.

（1）若阳=4时，求点力,4的坐标.

⑵若AB=6,求/〃的值及抛物线的对称轴.

22.2022年，在全球疫情蔓延的情况下，北京成功举办冬奥会，为世界人民交上了一份满意的答卷.其中，滑

雪运动备受人们青睐.下面是某滑雪训练场滑雪运动中的一张截图，某滑雪人员在空中留下了一道完美的曲线,

经研究该曲线呈抛物线形状.某数学兴趣小组对此做出了如下研究：滑雪人员在距滑雪台（与水平地面平行）2m

高的尸处腾空滑出，在距P点水平距离为4m的地方到达最高处，此时距滑雪台的高度为6m.以滑雪台所在

直线为x轴，过点尸作x轴的垂线为y轴建立平面直角坐标系.完成以下问题：

滑雪台

图1

（1）求该抛物线的解析式.

（2）当滑雪人员距滑雪台高度为2m,则他继续滑行的水平距离为多少米时，可以使他距滑雪台的高度为0m.

23.解决下列问题:

初中

U)已知4、满足一5々+3=0，加_5匕+3=0，求3的值.

ba

x=x.(x=x,fx2-v+k=O

(2)结合方程组的相关知识，解决问题：已知《।和〈’是关于X，歹的方程组〈”的两

〔尸X［歹=必"一歹=1

个不相等的实数解.问：是否存在实数在，使得必为-二-±=2?若存在，求出左的值，若不存在，请说明理

X2X1

由.

24.如图，VdBC中，N4CB=90。，将V/8C绕点C顺时针旋转得到△OEC,点。落在线段月3上，连接

BE.

(1)求证：。。平分//。£；

(2)试判断线段8E与线段的位置关系，并说明理由:

(3)若BE=BF,请你求出/力的度数.

25.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=ad+bx+3与x轴交于4(-1,()),8(3,())两点，与^轴交于点。.

(2)如图2,连接4C,8C,直线8C上方的抛物线上是否存在点。，使NC80+N4CO=45。，若存在，

请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)如图3,连接/C,将AO/IC绕着点O顺时针旋转，记旋转过程中的ACMC为VO4U,点力的对应点为

点点C的对应点为点C'.当点4刚好落在线段4C上时，将VOHC沿着直线8C平移，在平移过程中,

直线OC与抛物线对称轴交于点E,与x轴交于点尸，设点区是平面内任意一点，是否存在点R,使得以

8、E、F、”为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点勺坐标；若不存在，请说明埋由.

初中

2025学年第一学期广州市南武教育集团联合练习题

九年级数学

一、单选题（每小题3分，共30分）

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别.根据轴对称图形利中心对称图形的概念，对各选

项分析判断即可得解•，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个

图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿•条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对

称图形.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，

故选：D.

2.抛物线y=的顶点坐标是（）

A.（-1,0）B.（0,-1）C.（0,0）D.（1,-1）

【答案】C

【解析】

【分析】根据二次函数的性质即可得到答案.

【详解】解：二次函数夕=-丁的图象的顶点坐标为（0,0）.

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键.

3.下列关于x的方程一定有实数解的是（）

A.A2-x+2=0B.x2+x+4=0

C.-2x+l=0D.，-2x-l=0

初中

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程以2+8+。=()(。/())，若

A=^-4^>0.则方程有两个不相等的实数根，若△=/-4。。=0,则方程有两个相等的实数根，若

△=/-44。<0,则方程没有实数根，据此求解即可.

【详解】解：A、A=(-l)2-4x2xl=-7<0,故原方程无实数解，不符合题意；

B、A=『-4x4xl=-15<0，故原方程无实数解，不符合题意；

C、A=(-2)2-4x72x1=4-472<0,故原方程无实数解，不符合题意；

D、A=(-2)2-4xlx(-l)=8>0,故原方程有两个不相等的实数解，符合题意；

故选：D.

4.用公式法解一元二次方程3/+3=2x时，首先要确定。，4C的值，下列选项正确的是()

A.a=3,b=2,c=3B.a=—3»b=2,c=3

C.a=3,分=2,c=-3D.a=3,b=-2,c=3

【答案】D

【解析】

【分忻】本题主要考查了一元一次方程的一•般式，将原方程化为依2+/zx+c=0的形式即可得到答案.

【详解】解：原方程化为一般式为3/—2X+3=0，

a=3»h=-21c=3.

故选D.

5.已知一元二次方程/一8,丫一6=0,配方后可化为()

A.(x-4)2=10B.(X-4)2=22

C.(x+4)2=22D.(X+4)2=10

【答案】B

【解析】

【分析】本题考杳了配方法解一元二次方程，掌握完全平方公式和配方法的步骤并正确配方是关键.根据配方

法的步骤进行即可.

初中

【详解】解：X2-8JT-6=0,

**x~-8x+16—16—6=0，

,，x~—8x+16=22»

2

.\(A-4)=22

故选：B.

6.二次函数>=--2工-3的图象如图所示，则函数值y<0时，x的取值范围是（）

B.X<-1C.x>3D.工<一1或%>3

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查二次函数与x轴的交点，利用交点求不等式的解集.先观察图象确定抛物线），=/一8一3

的图象与x轴的交点，然后根据歹<0时，所对应的自变量工的变化范围.

【详解】解：•・•二次函数y=--%-3的图象如图所示.

・・・图象与x轴交在（-1,0）,（3,0）,

・•・当歹<0时，即图象在X轴下方的部分，此时X的取值范围是：—1<X<3.

故选：A.

3

7.如图所示的是一个中心对称图形，力为对称中心，若NC=90。，AC=\>BC=-,则3B'长为（）

2

初中

中

C.8D.V13

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查中心对称图形的性质以及勾股定理，根据中心对称图形的性质可得=根据勾股定

理可得48的长，进而得到88'的长•解题的关键是掌握中心对称图形的性质：①成中心对称的两个图形全等;

②成中心对称的两个图形，其对称点所连线段都经过对称中心且被对称中心平分；③成中心对称的两个图形，

其对应线段平行（或在同一条直线上）且相等.

【详解】解：••・/C=90。，AC=l,BC=-,

2

:.AB=[AC2+BC2=1+弓'=半，

•・•如图是一个中心对称图形，力为对称中心，

AVABC与△4B'C关于点A对称,

・•・AB'=AB,

・•・=2/8=2x江二巫,

2

即BB'长为屈.

故选：D.

8.已知a、c互为相反数，则关于式的方程at2+5x+c=O（〃H0）根的情况（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.有一根为5

【答案】A

【解析】

【分析】由一元二次方程根的判别式即可得到答案.

【详解】解：关于x的方程。/+5工+。=0（。工0）根的判别式为25—4〃。，

:。、c互为相反数

初中

:.ac<0

:.25-4ac>0.

故选：A.

【点睛】本题考查从根的判别式判断方程根的情况，熟练掌握相关知识是解题的关键.

9.已知二次函数y=af+bx+c(〃00)的图象如图所示，给出以下结论：①。+8+C<()：②Q-b+cvO；

③b+2〃<0：®abc>0,其中所有正确结论的序号是()

A.③④B.②③C.①④D.①②③

【答案】B

【解析】

【分析】根据当x=l时，><0,当工=一1时，y>0,即可判定①由抛物线的开口方向判断。的符号，

由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴的位置判断b的符号即可判断③④.

【详解】解：由图象可知，当x=1时，y=o,

，a+b+c=O,故①错误：

当x=-1时，则y<0,

/.a-b+c<0.故②正确；

•・•抛物线开口向下，于y轴交于正半轴，

•c>0,

V抛物线对称轴在直线x=O和直线x=1之间，

/.0<--—<1,-b>2a

la

.*./)>0,

，力+2。<0,ahc<0，故③正确，④错误；

・•・正确结论的序号为②③.

故选:B.

【点睛】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的

关键.

初中

10.如图，在平面直角坐标系中，点4的坐标为（一8,0）,点C的坐标为（0,6）,将矩形。ac绕。按顺时

针方向旋转。度得到04夕C,此时直线。T、直线9C分别与直线8C相交于点尸、Q.当45。〈。090。，

【答案】B

【解析】

【分析】过点。作于H，连接O。，构造直角三角形，运用勾股定理求得尸C的长，进一步求得线

段8P的长度.

【详解】解：・・・45°VaW90。,

・••点尸在点4的右侧.如图，过点。作。〃1_。力,于〃，连接3,则。"=OC'=OC.

•:Sg=%6OC，S3=；OP.QH,

:.PQ=OP.

设8〃=x,

•・,BP=；BQ,

：,BQ=2x.

则OP=P0=32-3P=x,PC=8—x.

在中，根据勾股定理知，PC2+OC2=OP2即（8-工丫+62=/,

25

解得'=

PQ=BP=^25-

故选：B.

初中

【点睛】此题考直了坐标与图形的变化--旋转，特别注意在旋转的过程中的对应线段相等，能够用一个未知数

表示同一个直角三角形的未知边，根据勾股定理列方程求解.

二、填空题（每小题3分，共18分）

11.在平面直角坐标内，点M3,3）,与点N。/）关于原点对称，那么。+力=.

【答案】-4

【解析】

【分析】两点关于原点对称，则横坐标数值互为相反数，纵坐标数值互为相反数，代入计算即可.

【详解】解：由题意得

a=-1,6=-3

a+b=（-1）+（-3）=-4

故答案为：—4

【点睛】本题考查了关于原点对称n勺点的坐标，利用两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数

是解题关键.

12.已知一元二次方程—+工_3=0的两个实数根为〃八〃，则〃2+.

【答案】-1

【解析】

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解.

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是：熟练掌握元二次方程根与系数的关系.

【详解】解：:一元二次方程/+工一3=0的两个实数根为加，〃，

1,

m+n=一一=-1,

1

故答案为：-1.

13.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成45。角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不

考虑空气阻力，小球的飞行高度〃（单位：m）与飞行时间/（单位：s）之间具有函数关系力=-3『+12/.小

初中

球飞行过程中能达到的最大高度为m.

方---------

【答案】12

【解析】

【分析】本题考查二次函数的应用.把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最值.

【详解】解：/?二一3〃+⑵=一3（-2『+12,

V67=-3<0,

・•・当，=2时，〃有最大值，最大值为12,

・••小球飞行的最大高度是12m.

故答案为：12.

14.若看，々是方程一一2工一9二0的两个实数根，则玉2-3%-々=.

【答案】7

【解析】

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，利用根与系数的关系得到X,+X2=2,

并由方程根的定义得到X；=2%+9，代入化简求值即可.

【详解】解：当，匕是方程/-2工-9=0的两个实数根，

，X：-2玉-9=0,$+%=2,

X]2=2玉+9,

X；-3X|-x2

=2x}+9-3x）-x2

=9-（^+x2）

=9-2

=7,

故答案为：7.

15.二次函数J=ox2+bx+c（a工0）的图象过点C（2,w）,。（3,一〃?），其中加，〃为

初中

常数，则%的值为.

n

3

【答案】-1##一0.6

【解析】

【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把力、B、。的坐标代入求出心

b、c,然后把。的坐标代入可得出“、〃的关系，即可求解.

【详解】解:把4(0,〃?)，5(1,-w),。(3,-〃?)代入、=4工2+6+°(。。0),

c=m

得〈4+力+c=-m

9a+3b+c=-m

2

a=­m

3

8

解得/b=--m,

3

c=tn

28

y--nix2—x+m,

33

728

把C(2,〃)代入_＞，=：mx'——nix+n\,

3

28

得〃=—机x2'——mx2+m,

33

.5

・・〃=~~,n»

mm3

-=-----=---

故答案为：一|.

16.如图，抛物线与x轴交于N,8两点，顶点为C,点尸为抛物线上，且位于x轴下方，直线尸力,

OE+OF

与y轴分别交于石，尸两点，当点户运动时,

OC

初中

【答案】2

【解析】

【分析】本题考查了二次函数图象与x轴交点，待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，求

出从尸点坐标是解题关键.

设。（加,〃），依题意得，可设/（一40）,8（40）,用待定系数法求得的：y=」一x+—匚

m+am+d

ndF用clndndOE+OF2nd2

从而求得OE=,OF=则一^二（.々2）（-c）'把

m-dm+dm-d

OE+OF2nd2

4（—d,0）代入y=ad+c,得二一£,再代入计算即可求解.

a℃一（疗_/）（_。）

【详解】解：设尸（〃?,〃），依题意得，可设/（--,0）,8（乩0）,

设直线AP的解析式为V=k.x+b1,

把尸（加1）,力（一d,0）代入，得

n

kni+b=nm+d

l}解得:

-k^d+4=0nd

m+d

.nnd

“:kK+3

nd

当x=0时,y=

m+d

•・•点E在y轴负半轴上,

nd

二.OE=

m+d

设直线BP的解析式为y=k2x+

初中

把尸（加,〃）,3（d,0）代入,得

k2=~^—j

kjn+b、=nm-d

忆地二。‘解得：

.nd

h2=-------j

m-a

BPm-dm-d

当x=0时，y=——竺L

m-d

•••点尸在y轴负半轴上，

nd

・•・OF=

m-d

OE+OF2nd?

,.0c’

把4(一c/,0)代入y=Qf+c,得aj+c=o,

：.d*2=--.

a

OE+OF(-c)-2〃

,/n-ciirr+c，

OE+OF_2(am2+c）

------v=2

oc~

故答案为：2.

三、解答题（9小题，共72分）

17.解下列方程：

⑴X2+8X=0;

（2）2X2-4X-6=0.

【答案】（1）%=0,々=-8

(2)%|=-1,x2=3

初中

【解析】

【分析】本题主要考查了解一元二次方程：

(1)利用因式分解法解方程即可；

(2)利用因式分解法解方程即可.

【小问1详解】

解：・・・/+8%=0，

/.x(x+8)=0,

.•・x=0或x+8=0,

解得玉=0,x2=-8；

【小问2详解】

解：・・・2/—4x-6=0，

・・・f_2x-3=0，

/.(A-3)(X+1)=0,

X-3=0B£X+1=0»

解得X=-1,x2=3.

18.已知关于x的方程+I+%-2=0.求证：不论％取何实数，此方程都有两个不相等的实数根.

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据根的判别式即可求出答案.

【详解】证明：。2—440=(%+1)2—4(攵-2)=%2-2%+9=(%—1)?+8,

V(A-1)2>0,

A(^-l)2+8>0,即〃_4心0，

・••不论左取何值，方程必有两个不相等的实数根.

【点清】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式.

19.如图，在平面直角坐标系中，V48。的三个顶点都在格点(小正方形的顶点)上，每个小正方形的边长均

为1个单位长度.

初中

（1）将V48C浇点。逆时针旋转90。、画出旋转后得到的△4B|G；

（2）画出△4%G、使△a与G与v43c关于y轴对称：

（3）△44G与△力?层G是否成中心对称？（答出“是”或“否”即可）

【答案】（1）见详解（2）见详解

（3）否

【解析】

【分析】本题考查网格作图-中心对称和旋转变换、轴对称，熟练掌握中心对称、轴对称的定义和旋转的性质

是解题的关键.

（1）利用网格的特点和旋转变换的性质画出点力、B、C的对称点4、4、G，依次连接即可；

（2）利用网格的特点和轴对称的性质画由点力、B、c1的对称点为、生、G，依次连接即可：

（3）依次连接44，4坊,。。2交于一点，可得442〃4层〃。。2,即可解答.

【小问1详解】

解：如图，即为所求；

初中

A1小问2详解】

X

解：如图，层G即为所求；

【小问3详解】

解：如图，依次连接44,4色,。。2,可得44〃片与〃℃2,故△44G与△4色。2不成中心对称.

20.某村2020年的人均收入为20000元，2022年的人均收入为24200元，求2020年到2022年该村人均收入的

年平均增长率.

【答案】2020年到2022年该村人均收入的年均增长率为10%

【解析】

【分析】设2020年到2022年该村人均收入的年平均惜长率为x,根据2020年到2022年的人均收入，即可得

出关于x的一元二次方程，解之即可.

【详解】解：设2020年到2022年该村人均收入的年平均惜长率为x,根据题意，得

20000(1+x)2=24200

解得A-,=0.1=10%,x2=-2.1（不合题意，舍去）

初中

答；2020年到2022年该村人均收入的年均增长率为10%.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

21.已知抛物线)，=/+2〃a一；也2(〃?>0),与x轴的交点4,8(点/在点片的左侧).

(1)若〃7=4时，求点48的坐标.

(2)若48=6,求〃，的值及抛物线的对称轴.

【答案】(1)^(-10,0),8(2,0)

(2)“7=2,直线x=-2

【解析】

【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，求二次函数的对称轴，熟知二次函数的相关知识是解

题的关键.

(1)求出函数值为0时的值即可得到答案；

2

(2)令函数值为0得到—十2m:—/=。，贝|］町+勺=-2"?,xAxB=-^m,根据44一6得到

\XA-XB\=6,则可得方程4〃/=62-5〃」,解方程求出〃，的值，进而求出对称轴即可.

【小问1详解】

解：当〃?=4时，抛物线解析式为卜=/+8、-20,

在^=X2+8工一20中，当y=0时，/+8x—20=0，

解得x=2或x=-10,

・・・力(一10,0),8(2,0)；

【小问2详解】

解：在y=1+2加工一2〃尸("7>0)中，当y=0时，x2+2mx--m2=0,

44

5,

xA+xB=-2ni,xAxK=-

*.*AB=6,

，区f1=6,

.・.(/+九『=(心-)2+4x3，

：•4nr=62-5m2，

解得〃?=2或〃?二一2(舍去),

初中

・.•抛物线的对称轴为直线x=-——=———=-2.

2x12x1

22.2022年，在全球疫情蔓延的情况下，北京成功举办冬奥会，为世界人民交上了一份满意的答卷.其中，滑

雪运动备受人们青睐.下面是某滑雪训练场滑雪运动中的一张截图，某滑雪人员在空中留下了一道完美的曲线,

经研究该曲线呈抛物线形状.某数学兴趣小组对此做出了如下研究：滑雪人员在距滑雪台（与水平地面平行）2m

高的。处腾空滑出，在距0点水平距离为4m的地方到达最高处，此时距滑雪台的高度为6m.以滑雪台所在

直线为x轴I,过点尸作x轴的垂线为j，轴建立平面直角坐标系.完成以下问题：

图1图2

（1）求该抛物线的解析式.

（2）当滑雪人员距滑雪台高度为2m,则他继续滑行的水平距离为多少米时，可以使他距滑雪台的高度为0m.

【答案】（1）抛物线的解析式为歹二一』（.丫-4）2+6

4

（2）他继续滑行的水平距离为（2u%-4）m时，可以使他距滑雪台的高度为0m

【解析】

【分析】（1）设出抛物线解析式的顶点式，再把尸的坐标代入解析式求出。即可;

（2）分别把y=0和歹=2代入（1）解析式求出对应的x,再作差即可.

【小问1详解】

解：触物线的解析式为y=-4/+6,

把P（0,2）代入解析式得：2=。（0-4）2+6,

解得〃=-,，

4

••・抛物线的解析式为y=--（x-4）2+6；

4

【小问2详解】

解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线x=4,

.•.当y=2时，x=8；

初中

令y=0,piij--（x-4）2+6=0,

4

解得x=4+26或x=4-26（舍去），

•/4-F2X/6-8=2X/6-4，

他继续滑行的水平距离为（2"-4）m时，可以使他距滑雪台的高度为0m.

【点措】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式.

23.解决下列问题：

（1）已知。、人满足Q2_5Q+3=0，62—56+3=0，求+的值.

ba

x—X]x—x、—"P+〃—0

（2）结合方程组的相关知识，解决问题：已知《।和〈’是关于第丁的方程组《’的两

个不相等的实数解.问：是否存在实数%,使得必乃-土一受=2?若存在，求出％的值，若不存在，请说明理

々王

由.

19

【答案】（1）—

3

（2）存在，k=-2

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程综合问题，涉及一元二次方程根与系数关系、一元二次方程解法等知识，熟记

一元二次方程相关知识点并灵活运用是解决问题的关键.

（1）由一元二次方程根与系数关系得到。+6=5,。6=3,再将代数式恒等变形为@+一2,代值

baab

求解即可得到答案；

⑵根据题意，先将%为=（*-1）（工2-1）=中，一（芭+々）+1，再由｛消去y得，

x-y=1

9_工+左+1=（），利用一元二次方程根与系数关系得到玉+0=1，玉々=人+1，代入J'M-土一生=2得

再

（女+1『=1,解一元二次方程，验证即可得到答案.

【小问1详解】

解：b满足4—5〃+3=0，56+3=0，

6是一元二次方程/-5犬+3=0的两个实数根，

则4+力=5,=3,

初中

2

aba~+ha'+2ab+b*-2ab_[a+hf-2ab_(a+Z?)5,c19

,—I—=-----=N=2=—；

baabababab33

【小问2详解】

解：存在，理由如卜,

x=x,x=x-,x2-v+k=0

和・是关于x，，的方程组’的两个不相等的实数解,

)=乂x-y=\

y=y2

x；一乂+左=0-y2+k=0

百一以二1出一％二1

；・必=$_1,y2=x2-\,

•••必％=(xT&-1)=不/一(』十%)+1，

y."-yk—0，.

由，消去V得，x~-x+Zr+1=0»

)-y=]

则芭、当是一元二次方程工2-工+£+1=0的两个实数根,

X1+X2=\,X用=%+1,

A

­••必W

X2

=［%/_（苞十々）十1］一"五

X\X2

X；+2XX+x；-2x^2

二[卒2-(凡+/)+1]-(2

中2

=［王々一（玉+工2）+1］一包2^1+2

斗、2

[2

=伏+1-1+1|-----+2

L」〃+1

=(%+1)-一—+2

\7左+1

•••^2----=2,

I--—+2=2,

k+\

1=0,

即(AI1)

%+1

初中

则(*+1)2=1,

4+1=1或女+1=-1,

解得我=0或后=一2,

当％=0时，一元二次方程为--1+1=0,

则△=(—l)2—4xlxl=l-4=—3<0,无实数解，舍去；

当〃=-2时，一元二次方程为工一1二0，

则△=(-l)2—4xlx(—l)=l+4=5>0,有两个不相等的实数解，符合题意；

综上所述，k=—2.

24.如图，V4BC中，ZACB=90°,将V43c绕点C顺时针旋转得到△OEC,点。落在线段44上，连接

BE.

(I)求证：平分//。后；

(2)试判断线段AE与线段力〃的位置关系，并说明理由；

(3)若BE=BF,请你求出N4的度数.

【答案】(1)证明见解析•：

(2)BELAB,理由见解析；

(3)4=72。.

【解析】

【分析】本题考查旋转的性质，直曲三角形的性质，关键是掌握旋转的性质.

(1)由旋转的性质得到C4=C。，Zl=ZJ,因此N2=N4得到N1=N2,即可证明。。平分ND4E；

(2)根据旋转的性质得出N3=N6,CA=CD,CB=CE,进而得出N4=/5,根据N4+N4=90。，得

出N4+N5=90。即4B工BE；

(3)设/l=N2=4=N5=x。，得出/7二90。一!产，Z8=-x°,进而列出工。+工。+1、。=180。，

222

可得出答案.

【小问1详解】

•••VABC绕点。顺时针旋转得到&DEC,

:.CA=CD,Zl=,

/.N2=N4得Nl=N2,

?.QC平分NTME；

【小问2详解】

BELAB,理由如下：

vVABC绕点C顺时针旋转得到QEC,

Z3=Z6,CA=CD,CB=CE,

------------,Z5=ACEB=

...ZJ=Z5,

vZJC5=90°,

RiZWC中：4+N4=90。，

Z4+Z5=90°即AB工BE；

【小问3详解】

设NI=/2=4=/5=x。（由（1）、（2）得）

VBE=BF,

vABVBE（由（2）得）

Z8=90°-Z7=90°-f90°一L。］=L。,

♦・•Zl+Z2+Z8=180°,

/.xo+x°+-xo=180°,

2

解得：X。=72。

...ZJ=72°

初中

25.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线了=。/+笈+3与x轴交于4(—1,0),8(3,0)两点，与y轴交于点C.

(2)如图2,连接4C,8C,宜线8C上方的抛物线上是否存在点。，使/。80+乙4。。=45。，若存在，

请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)如图3,连接4C,将△O1C绕着点。顺时针旋转，记旋转过程中的△<%C为VOHU,点力的对应点为

点/，点C的对应点为点C'.当点H刚好落在线段/C上时，将VO/C沿着直线〃C平移，在平移过程中,

直线OC'与抛物线对称轴交于点£,与工轴交于点尸，设点区是平面内任意一点，是否存在点R,使得以

B、E、F、R为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点R的坐标：若不存在，请说明理由.

【答案】(1)y=-x2+2x+3

(2)存在，0(2,3)

(3)存在，点H的坐标为：［,一:)或£,一1或(6,4)或一;片)

【解析】

【分析】(1)利用待定系数法求解即可得到答案：

(2)作/(一1,0)关于〉轴的对称点K(1,O),连接CK,过点8作交抛物线于。，如图所示，数形