小学数学六年级上册图形与变换与观察物体复习知识清单

小学数学六年级上册图形与变换与观察物体复习知识清单

一、数与运算基础——图形世界的度量衡

（一）比的意义与基本性质【基础】、【高频考点】

1.概念界定：两个数相除又叫作两个数的比。在两个数的比中，比号前面的数叫作比的前项，比号后面的数叫作比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫作比值。【易错点】比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示，但必须是一个数，而不能是一个比。

2.核心关联：比与除法、分数之间存在着深刻的内部联系。比的前项相当于除法中的被除数，相当于分数中的分子；比号相当于除号，相当于分数线；比的后项相当于除法中的除数，相当于分数中的分母；比值相当于除法中的商，相当于分数值。【难点突破】理解这种“相当于”并非“等于”，因为除法是一种运算，分数是一个数，而比表示两个量之间的倍数关系。三者有着本质区别，但在具体计算中可以灵活转化。

3.基本性质【非常重要】：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这是化简比和求比例中未知项的理论基石。利用比的基本性质，可以将一个复杂的比化成最简单的整数比，即前项和后项只有公因数1的比。

4.按比例分配【高频考点】、【热点】：在实际生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。解题的核心思路是先求出总份数，再求出各部分量占总量的几分之几，最后用总量乘以对应的几分之几。例如，把总数为A的量按a:b进行分配，则各部分量分别为A×a/(a+b)和A×b/(a+b)。【常见题型】配制混凝土、分配奖金、按人数分派任务等。

（二）分数乘除法的融合应用【基础】、【重要】

1.分数乘法求一个数的几分之几：求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。这是理解稍复杂分数应用题的基础。例如，求30的2/3是多少，列式为30×2/3。

2.分数除法已知一个数的几分之几求这个数：已知一个数的几分之几是多少，求这个数，既可以用除法计算（部分量÷对应的分率=单位“1”的量），也可以列方程求解。这是逆向思维的典型代表。【解题步骤】①找准单位“1”；②判断单位“1”是已知还是未知；③已知用乘法，未知用除法或方程；④检验答案的合理性。

3.分数乘除混合运算【难点】：在图形变换相关的计算中，常涉及连续乘以或除以一个分数。运算顺序与整数混合运算相同，同级运算从左到右依次进行。在计算过程中，能约分的要先约分，使计算更加简便。

二、图形的放大与缩小——比例在几何中的具象化

（一）图形的放大与缩小的本质【非常重要】、【核心概念】

1.定义解读：图形的放大或缩小，是指按照一定的比例，将原图形的各边进行相应的拉长或缩短，从而得到一个与原图形形状完全相同、大小不同的新图形。这个过程在数学上属于相似变换的一种。

2.关键要素——比例尺的变形：在课本练习十七中，常表述为“把A图各边放大到原来的2倍”或“缩小为原来的1/2”。这里的“2倍”或“1/2”，就是图形变换的比例因子，在数学上更严谨地称之为“相似比”。【高频考点】放大到原来的n倍，对应边就扩大n倍；缩小为原来的1/n，对应边就缩小为原来的1/n。必须区分“放大到”与“放大了”的语言表述差异，前者包含原倍数，后者表示净增倍数。

3.全等与相似：放大或缩小后的图形与原图形相比，形状相同（对应角大小不变），大小不同（对应边成比例）。这种关系叫作相似。当比例因子等于1时，新图形与原图形全等。

（二）图形放缩的实践操作与方格纸应用【热点】、【考查方式】

1.方格纸上的精准作图：方格纸（点阵图）是进行图形放缩训练的绝佳工具。其操作要领如下：第一步，数格子。准确数出原图形每条边在方格纸上占几个格（即边长）。第二步，算格子。用原边长乘以放缩比例，得到新图形每条边的长度（占几个格）。第三步，定顶点。根据计算出的新边长，在方格纸上确定新图形各个顶点的位置。第四步，连点成图。用直尺将确定的顶点按顺序连接起来，形成封闭图形。【易错点】对于平行四边形、梯形等非直角三角形，不仅要缩放水平或竖直方向的边，还要准确确定斜边的倾斜度，这通常可以通过确定顶点坐标（即水平和竖直方向的位置）来实现。

2.平面图形的放缩规律：

（1）线段：把一条线段按n:1放大，新线段长度是原线段长度的n倍。

（2）长方形：把长和宽分别放大到原来的n倍，新长方形的周长变为原周长的n倍，而新长方形的面积变为原面积的n²倍。这是因为面积的变化涉及两个维度的乘积。【难点】理解面积变化与边长变化的不同步性。例如，边长放大2倍，面积放大4倍。

（3）三角形与平行四边形：同样遵循“对应边放大n倍，周长放大n倍，面积放大n²倍”的规律。

（4）圆：把圆的半径（或直径）放大到原来的n倍，新圆的直径、半径、周长均放大到原来的n倍，而新圆的面积放大到原来的n²倍。【非常重要】这一规律是后续学习圆柱、圆锥体积变化的基础。

3.不规则图形的放缩：对于由线段围成的不规则多边形，放缩方法与规则图形相同，即把每条线段都按相同比例放大或缩小。对于包含曲线的图形（如练习十七中的心形、树叶形），则需要抓住图形轮廓上的关键点，将这些关键点按比例确定新位置，然后光滑连接。

（三）图形放缩与比例尺的内在联系【跨学科视野】

1.比例尺的数学本质：在地理、工程设计图纸中，经常用到比例尺。比例尺1:100，表示图上距离与实际距离的比是1:100，这实际上就是把实际物体（原图）缩小为原来的1/100画在图纸上。比例尺200:1，表示图上距离是实际距离的200倍，这是把微小物体（原图）放大到原来的200倍。因此，比例尺就是图形放缩在现实应用中的具体体现。

2.数值比例尺与线段比例尺的互化：数值比例尺如1:5000，可以转化为线段比例尺，即图上1厘米代表实际50米。这种互化过程进一步巩固了比的概念和单位换算知识。

3.实际应用中的计算【高频考点】：已知比例尺和图上距离，求实际距离，用图上距离乘以比例尺的后项（对于缩小比例尺）；已知实际距离和比例尺，求图上距离，用实际距离除以比例尺的后项（即乘以比例尺的前项）。计算时务必注意单位的统一。

三、观察物体——二维视图与三维空间的转换

（一）从不同方向观察立体图形【基础】、【重要】

1.观察范围的界定：我们通常从正面（前面）、左面、上面三个方向观察一个立体图形，并画出所看到的形状。正面看反映物体的长和高，左面看反映物体的宽和高，上面看反映物体的长和宽。这三个视图合起来，就能基本确定一个简单立体图形的形状和大小。

2.视图的画法规范：在方格纸上画视图时，要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则。即主视图和俯视图长度相等且上下对正；主视图和左视图高度相等且左右平齐；俯视图和左视图宽度相等。【难点】对于由多个小正方体拼搭的立体图形，画视图时要分清每一列、每一行所能看到的最高的正方体个数，看不到的被遮挡的部分不画。

3.根据视图还原立体图形【热点】、【难点】：

（1）给定一个方向的视图，可以还原出多种不同的立体图形。例如，只给正面视图，小正方体的摆放方式可以是多种多样的，只要不超出正面视图所限定的列数和层数即可。

（2）给定两个方向的视图，还原出的立体图形范围大大缩小，但仍然可能存在多种摆法。

（3）给定三个方向的视图（三视图），通常可以唯一确定一个由小正方体拼搭的立体图形。【解题步骤】①根据俯视图确定底层小正方体的摆放位置（基础框架）。②根据主视图确定每一列的最大高度。③根据左视图确定每一行的最大高度。④综合判断每个位置上小正方体的个数，取两个方向限定的最小层数。⑤用学具摆一摆或空间想象验证。

（二）观察与推理——空间想象力的进阶训练

1.从视图到实物的推理策略【非常重要】：

（1）俯视图打地基：俯视图给出了立体图形最底层的信息，这是构建空间模型的基础。

（2）主视图疯狂盖：主视图给出了从前面看每一列的最高层数，这意味着在俯视图的每一列中，至少有一个位置要达到这个高度，但不能超过这个高度。

（3）左视图拆违章：左视图给出了从左面看每一行的最高层数。这意味着在俯视图的每一行中，至少有一个位置要达到这个高度，但不能超过。将主视图和左视图的要求综合到俯视图的每个小方格上，如果某位置同时满足主视图列高和左视图行高，则该位置的小正方体个数为主、左视图中对应的较小值（因为两个方向都要求看到，取公共约束）。如果出现矛盾，则需要调整思路。

2.根据视图确定小正方体的个数范围【高频考点】：当视图不完全时（只给两个视图），需要判断所用小正方体最多几个、最少几个。最多的情况是让每个位置都尽可能摆满，只要满足给定的视图即可；最少的情况是在保证视图要求的前提下，尽量让后面的、右边的小正方体支撑前面的、左边的，能省则省。【易错点】最少个数计算时，容易忽略底层必须支撑上层，导致结构不稳。

3.相对性与位置关系：观察物体时，观察者所处的位置决定了看到的形状。从不同方向观察同一个物体，看到的形状可能不同，也可能相同（如球体、正方体）。理解“对面”“相邻”“后面”“左面”等方位词，是解决此类问题的基础。

（三）从观察到抽象——数学建模的雏形

1.生活中的三维与二维转化：练习十七中要求将观察长方体得到的三个长方形画出来并放大，这实际上是把生活中的三维物体（长方体）抽象成数学上的二维图形（长方形），然后对这些二维图形进行变换（放大）。这个过程完美诠释了数学源于生活又高于生活的理念。

2.长方体的三视图特征：一个摆放规则的长方体，从正面看是一个长方形，长即长方体的长，宽即长方体的高；从左面看是一个长方形，长即长方体的宽，宽即长方体的高；从上面看是一个长方形，长即长方体的长，宽即长方体的宽。明确了这些对应关系，就能熟练地在二维平面与三维立体之间自由切换。

3.空间想象力的培养路径【跨学科视野】：空间想象力不是凭空产生的，需要经历“观察实物——动手操作——表象积累——抽象思维”的过程。小学阶段，要充分利用学具（小正方体、长方体模型）进行拼搭、观察、画图，在头脑中积累丰富的表象，为初中学习几何打好基础。

四、综合应用——图形变换与观察物体的深度融合

（一）图形变换在观察物体中的拓展应用

1.视图中图形的放缩：如练习十七第8题所述，将观察长方体得到的三个长方形放大到原来的2倍。这里融合了两大知识点：一是能够正确画出从不同方向观察到的形状，二是掌握图形的放缩方法。【考查方式】先观察，后放缩，再画图。这类题目全面考察学生的空间观念、测量能力和作图能力。

2.立体图形的整体放缩：如果把一个长方体（或正方体）按n:1放大，那么它的长、宽、高分别变为原来的n倍，表面积变为原来的n²倍，体积变为原来的n³倍。这一规律可以看作是平面图形放缩规律在三维空间的推广。【非常重要】这是六年级下册学习圆柱、圆锥体积变化时的核心前置知识。

3.组合体的放缩与观察：对于一个由若干个小正方体拼搭而成的组合体，如果将它整体放大（即每个小正方体的棱长都放大到原来的n倍），那么新组合体从各个方向看到的视图，也相当于原视图放大n倍后得到的图形。这种整体与部分的关系，有助于学生建立系统思维。

（二）解决实际问题的策略集锦

1.审题策略【通用要求】：无论是图形放缩还是观察物体，审题都是第一步。要圈出关键数据（如“放大到2倍”“缩小为原来的1/3”），明确题目要求（是画图还是计算，是判断还是填空）。

2.操作策略【通用要求】：

（1）作图题：先用铅笔轻轻画出辅助线或确定关键点，检查无误后再用签字笔描深，确保卷面整洁。方格纸作图要充分利用格线，保持图形的准确性。

（2）计算题：统一单位后再列式计算。涉及比例时，注意分清图上距离与实际距离，分清放大比例与缩小比例。

（3）选择题与判断题：善用排除法和特例法。例如，判断“把一个正方形按3:1放大后，面积也扩大到原来的3倍”的对错，可以假设原边长为1，面积为1，放大后边长为3，面积为9，面积扩大到原来的9倍，从而快速判断原题说法错误。

3.检验策略【通用要求】：

（1）图形放缩后，检查对应边是否成比例，对应角是否相等（直观感受）。

（2）观察物体的还原问题，摆好后要从三个方向再看一看，是否与给定视图完全一致。

（3）计算结果要代入原题情境，检验是否符合生活常识和数学逻辑。

（三）易错点深度剖析与规避【非常重要】

1.混淆“放大到”与“放大了”：放大到2倍，意思是新图是原图的2倍；放大了2倍，意思是新图比原图多2倍，即新图是原图的3倍。在练习十七的语境中，通常使用“放大到”的说法，要准确理解。

2.面积与长度的变化混淆：常见错误如“边长放大2倍，面积也放大2倍”。规避方法是引导学生用具体数值算一算，或者从面积公式推导：S原=a²，S新=(na)²=n²a²，所以S新是S原的n²倍。

3.观察物体时忽略被遮挡的部分：在根据视图还原图形时，容易把看不见但存在的小正方体漏掉。例如，从上面看能看到的位置，下面一定有正方体支撑，不能省略。要从底层开始，逐层搭建。

4.画视图时比例失调：在方格纸上画视图时，每个小正方形的边长要视为单位长度。画出的长方形长宽必须与观察到的格子数严格一致，不能随手画。

5.单位换算错误：在比例尺应用中，常涉及米、分米、厘米的换算。如比例尺1:100，图上距离5厘米，求实际距离。正确做法：5×100=500（厘米）=5米。错误做法：忘记换算或换算进率错误。

五、思维拓展——超越课本的数学视野

（一）位似变换与相似图形【难点前瞻】

1.位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫作位似图形，这个点叫作位似中心。图形的放大与缩小，很多时候是以某个点（如方格纸的某个顶点、图形的某个顶点或中心）为位似中心进行的。了解位似，有助于更深刻地理解图形放缩的“基准点”。

2.生活中的位似：投影仪将胶片上的小图像放大投射到大屏幕上，就是位似变换的实例；照相机的成像原理也是位似变换。这些实例将抽象的数学概念与鲜活的生活经验紧密相连。

（二）黄金分割与美感【跨学科拓展】

1.黄金分割比例：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值约为0.618。这个比例被公认为最能引起美感的比例，被称为黄金分割比。

2.图形放缩中的美学：在设计图形时（如练习十七第9题），有意识地运用黄金矩形（宽与长的比约为0.618的长方形），设计出的图案更具和谐之美。将一个小图按黄金比连续放大或缩小，可以得到一系列形状相同、大小渐变的优美图形。

（三）从图形变换到函数思想【初小衔接】

1.变化的量：在图形放缩过程中，边长、周长、面积都是随着放缩比例的变化而变化的量。放缩比例是自变量，面积是因变量。面积是放缩比例的二次函数（S∝k²）。这种变化关系的初步感知，为初中学习函数埋下伏笔。

2.对应与映射：从原图形到新图形，是一种确定的对应关系（映射）。每一个原图形上的点，都能在新图形上找到一个唯一的对应点。这种“一一对应”的思想，是数学中最重要的基本思想之一。

六、考点预测与专项突破

（一）填空题【基础题型】

1.一个边长是3厘米的正方形，按4:1放大后，边长是（）厘米，周长是（）厘米，面积是（）平方厘米。【考点】放大后边长的计算，周长与面积随边长的变化规律。

2.从不同的方向看一个立体图形，看到的形状都是正方形，这个立体图形可能是（）或（）。【考点】常见立体图形的三视图特征，考察空间想象力与全面考虑问题的习惯（不能只答正方体，还要考虑球？不，球看到的是圆，此处应是正方体和摆放在特定位置的长方体或圆柱？但圆柱从侧面看是长方形，所以严格来说，只有正方体和特殊长方体（底面正方形且高等于底面边长）从三个方向看是正方形。此空可答“正方体”或“底面是正方形且高等于底面边长的长方体”）。

3.一个长方形，长8cm，宽5cm，将其各边缩小到原来的1/2后，新长方形的长是（）cm，宽是（）cm，面积是（）cm²。【考点】缩小操作中边长与面积的计算。

（二）判断题【易错辨析】

1.把一个三角形按1:3缩小后，各边长和角度都变为原来的1/3。（）【分析】错误。角度不变，形状不变，只有边长改变。

2.从上面看到的形状是的物体，它一定是由4个小正方体拼成的。（）【分析】错误。从上面看只能确定底层有4个，但上层可能还有小正方体，总个数可能多于4个。

3.图形放大或缩小后，与原图相比，形状相同，大小不同。（）【分析】正确。这是图形相似变换的本质特征。

（三）选择题【概念辨析】

1.右面的图形（给出一个梯形），将其各边放大到原来的2倍，得到的图形是（）。【选项略】【考点】对放缩后图形形状保持不变、各边按比例增长的理解，同时考察梯形两腰倾斜度的保持。

2.用同样大小的小正方体搭一个立体图形，从正面看是，从上面看是，搭这个立体图形最少需要（）个小正方体。A.5B.6C.7D.8【考点】根据两个视图确定最少小正方体个数。

（四）作图与操作题【核心能力】

1.在方格纸上将给出的小旗子（或房子图）按2:1放大。

2.画出给定立体图形（由小正方体搭成）从正面、上面、左面看到的形状。

3.将观察长方体得到的三个长方形画在方格纸中，再按1:2缩小画在旁边。

（五）解决问题【综合应用】

1.在比例尺为1:200的图纸上，量得一个长方形花坛的长是5厘米，宽是3厘米。这个花坛的实际面积是多少平方米？【考点】比例尺应用，涉及图上距离到实际距离的换算，以及单位换算和面积计算。

2.一个圆的半径是2厘米，按3:1放大后，新圆的周长是多少厘米？面积是多少平方厘米？【考点】圆放缩后周长和面积的计算，体会长度与面积变化倍数的不同。

3.用48个棱长为1厘米的小正方体拼搭成一个长方体，从前面看是，从上面看是，求这个长方体的体积，并画出从左面看到的形状。【考点】综合考察视图还原、长方体的特征及体积计算，难度较大，需要较强的空间想象和逻辑推理能力。

七、复习策略与学法指导

（一）知识结构化梳理

1.绘制思维导图：以“图形王国”为中心，发散出“比”“图形的放大与缩小”“观察物体”三个分支。在“比”分支下，延伸出“意义”“性质”“按比例分配”；在“图形的放大与缩小”分支下，延伸出“定义”“操作步骤”“变化规律”“与比例尺的联系”；在“观察物体”分支下，延伸出“三视图”“画法”“还原”“易错点”。通过思维导图，将零散的知识点串联成网，形成系统认知。

2.制作对比表格（虽然不能用表格，但可以口述对比逻辑）：对比“放大”与“缩小”的异同，对比“长度、面积、体积”变化倍数的不同，对比“从不同方向观察”得到的不同形状。在对比中加深理解，强化记忆。

（二）错题本的精准使用

1.分类记录：将平时练习中的错题按知识点分类，如“放缩比例理解错误”“面积计算错误”“三视图还原错误”等。

2.深度剖