核心素养导向下混合运算的问题解决教学设计与实施-以“带小括号的两步混合运算”为例

核心素养导向下混合运算的问题解决教学设计与实施——以“带小括号的两步混合运算”为例一、教学内容分析  本节课隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域“数量关系”主题。从知识图谱看，学生在二年级已掌握加减乘除两步运算（无括号）的运算顺序，本节课将引入“小括号”这一新符号，学习含有小括号的两步混合运算的运算顺序。其认知要求从“识记与应用”无括号的运算顺序规则，跃升至“理解与创造”小括号改变运算顺序的功能价值，并能在具体问题解决中灵活运用，是构建完整整数四则混合运算知识体系的关键一环，为后续学习复杂的多步运算奠定基石。在过程方法上，课标强调“探索用数或符号表达简单情境中的变化规律”，本节课正是一个绝佳的载体。教学需引导学生经历“面对实际问题—产生认知冲突—创造/引入符号—建立新规则—解决问题”的完整建模过程，深刻体会数学符号的简洁性与必要性，发展符号意识和模型观念。其素养价值在于，通过解决真实、有挑战性的问题，让学生亲历数学规则从需求中诞生的过程，感悟数学的抽象性与工具性，培养严谨求实的科学态度和有理有据的逻辑思维。  学情研判需立体多维。学生已有基础是牢固掌握“先乘除后加减”及同级从左往右的运算顺序，并能据此解决常规的两步计算问题。可能的认知障碍在于：一是思维定式的干扰，面对新问题时会惯性沿用旧规则列式，导致列式结果与问题实际含义不符；二是对小括号功能的理解易停留在机械记忆“有括号要先算”的规则层面，而非真正理解其“改变优先级”的内在逻辑。兴趣点则在于富有挑战性和故事性的实际问题。因此，教学对策的核心是制造认知冲突，将“规则为何要变”的困惑抛给学生，驱动主动探究。课堂中将通过观察学生列式尝试、聆听小组讨论、分析典型错例等形成性评价手段，动态诊断学情。针对不同层次学生，支持策略包括：为学习基础较弱的学生提供实物操作（如圆片）辅助理解问题结构；为多数学生搭建从分步到综合的表述“脚手架”；为学有余力的学生提供去除小括号后算式含义是否改变的对比辨析任务，促进深度思考。二、教学目标  知识目标：学生能结合具体情境，理解小括号在混合运算中的作用是改变原有的运算顺序；能正确读出和书写含有小括号的算式，并准确表述“先算小括号里面的”这一运算规则，从而建构起包含小括号在内的两步混合运算顺序的完整认知结构。  能力目标：在解决实际问题的过程中，学生能够根据问题需求，主动产生使用小括号的意愿，并正确列出带小括号的综合算式；进一步发展从具体情境中抽象出数量关系、用数学符号进行表达（模型意识）以及遵循规则进行准确运算的能力。  情感态度与价值观目标：通过探究小括号的产生过程，学生能体会到数学符号的创造源于实际需要，感受数学的简洁与智慧；在小组合作解决认知冲突的过程中，养成乐于倾听、敢于质疑、严谨求证的学习态度。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的逻辑推理能力和符号化思想。通过“列式—冲突—优化—定规”的问题解决链条，引导学生经历从具体到抽象、从特殊到一般的归纳过程，学会用数学的思维方式分析和解决真实的复杂问题。  评价与元认知目标：引导学生学会通过“回头看”的方式检验算式的合理性，即对照题目情境检查所列综合算式的运算顺序是否与实际解题步骤一致；初步养成在计算前先审题、确定运算顺序的良好习惯。三、教学重点与难点  教学重点：理解小括号的作用，掌握含有小括号的两步混合运算的运算顺序。其确立依据在于，从课程标准的“大概念”来看，运算顺序是保证计算正确性的基本法则，小括号的引入拓展了这一法则的适用范围，是“数的运算”这一核心概念下的关键规则。从学业评价视角，正确进行混合运算是后续所有数学学习的基础技能，而小括号的使用是学生从机械执行顺序走向灵活运用顺序解决复杂问题的分水岭，在各类评价中均为高频考查点。  教学难点：学生从理解“需要先算某一部分”到自觉产生“使用小括号”的需求，并理解小括号如何改变运算顺序。难点成因有二：一是认知跨度，学生需从“程序性操作”层面上升到“结构性理解”层面，认识到算式的结构可以因需要而调整；二是思维定式，学生已习惯无括号算式的从左往右或先乘除后加减的顺序，引入小括号意味着主动打破原有结构，心理上和思维上都需要适应。预设突破方向是通过创设“不加符号就无法正确表达”的冲突情境，让学生亲历“发明”小括号的必要性，从而实现从被动接受到主动建构的转化。四、教学准备清单1.教师准备1.1媒体与教具：多媒体课件，内含问题情境动画、动态算式生成、分层练习题板。1.2学习材料：“我的探究单”（包含冲突情境、列式区、对比观察区）、分层巩固练习卡。2.学生准备2.1学具：每人准备若干圆片或小棒，用于模拟情境，辅助理解。2.2知识预备：熟练掌握无括号的两步混合运算顺序。3.环境布置3.1座位安排：四人小组式布局，便于合作讨论。3.2板书记划：预留核心问题区、学生方法展示区（错误列式与正确列式对比）、规则归纳区。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设，激活旧知：“同学们，学校手工社团的同学们做了许多精美的剪纸，准备送给敬老院的爷爷奶奶。现在他们遇到了一个分奖品的问题，我们一起去帮帮忙吧！”（课件出示：手工组有10个同学，先做好了20张剪纸，后来又做了10张，现在要把所有剪纸平均分给这10个同学，每人分得几张？）“这个问题你们能解决吗？先别急，用我们学过的知识，试着把每一步算式写下来。”1.1提出问题，制造冲突：学生通常能顺利列出分步算式：20+10=30（张），30÷10=3（张）。“思路非常清晰！那谁能勇敢地挑战一下，把这两个算式合并成一个综合算式？”预设学生会列出：20+10÷10。此时追问：“按照这个综合算式，我们应该先算什么？再算什么？计算出的结果是多少？这个结果符合题目的意思吗？”（学生计算发现是20+1=21，与分步结果3不符）“咦，这是怎么回事？我们的思路明明是对的，为什么合成一个算式就算不对了呢？”1.2明晰路径，引出课题：“看来，当我们想先算加法，再用结果去除的时候，原来的运算顺序规则‘指挥不动’了。今天，我们就需要请出一位新的数学朋友来帮忙，它能有效地‘改变’运算顺序，让我们能正确地用一个综合算式来表达我们的想法。这节课，我们就一起来认识它，学习‘带有小括号的混合运算’。”第二、新授环节任务一：分析冲突，明晰需求教师活动：首先，带领学生回顾分步算式的每一步含义，明确第一步“20+10”求的是剪纸总数，这是解决问题的关键中间步骤。接着，将学生列出的错误综合算式“20+10÷10”板书，并请学生上台结合题意说出先算10÷10求的是什么（平均每人分得后来做的1张），这与解题逻辑不符。教师用富有困惑的语气引导：“问题出在哪？我们心里想先算‘20+10’，但算式‘听’我们的话吗？它只认得‘先乘除后加减’的老规矩。那我们怎样才能让这个算式‘乖乖地’先算加法呢？大家有什么好办法在算式上做个标记，提醒一下它吗？”学生活动：倾听教师分析，理解错误算式的运算顺序与解题步骤之间的矛盾。小组内展开热烈讨论，思考并尝试用自己的方式在算式上做标记，例如画圈、画线、改变书写顺序等，并准备汇报自己的“创意”。即时评价标准：1.能否清晰指出错误算式的运算顺序与问题实际步骤之间的不一致。2.提出的“标记”方法是否明确指向“20+10”这个整体。3.在小组讨论中能否倾听他人想法并补充自己的观点。形成知识、思维、方法清单：★认知冲突是学习的起点：当已有的运算顺序规则无法满足新的问题表达需求时，便产生了认知冲突，这是引入新知识的直接动力。▲数学符号源于需要：鼓励学生创造“标记”，是让他们体验数学符号并非天外来物，而是为解决表达困境而被创造出来的工具，深刻体会符号化思想。任务二：引入符号，规范列式教师活动：邀请各组分享他们的“标记”方法，给予肯定：“你们的想法都很有价值，都是为了明确先算的部分。”随后，教师介绍数学家的约定：“其实，数学家们也遇到过和我们一样的麻烦，他们发明了一个统一的符号来解决它，就是‘小括号’（板书：（））。”边说边示范：“我们在想先算的‘20+10’外面加上一个小括号，写成（20+10），这个算式就变成了（20+10）÷10。”强调书写规范：“小括号像两个小耳朵，要写得圆润，把需要先算的部分完整地抱在里面。来，大家在练习本上跟着老师写两遍。”学生活动：展示并解释本组的标记方法。认识小括号，观察其形状与书写位置。跟随教师进行书写练习，掌握小括号的正确写法。尝试朗读新算式“括号20加10括号除以10”。即时评价标准：1.小括号书写是否规范、工整。2.能否正确读出带小括号的算式。3.是否能将小括号与之前自己创造的标记建立联系，理解其统一规范的意义。形成知识、思维、方法清单：★小括号的引入：小括号是一种数学符号，它的作用是标明运算顺序，即算式中有小括号时，要先算小括号里面的。▲规范书写的重要性：统一的符号是数学语言精确、无歧义交流的保障。教师需强调：“小括号要把需要先算的部分‘紧紧抱住’，不能漏掉任何一个数。”任务三：计算对比，归纳规则教师活动：“现在，我们请这位新朋友来帮忙算一算。这个算式（20+10）÷10该怎么计算呢？”引导学生说出：“先算小括号里面的20+10=30，再算30÷10=3。”将计算过程板书完整。随后，组织对比观察：“请大家把目光放回黑板，对比一下之前的错误算式20+10÷10和现在的正确算式（20+10）÷10，它们有什么相同和不同？计算顺序发生了什么变化？计算的结果呢？”通过提问引导学生总结。学生活动：根据教师的引导，口述带小括号算式的计算过程。仔细观察、对比两个算式，在小组内讨论异同。尝试用自己的语言总结发现：两个算式的数和运算符号都一样，但加了小括号后，运算顺序变了，结果也变对了。即时评价标准：1.能否准确计算带小括号的算式。2.对比观察是否细致，能否发现算式的结构变化。3.归纳的结论是否指向“小括号改变了运算顺序”这一核心。形成知识、思维、方法清单：★带小括号算式的运算顺序：一个算式里有小括号，要先算小括号里面的。这是混合运算顺序规则的重要补充。★对比归纳的方法：通过对比错误与正确、变化前后的算式，是发现数学规律、理解概念本质的常用方法。教师可点拨：“看，小括号就像个‘小警铃’，一看到它，我们就知道‘这里要先算哦！’”任务四：变式练习，深化理解教师活动：出示变式问题：“如果情境变成：手工组10人，一共要做30张剪纸，已经做了20张，剩下的任务要在2小时内完成，平均每小时要做多少张？”引导学生分析数量关系：先求剩下多少张（3020），再求每小时做多少张（÷2）。“你能直接列出综合算式并计算吗？”巡视指导，关注学生列式（3020）÷2的书写与计算。收集典型做法进行展示。学生活动：独立审题，分析步骤，尝试直接列出带小括号的综合算式并计算。同桌之间互相检查小括号使用是否正确、计算是否准确。部分学生上台展示。即时评价标准：1.能否在分析问题后，主动意识到需要用小括号来保证“3020”先算。2.列出的综合算式是否准确使用了小括号。3.计算过程是否规范。形成知识、思维、方法清单：★小括号的应用时机：当实际问题中需要先进行加、减法运算，而后再进行乘、除法运算时，就需要使用小括号。▲从分步到综合的跨越：鼓励学生逐步摆脱分步的“拐杖”，学会直接分析整体数量关系，运用小括号列出综合算式，这是问题解决能力的一次提升。任务五：观察总结，完整规则教师活动：引导学生回顾本节课学习的两类算式：无括号的（如乘加、乘减、除加、除减）和今天新学的带小括号的。提出总结性问题：“现在，我们对混合运算的顺序有了更全面的认识，谁能完整地说一说，混合运算应该按怎样的顺序来计算？”根据学生回答，板书完整的运算法则，并带领学生齐读。学生活动：回顾已有知识和本节课新知，尝试整合、归纳混合运算的完整顺序规则。用清晰、完整的语言进行表述。齐读运算法则，加深记忆。即时评价标准：1.总结是否全面，是否包含了“先乘除后加减”和“有括号要先算括号里面的”两部分。2.语言表达是否条理清晰。形成知识、思维、方法清单：★混合运算顺序的完整法则：（1）在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算；如果既有乘、除法，又有加、减法，要先算乘、除法，后算加、减法。（2）算式里有括号的，要先算括号里面的。这是本节课需要构建的终极知识框架。第三、当堂巩固训练教师活动：发放分层练习卡，宣布练习分为“基础乐园”、“综合应用”和“挑战空间”三关，学生可自主选择完成，鼓励挑战自我。1.基础层（直接应用规则）：计算题，如：6×(7+2)、(7218)÷9、81÷(3×3)。“请大家先仔细观察，确定运算顺序再动笔，看谁做得又对又快。”巡视，重点指导后进生。2.综合层（情境中应用）：解决问题，如：“妈妈买了3袋苹果，每袋8个，又买了6个梨。苹果的个数是梨的几倍？”（需列式（8×3）÷6）。“这道题需要几步解决？先求什么？怎么用综合算式表示？”3.挑战层（开放探究）：给算式“24÷4+2”加上一个小括号，使它的运算顺序变为先算加法，再算除法。这个算式可以怎么加？改变后的算式结果是多少？和原来的结果一样吗？“想一想，小括号加在不同的位置，算式的意思和结果会有什么不同？”反馈机制：完成基础层后，组织同桌互批，对照课件答案。针对综合层，请不同列式的学生上台板书，引导全班讨论：“这些算式都合理吗？为什么？”对于挑战层，请做出来的学生分享思路：“你是怎么想的？小括号加在哪里？为什么不能加在别的地方？”教师汇总强调：小括号必须加在需要改变顺序的运算部分整体外面。第四、课堂小结教师活动：引导学生进行结构化总结。“这节课我们认识了哪位新朋友？它有什么本领？”“我们是怎样一步步发现它、认识它、并学会和它合作的？”邀请学生用思维导图或关键词的形式在黑板上共同梳理。随后进行元认知引导：“在以后遇到需要两步计算的问题时，你打算怎样做，才能确保列出的综合算式是正确的呢？”（预设：先想好先算什么，再算什么，如果需要先算的部分不符合原来的顺序规则，就要请小括号来帮忙。）作业布置：1.必做（基础性作业）：课本对应练习，完成5道带小括号的两步混合运算计算题和1道基础应用题。2.选做（拓展性作业）：寻找一个生活中需要用带小括号的算式解决的例子，讲给家人听，并列出算式。3.挑战（探究性作业）：尝试计算“96(36+24)÷6”，想一想运算顺序，下节课我们来分享。六、作业设计基础性作业：全体学生必做，旨在巩固最核心的运算技能。包含：1.直接计算：5道涵盖乘加、乘减、除加、除减结构且需使用小括号的算式，如（4812）÷4。2.简单应用：1道与例题结构相似的两步实际问题，要求学生列带小括号的综合算式解答。拓展性作业：面向大多数学生，促进知识的情境化迁移。设计为：请学生当“生活观察员”，从购物、分配物品、行程安排等实际场景中，发现一个需要“先算一部分，再算另一部分”的问题，并尝试用今天学习的带小括号的算式来表示解决问题的步骤。鼓励用图画或简短文字配合算式进行说明。探究性/创造性作业：供学有余力的学生选做，指向深度思维。任务：1.算式变形师：给定一个数字和运算符号集合（如：4,6,2,+,,×,÷,(,)），你能组合出多少个结果不同的带小括号的两步混合运算算式？记录并计算。2.规则推理：如果一个算式里有两层小括号，例如“（（153）÷2）+1”，你认为应该怎么计算？大胆猜想一下运算顺序，并试着验证。七、本节知识清单及拓展1.★小括号的引入缘由：在解决实际问题列综合算式时，当需要改变“先乘除后加减”或从左往右的默认运算顺序，使加法或减法能够先算时，就需要使用小括号。它源于数学表达的精确性需求。2.★小括号的作用：小括号是改变运算顺序的数学符号。它的核心功能是指明优先级，即算式中有小括号时，必须首先计算小括号里面的部分。3.★带小括号算式的读写：书写时，小括号要圆润地括住需要先算的部分。读法上，通常读作“括号……括号……”，例如（20+10）÷10读作“括号20加10括号除以10”。4.★带小括号的两步混合运算的计算顺序：明确规则：“一个算式里有小括号，要先算小括号里面的。”计算时，将其视为一个整体，先算出小括号内的结果，再根据括号外的运算符号进行下一步计算。5.★混合运算顺序的完整法则：整合新旧知识：①无括号时，先乘除后加减；同级左右依次算。②有括号时，先算括号里面的。这是进行任何整数混合运算的基本准则。6.▲小括号的历史与文化：小括号、中括号、大括号等统称为括号，是数学表达式的重要组成部分。它们的系统使用可以追溯到16世纪的欧洲数学家，如韦达。了解这一点，可体会数学是人类文明共同发展的产物。7.▲列综合算式的思维步骤：面对实际问题，先分步思考确定运算顺序；再尝试合并列式；检查合并后的算式运算顺序是否符合分步思路，若不符合，则使用小括号进行调整。口诀：“先想顺序再列式，顺序不对括号调。”8.▲典型错误辨析：常见错误是忘记写小括号，导致运算顺序错误。如“先减后除”问题列成“3020÷2”。需通过对比错误与正确结果，强化小括号必要性的认识。9.▲小括号的变式应用：在诸如“每箱苹果30元，买了4箱，付了200元，应找回多少元？”的问题中，列式20030×4无需括号，因为顺序符合“先乘后减”。小括号并非所有两步运算都需要，只在需要“改变”默认顺序时才使用。10.▲符号意识培养：小括号的学习是发展符号意识的重要契机。要引导学生理解，数学符号（包括括号）是一种高度抽象、简洁、有力的语言，帮助我们清晰地表达复杂的关系和顺序。八、教学反思  （一）目标达成度分析：本节课预设的核心目标——理解小括号的作用并掌握其运算顺序——基本达成。证据在于：在巩固练习环节，超过85%的学生能正确计算基础层习题；在综合层问题列式时，多数小组能主动、正确地使用小括号。情感目标方面，学生在导入环节表现出明显的困惑与探究欲，在任务一中创造“标记”时热情高涨，可见“符号源于需要”的体验是深刻的。能力目标上，学生从最初多数依赖分步，到课后部分学生能尝试直接列综合算式，展现了问题解决能力的递进。  （二）环节有效性评估：导入环节创设的“分剪纸”情境与认知冲突是成功的引擎，迅速将学生卷入学习中心。新授环节的五个任务构成了逻辑严密的认知阶梯：任务一“制造冲突”是火种，任务二“引入符号”是解惑，任务三“对比归纳”是明理，任务四“变式应用”是固化，任务五“整合规则”是升华。其中，任务三的对比观察尤为关键，它帮助学生将感性认识上升为理性规则。巩固环节的分层设计满足了差异需求，但巡视中发现，选择挑战层的学生比例不高，可能因为时间紧张或信心不足，提示我今后可将部分挑战题作为课后延伸，或在小组内以合作形式开展。  （三）学生表现深度剖析：课堂中，学生呈现了多样化的学习状态。基础扎实的学生能迅速领悟小括号的功能，并乐于担任“小老