2025-2026学年人教A版高中数学选择性必修一单元检测：第二章 直线和圆的方程

第二章直线和圆的方程

(考查范围：第二章时间：120分钟分值：150分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.过人(一2,—3),8(1,0)两点的直线的倾斜角是()

A.45°B.60°

C.120°D.135°

2.已知直线/［：—m2x+y—1=0,直线以(2m—3)x+y—3=0,则3”是““七”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

3.过点尸(1,3),且与x轴、y轴的正半轴围成三角形的面积等于6的直线的方程是()

A.3x+y—6=0B.10=0

C.3x—y=0D.x—3y+8=()

4.已知直线x—2)，+"?=()(机＞0)与直线3=()互相平行，且它们之间的距离是遥：则机

+〃=()

A.0B.1

C.-1D.2

5.若直线3工一4〉，+12=0与两坐标轴的交点为A,8,则过4,8及原点。三点的圆的方程是

()

A./+32+4又一3尸0

B.4x-3y=0

C.?+/+4x-3y-4=0

D.W+)2—4x—3y+8=0

6.过原点的直线/与圆Cf+y2—6x+5=0相交于A,B两点,若△ABC为正三角形，则直

线/的斜率为()

A.yB.V2

C.±yD.±V2

7.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、

垂心在同一条直线上.后人称这条直线为欧拉线.已知AABC的顶点42,0),B(0,4),若其

欧拉线的方程为％—)，+2=0,则顶点C的坐标是()

A.(-4,0)B.(0,-4)

C.(4,0)D.(4,0)或(一4,0)

8.已知直线y=H+切(用为常数)弓圆储+产=4交于点“，N,当"变化时，若|“刈的最小值

为2,则机=()

A.±1B.±V2

C.±V3D.±2

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知直线八：x+ay—。=0和直线6：ax-（2a—3）y—1=0»下列说法正确的是（）

A.L始终过定点（|，J

B.若l\〃h，则。=1或〃=一3

C.若则4=0或4=2

D.当〃>0时，Zi始终不过第三象限

10.已知圆。：f+V=4却圆C（x—3尸+（），-3）2=10,则下列说法正确的是（）

A.圆。与圆C有四条公切线

B.|0C|=3企

C.圆。与圆C的公共弦所在直线的方程为x+y=2

D.圆。与圆C的公共弦的长为2企

11.已知圆。截），轴所得的弦长为2,圆心C到直线/：L2），=0的距离为,且圆C被x轴

分成的两段弧长之比为3：1,则圆C的方程为（）

A.（x+1）2+（），+1）2=2

B.（X-1）2+（），-1）2=2

C.（工+1）2+°，-1）2=2

D.（L1）2+°，+1）2=2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知圆C的圆心坐标是（0,⑼，半径是r.若直线丁+3=0与圆。相切于点A（—2,一

1）»则机=,r=.

13.已知点A（l,㈤，6（1,2西一瓶），若圆上有且只有一点P,使得以_LP从

则实数m的一个值为.（写出满足条件的一个值即可）

14.已知A为圆C：/+。-1）2=：上的动点，。为圆氏（工-3）2+产=：上的动点，夕为直线），

上的动点，则|PB|-|P*的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）我国的隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”；或挂于

峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路；但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出

窄窄的出入口洞门.某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样

式，如图所示,路宽为16m（48=16m）,洞门最高处距路面4m（C£>=4m）.

（I）建立适当的平面直角坐标系，求圆弧的方程；

（2）为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了2m宽的隔

墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽2m,高3.6m，则此货车能否通过该洞门？并说明

理由.

Ana

16.（15分）已知点尸（x,），）在圆*+），2-6人-6），+14=0上

⑴求7的最大值和最小值；

（2）求f+），2+Zv+3的最大值与最小值.

17.（15分）已知方程.P+y2—2x+4y+4〃7=0.

⑴若此方程表示圆，求正整数〃?的值；

（2）在（1）的条件下，方程表示的圆为圆C,若从点”（一4,1）发出的光线经过直线），=-x反射,

反射光线恰好平分圆C,求反射光线所在直线/,的一般式方程.

18.（17分）已知半径为4的圆。与直线人3x-4y+8=0相切,圆心。在y轴的负半轴上.

⑴求圆C的方程；

（2）已知直线自履一），+3=0与圆C相交于A,B两点，当△ABC面积最大时，求直线b的方

程.

19.（17分）已知圆G：f+V+Gx—2y+6=0和圆Q：f+y?—8x—10.v+41一3=0（厂＞0）.

⑴若圆G与圆Cz相交，求〃的取值范围；

（2）若直线/：y=丘+1与圆G交于P,。两点，且丽•丽=4（O为原点），求实数A的值；

（3）若r=2,设尸为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线人和，2,它

们分别与圆G和圆C2相交，且直线/|被圆G截得的弦长与直线/2被圆C2截得的弦长相等,

试求所有满足条件的点P的坐标.

第二章直线和圆的方程

(考查范围：第二章时间：12()分钟分值：150分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.过4一2,-3),8(1,0)两点的直线的倾斜角是()

A.45°B.60°

C.120°D.135°

A解析：已知A(—2,—3),B(\,0),则以8=土^=1.设直线A4的倾斜角为仇则tan0=

-2-1

/CAB=1,得〃=45°.

2.已知直线/i：—nrx+y—1=0,直线处(2m—3)x+y—3=0,则“/〃=—3"是al\//hn的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

A解析：因为/]〃，2<=>一m2=2/〃-3=〃?=1或相=—3,所以“机=—3”是“/[〃办”的充分

不必要条件.故选A.

3.过点P(l,3),且与x轴、y轴的正半轴围成三角形的面积等于6的直线的方程是()

A.3%+y—6=0B.x+3y—10=0

C.3x~y=()D.x-3y+8=O

12,

A解析：设所求直线的方程为2+9=/?>0),则有]〃=6,且工+1=1.由3解

ab2ab-+-=1,

I。b

得["=2,故所求直线的方程为.+^=],即为3x+y-6=0.

(b=6.26

4.已知直线汇一2)，+〃?=0(心0)与直线工+外，-3=0互相平行，且它们之间的距离是近，则相

+〃=()

A.0B.1

C.-ID.2

A解析：由题意两条直线平行，所以〃=-2.由两条平行直线间的距离公式，得—=

=1*3]=圾,解得〃?=2或"7=—8(舍去)，所以机+〃=().

5.若直线版一4)，+12=0W两坐标轴的交点为A,B,则过A,B及原点O三点的圆的方程是

()

A.x2+>,2+4.r—3y=0

B.F+y2-4.L3y=0

C.『+)2+4%一3),一4=0

D.f+y2—4x—3y+8=0

A解析：由题意不妨设40,3),B(-4,0),圆的方程为『+)，2+Ox+E)，+/=0,

9+3E+F=0,仅=4,

16-4D+F=0,解得(£=-3,

(F=0,(F=0,

所以所求圆的方程为x24-y2+4A—3y=0.

6.过原点的直线2与圆C；f+y—6,丫+5—0相交于八，B两点,若△八〃C为正三角形，则直

线/的斜率为()

A.—B.V2

2

C.±—D.±V2

2

C解析：根据题意，闻C:x2+)，2—6上+5=0即Q•—3户一9=4,圆心为C(3,0),半径r=2.

设直线/的斜率为k,则直线/的方程为y=kx,即履一y=0,

若比线/与圆。相交于A,B两点且八八/?。为正三角形，

则圆心。到直线/的距离d=e,即/玛=e,解得/=土虫.

7.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、

垂心在同一条直线上.后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),8(0,4),若其

欧拉线的方程为“一5+2=0,则顶点C的坐标是()

A.(—4,0)B.(0»-4)

C.(4,0)D.(4,0)或(一4,0)

A解析：当顶点C的坐标是(一4,0)时，△ABC的更心坐标为(一：，在欧拉线上，对于

其他选项，△ABC的重心都不在欧拉线上.

8.已知直线＞=履+,〃(用为常数)与圆f+)，2=4交于点M,M当々变化时，若|MN的最小值

为2,则〃?=()

A.±1B.±V2

C.±V3D.±2

C解析：由题意可得圆心为(0,0),半径为2,

所以圆心到直线的距离则弦长为|MN)=2]”悬

当k=0时，弦长|MN|取得最小值为2,4-m2=2,解得加=±6.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得()分.

9.已知直线八：x+ay—。=0和直线6：or—(2〃-3)y—I=0,下列说法正确的是()

A.，2始终过定点修，0

B.若ZI/7/2，则a-l或a一一3

C.若/山2,则a=0或a=2

D.当。＞0时，人始终不过第三象限

ACD解析：选项A,6：a(x-2丁)+3厂1=0,令“°’得!过点但，：)，故

l3y-l=0,1337

A正确；

选项B,当a=l时，/i,h重合,故B错误；

选项C,当/1JJ2时，由lXo+aX(3-2a)=0,得a=0或a=2,故C正确：

选项D,当a＞0时，/工)=一3+1始终过点(0,1),斜率为负，所以不会过第三象限，故D

正确.

故选ACD.

10.已知圆。：/+尸=4司圆C：。一3尸+。-3)2=10,则下列说法正确的是()

A.圆。与圆C有四条公切线

B.|OC|=3V2

C.圆。与圆C的公共弦所在直线的方程为x+y=2

D.圆。与圆C的公共弦的长为2或

BCD解析：由题意知，0(0,0),C(3,3),血=2,rc=V10,则|。。|=7^不勺=3«，故B

正确；

512+VT0>3V2>A<I0-2,即%―mv|0C|vm+rc,所以圆O与圆C相交，有两条公切线，故

A错误；

值二—3尸+(y—3)2=10,

联式整理得x+y=2,

£2+y2=4,

故圆。与圆C的公共弦所在直线/的方程为x+.y=2,故C正确;

圆心。到直线/的距离为d=J==&，

V1+1

所以圆。与圆C的公共弦长为2122—(&)2=2/，故D正确.

11.已知圆C截)，轴所得的弦长为2,圆心。到直线/：x-2.v=0的距离为且圆C被彳轴

分成的两段弧长之比为3：1,则圆C的方程为()

A.(%+1)2+°，+1)2=2

B.(工一1)2+°，-1)2=2

C.(》+1)2+()，-1)2=2

D.(x-l)2+(v+i)2=2

AB解析:设圆C的方程为(x—〃)2+(y—〃)2=户，则点C到x轴、y轴的距离分别为阴，

产=2/)2,卜=-1,(a=l,

由题意可知<72=小+1,所以］匕=一1,或1b=i.

甯=9,("=2(/=2.

故所求圆C的方程为(x+l产+(y+1)2=2或(x—l)2+(y—1>=2.

三,填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知圆C的圆心坐标是(0,〃?)，半径是r.若直线2x—)，+3=0与圆。相切于点A(—2,一

1),则m=,r=.

-2V5解析：由题意可知心°=一也所以直线人。的方程为y+l=-#x+2).把(0,〃?)代

入直线AC的方程得〃?=一2,此时r=|Aq=V4TT=V5.

13.已知点A(1,M，8(1,26一m),若圆C：f+尸+2(=0上有且只有一点尸，使得PALPB,

则实数〃?的一个值为.(写出满足条件的一个值即可)

75+2(答案不唯一)解析：由题意知，圆C:f+)，2+2x=0,即(x+l)2+)，2=1,

圆心为C(-l,0),半径r=l.

设线段A8的中点为M.

因为41./H),8(1.2y/5-m),则A/(l,V5).\AB\=2\V5-m\.

所以以A8为直径的圆M为(x-l)2+(y—遍)2=(遮一小产

因为圆C:£+/+2工=0上有且只有一点p,使得布_LPB,所以圆。与圆M相切.

又|MC|=J(-l—1尸+(0一通『=3,

即有|V§-m|+l=3或|相一利一］=3,

解得〃?=遍±2或w=V5±4.

14.已知人为圆C：f+(y—1)2=：上的动点，8为圆E：。-3)2+产=(上的动点，P为直线)，

=：%上的动点，则|PB|-|P*的最大值为.

普+1解析：设E(3,0)关于直线)，=、的对称点为£［孙n),

A4

(w_l伉=2

则吧，解得=3所以雕，勺，

12-2'~»Lg，

则圆石关于直线尸)对称的圆£的方程为1-/+(>-Y)2=土

要使|PB|—|P川的值最大，则P,A,仅其中夕为圆E关于直线)，=$的对称圆£上的点)三

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)我国的隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”；或挂于

峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路；但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出

窄窄的出入口洞门.某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样

式,如图所示,路宽为16m(AB=16m),洞门最高处距路面4m(C£>=4m).

(I)建立适当的平面宜角坐标系，求圆弧AB的方程；

(2)为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了2m宽的隔

墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽2m,高3.6m,则此货车能否通过该洞门？并说明

理由.

解：(1)以点。为坐标原点，AB,所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的平面面角坐

标系，

则点C(0,4),8(8,0).

由圆的对称性可知，圆心在)，轴上，

设圆心坐标为(0,b),圆的半径为乙则圆弧人8所在圆的方程为«+6—〃)2=3

0+(4—b)2=r2

因为点C,B在圆上，所以《'解得〃=-6,r=10.

222

,8+(0-b)=rf

所以圆弧A3所在圆的方程为x2+6产=100,

因此圆弧人8的方程为F+G，+6)2=|00(0W)，W4).

(2)此货车不能通过该洞门.理由如下：

由题意可知，隔墙在)，轴右侧1m,而车宽2m,车高3.6m,

所以货车右侧的最高点的坐标为(3,3.6).

因为32+(3.6+6)2>100,所以此货车不能通过该洞门.

16.(15分)已知点尸(x,y)在圆M+y2—6x—6y+]4=0上.

⑴求渺最大值和最小值；

(2)求1+)，2+左+3的最大值与最小值.

解：(1)圆的方程f+y2-6区-6)，+14=0可化为(x—3)2+。-3产=4,

即该圆以(3,3)为圆心，2为半径.

因为?=m，所以(即为(°，0)与该圆上一点确定的直线的斜率.

设过(0,0)与圆。-3)2+()，-3>=4相切的直线方程为心一)，=0(斜率不存在时直线与圆是相离

的)，则有2=端普,解得太=空乎

所以=皿亘，=为亘.

、x，max5Lmin5

(21+9+2^+3=(犬+1产+)，+2表示点(x,y)与点(一1,0)距离的平方加上2.

因为点(x,y)在圆上，点(一1,0)在圆外,

所以所求最大值为[J(3+1)2+(3—0尸+2]2+2=51,

所求最小值为(3+1)2+(3—0)2-+2=11.

17.(15分)已知方程/+9一2K+4y+4〃2=0.

(I)若此方程表示圆，求正整数〃?的值；

⑵在(1)的条件下，方程表示的圆为圆C,若从点M(—4,1)发出的光线经过直线y=-x反射,

反射光线恰好平分圆C,求反射光线所在直线/i的一般式方程.

解：⑴若此方程表示圆，K'](—2)2+42—4X4/??>0,解得

4

因为〃？为正整数，所以〃?=1.

(2)在⑴的条件下,方程表示圆C:1)2+042)2=1.

由人恰好平分圆C,得/|经过圆心C(l,-2).

设点M关于直线y=—x的对称点为N(x,y),

则直线MN与直线y=-x垂直，且线段MN的中点(?，子)在直线)，=一x上，

—x(-1)=-1,x=-1

则有道=_T解得'所以M-1,4).

ly=4,

.22,

所以直线CN即为直线八，且心|=心'=言点=-3,

所以反射光线所在直线八的方程为y+2=-3(x-l),即3.r+y-l=0.

18.(17分)已知半径为4的圆C与直线八：3x-4y+8=。相切，圆心。在y轴的负半轴上.

(I)求圆C的方程；

(2)已知直线6：区一)，+3=0与圆。相交于A,8两点，当AABC面积最大时，求直线口的方

程.

解：(1)结合题意，因为圆心C在)，轴的负半轴上，且半径为4,

所以可设圆C的标准方程为『+()，—。尸=16,b<0,此时圆心为C(0,b).

因为直线小3X一4>+8=0与圆C相切，所以圆心C(O,b)到直线/i的距离为4,

即雾粤=4,解得》=7(舍去)或〃=一3,

所以圆C的方程为f+6+3)2=16.

⑵由(I)可得圆C:/+。+3)2=16的圆心为。(0,-3),半径r=4,

所以圆心C到直线/：^->-4-3=0的距离为4=普妻4=修=,

2•y/k2+(-iy“2+1

结合圆的弦长公式得|力8|=2〃2一卷=2力6-广.

国为直线，2与圆C相交于A,〃两点，所以0々尸<户=16,

所以S&A8C=T■用•d=dV16-d27d2(16一卷)WM+(；Y2)=8,

当且仅当，=16—心，即d=2或叶，/XABC的面积取得最大值8.

所以d=4G=2/，解得女=±孚.

7vfcz+l2

所以直线/2的方程为旧式一2)，+6=0或VH.t+2.y—6=0.

19.(17分)已知圆G：f+V+G—2.v+6=0和圆G：8x—10y+41—户=0(r>0).

(I)若圆G与圆。2相交，求厂的取值范围；

(2)若直线/：.、，=履+1与圆G交于P,Q两点，且小户•。。=4(O为原点)，求实数%的值；

(3