初中数学七年级上册（人教版2024）第五章“一元一次方程”复习知识清单：产品配套与工程问题

初中数学七年级上册（人教版2024）第五章“一元一次方程”复习知识清单：产品配套与工程问题

一、核心概念与数学模型【基础】

（一）课程定位与思想方法

本节是第五章“一元一次方程”的核心内容，承载着从算术思维向代数思维过渡的关键功能。其本质是“数学模型”的构建与应用，即将现实世界中的生产分配与工作进程问题，通过“未知数”转化为数学方程。这不仅是解方程技能的延伸，更是培养学生“建模意识”和“应用意识”的起点。在本学段，我们强调“审题—找等量关系—设元—列方程—求解—检验—作答”的完整闭环，为后续学习二元一次方程组、不等式及函数应用奠定坚实基础。【重要】

（二）两大基本问题类型

1、产品配套问题：核心在于解决生产过程中，各种零部件的数量比例关系必须符合最终产品组成要求的调配问题。例如，一张桌子配四条腿、一个螺栓配两个螺母等。其数学模型是：A部件总量：B部件总量=配套比（如1:2），进而转化为A部件总量×2=B部件总量×1的乘积式方程。【高频考点】

2、工程问题：核心在于度量工作的进度。我们将一项完整的工作抽象为“单位1”，将工作效率（单位时间内完成的工作量）作为核心桥梁。其数学模型是：各部分工作量之和=总工作量（通常为1）。工作量则通过“工作效率×工作时间×人数（如涉及多人）”来计算。【高频考点】

二、核心原理与关键能力

（一）根本大法：寻找等量关系【非常重要】

列方程的灵魂在于“翻译”，即用数学符号语言描述题目中蕴含的等量关系。这是解决问题的首要步骤，也是难点所在。我们提倡通过“关键词法”和“公式法”双重锁定。

（二）核心公式与基本量

1、配套问题核心公式：

设甲部件数量为M，乙部件数量为N，配套比例为m:n（即m个甲与n个乙配成一套）。

则存在等量关系：M:N=m:n。

由此可得方程的两种等价形式：

（1）比例内项积等于外项积：M×n=N×m（这是最通用、最不易出错的方程形式）。【非常重要】

（2）倍数关系：N=(n/m)×M或M=(m/n)×N。

特别注意：配套比是比例关系，转化为方程时必须交叉相乘，避免出现M/m=N/n这种易混清的形式。

2、工程问题核心公式：

（1）基本关系：工作量=工作效率×工作时间。

（2）当工作总量未明确给出时，通常设为单位“1”。

工作效率=1/单独完成所需时间。【基础】

（3）多人合作时的工作效率：合作效率=各人（队）工作效率之和。

（4）工作总量相等关系：各阶段（或各人）完成的工作量之和=总工作量（1）。【非常重要】

三、标准解题程序与策略（“四步建模法”）【重要】

（一）第一步：审题——析“量”与“系”

细读题目，圈画出所有已知数据（人数、效率、总量、时间）和未知量。明确题目中涉及哪些“量”（如生产人数、产品个数、工作效率），核心是找出描述“关系”的句子，如“...刚好配套”、“...完成这项工作”、“剩下的由...”。这是整个解题过程的基石。

（二）第二步：设元——选“谁”为x

设未知数是关键一步，基本原则是“设小不设大，设直接不设间接”，但也要视情况灵活。

1、直接设元：题目问什么，就设什么为x。如“应安排多少名工人生产螺钉？”就直接设生产螺钉的人数为x。【常用】

2、间接设元：当直接设元导致方程复杂时，可设与所求量紧密相关的中间量为x。例如，求“共配成多少套？”可设用x立方米钢材做A部件，然后通过配套关系求出套数。【难点突破】

（三）第三步：列方程——根据“等量关系”列式

这是“翻译”过程。将第一步找到的等量关系，用含有未知数的代数式表示出来。务必做到“两个一致”：单位一致，意义一致（如所有量都针对“每天”或“全部工程”）。

（四）第四步：解、验、答——严谨收尾

解方程后，必须进行双重检验：

1、检验解的正确性：代入原方程看左右两边是否相等。

2、检验解的合理性：所得结果是否符合实际意义，如人数必须为非负整数，工作量比例是否为正等。【易错点】

四、典型模型与例题深度剖析

（一）产品配套问题——人员调配型

【模型特征】已知总人数，生产两种不同部件，每人每天生产部件数量不同，按固定比例配套。

【例题1】某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母。1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？【经典必会】

【考点】配套关系转化为等量关系。

【解题步骤】

1、审题：总人数22；螺钉效率1200个/人天；螺母效率2000个/人天；配套比：螺钉：螺母=1：2。

2、设元：设应安排x名工人生产螺钉，则(22-x)名工人生产螺母。

3、列式：

根据配套比，可得：螺母总数=2×螺钉总数。

代数式表示：2000×(22-x)=2×(1200×x)。

4、解方程：

2000(22-x)=2400x

44000-2000x=2400x

44000=4400x

x=10

则22-x=12。

5、检验：x=10是方程的解，且为整数，符合实际。螺钉总量=1200×10=12000个，螺母总量=2000×12=24000个，螺母:螺钉=24000:12000=2:1，配套成立。

6、作答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母。

【变式与拓展】

1、若设生产螺母的人数为x，方程应如何列？【举一反三】提示：1200×(22-x)×2=2000x。

2、若问“为使每天生产的产品刚好配套，应如何分配？”而总人数未知，但已知生产螺栓和螺母的人数比例，又该如何设元？【思维进阶】

（二）产品配套问题——材料分配型

【模型特征】给定原材料总量，单位原材料可生产不同数量的部件，按比例配套。

【例题2】一套仪器由一个A部件和三个B部件构成。用1立方米钢材可做40个A部件或240个B部件。现要用6立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，才能恰好配成这种仪器？共配成多少套？

【考点】两个等量关系：原材料分配与部件数量配套。

【解题步骤】

1、审题：总材料6m³；A部件效率：40个/m³；B部件效率：240个/m³；配套比：A:B=1:3。

2、设元（间接）：设用x立方米钢材做A部件，则用(6-x)立方米钢材做B部件。

3、列式：

A部件总量：40x个。

B部件总量：240×(6-x)个。

根据配套比1:3，有B总量=3×A总量。

方程：240(6-x)=3×40x。

4、解方程：

240(6-x)=120x

1440-240x=120x

1440=360x

x=4

则6-x=2。

5、求套数：一套含1个A，故套数=A部件总数=40×4=160（套）。

6、检验：x=4是解，材料分配4m³和2m³，A部件160个，B部件480个，480=3×160，配套成立。

7、作答：应用4立方米钢材做A部件，2立方米钢材做B部件，共配成160套。

【易错警示】注意配套关系是1个A配3个B，方程是B=3A，而非A=3B。【非常重要】

（三）工程问题——分段合作型

【模型特征】一项工作分两个阶段由不同人数完成，所有人工作效率相同。

【例题3】整理一批图书，由一个人做要40h完成。现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8h，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？【经典必会】

【考点】将总工作量视为“1”，用各阶段工作量之和等于1列方程。

【解题步骤】

1、审题：个人完成需40h→个人效率=1/40。总工作量为1。

2、设元：设先安排x人工作4h。

3、列式：

第一阶段工作量：(人数×时间×人均效率)=x×4×(1/40)=4x/40。

第二阶段人数：(x+2)人，时间8h，工作量：(x+2)×8×(1/40)=8(x+2)/40。

等量关系：第一阶段工作量+第二阶段工作量=1。

方程：4x/40+8(x+2)/40=1。

4、解方程：

两边乘以40：4x+8(x+2)=40

4x+8x+16=40

12x=24

x=2。

5、检验：x=2是解，且为正整数。第一阶段工作量=(2×4)/40=8/40，第二阶段工作量=(4×8)/40=32/40，总和40/40=1。

6、作答：应先安排2人工作。

（四）工程问题——两队协作型

【模型特征】两队（人）从两端或同时施工，求合作时间。

【例题4】一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天。如果由这两个工程队从两端同时施工，需要多少天可以铺好这条管线？

【考点】合作效率和为各队效率之和。

【解题步骤】

1、审题：甲独做需12天→甲效率=1/12。乙独做需24天→乙效率=1/24。总工作量=1。

2、设元：设两队同时施工需要x天完成。

3、列式：

甲工作量：(1/12)x

乙工作量：(1/24)x

等量关系：甲工作量+乙工作量=1。

方程：x/12+x/24=1。

4、解方程：

两边乘以24：2x+x=24

3x=24

x=8。

5、检验：x=8是解，甲完成8/12=2/3，乙完成8/24=1/3，和为1。

6、作答：需要8天可以铺好这条管线。

五、考点、考向与考查方式分析【热点】

（一）考点分布

1、【必考点】根据配套比例关系列出方程。

2、【必考点】工程问题中将总工作量设为1，并用各部分工作量之和等于1列方程。

3、【高频考点】理解并正确使用“工作效率=1/单独完成时间”。

4、【难点】对于分段工程问题，能清晰划分不同阶段的工作量。

（二）考向预测

1、基础考向：直接给出标准模型，如例1和例3，考查基本公式和解题步骤。

2、综合考向：将配套问题与方程（组）解法结合，或与方案设计、最优选择问题结合。例如，“如何调配工人使得配套后剩余材料最少？”或“在工程问题中加入费用计算，问哪种方案更省钱？”。

3、创新考向：以现实生活情境（如“碳中和”背景下的节能减排工程、“神舟飞船”零件配套）包装问题，考查学生从复杂信息中提取数学模型的能力。

（三）常见题型

1、选择题：给出几个方程，判断哪个符合题意（常考配套比例的乘积式是否写对）。

2、填空题：直接设未知数，要求填写关键代数式或方程。

3、解答题：完整的实际问题求解，包括设、列、解、答，重点考查过程规范性。

六、易错点、难点与避坑指南【非常重要】

（一）配套问题中的“乘”与“除”

【误区】看到“1个螺栓配2个螺母”，直接列出“螺栓数×2=螺母数”出错率低，但若遇到“2个大齿轮配3个小齿轮”，部分学生容易列成“2×大齿轮数=3×小齿轮数”或混淆。

【正解】牢记核心公式：M×n=N×m。对于“2大配3小”，即大:小=2:3，则应列：3×大齿轮数=2×小齿轮数。【救命稻草】

（二）工程问题中的单位“1”与具体数值

【误区】题目中若给出了具体工作量（如“修路2000米”），则不能盲目设总工作量为1，应设具体数值或字母。

【正解】若工作总量给出具体数值，则工作效率应表示为“具体工作量/时间”，如“每天修50米”。此时方程中直接使用这些具体数值，无需设为1。

（三）人数与效率的混淆

【误区】在工程问题中，如“x人先做4h”，工作量误写为x×4，漏乘人均效率。

【正解】工作量=人均效率×人数×时间，三者缺一不可。

（四）解方程后忘记检验实际意义

【误区】解得人数为分数或负数，直接作为答案。

【正解】人数、天数必须为非负整数（或符合实际情境的有理数）。若出现分数，需回头检查方程是否正确，或考虑题目是否允许分数（如人数不能为小数，但时间可以是分数）。

（五）间接设元后，忘记回代求最终答案

【误区】题目问“共配成多少套”，你通过间接设元解出了“做A部件的钢材为x”，但最终答案只写了x的值，没求套数。

【正解】养成好习惯：看清问题问什么。若设的是中间量，求出后务必再计算最终所求量。

七、思维拓展与高阶视角（跨学科与项目化）

（一）跨学科链接——物理中的杠杆平衡条件

在物理学杠杆问题中，满足“动力×动力臂=阻力×阻力臂”时杠杆平衡。这与配套问题中的“交叉相乘”本质一致，都是处理比例关系的数学模型。这种模型思想在化学中的溶液配制、地理中的人口密度计算中均有体现。

（二）项目化学习视角

我们可以将本节内容设计为一个微项目：“校办工厂生产方案设计师”。给定原材料、人工成本、工人数量、市场需求（配套比例），要求学生设计一套“利润最大化”或“效率最大化”的生产方案。这需要学生综合运用配套模型、不等式（不超过原材料）、方程（恰好配套）等知识，进行多方案对比与决策。

（三）方程思想的高观点

从数学思想角度看，本节是“数”与“形”之外的“式”的第一次大规模应用。方程的本质是“为了求未知数，在已知数和未知数之间建立一种等式关系”。它不仅是解决应用题的“技术”，更是一种“思维方式”——当遇到复杂问题时，我们可以将要求的量设为未知数，然后寻找问题中隐含的等量关系，从而将逆向思维变为顺向思维，大大降低思维难度。

八、自查清单与能力自测

（一）概念关

1、我能否准确说出配套问题列方程的根本依据？（答：配套比例关系）

2、工程问题中，若甲单独做需a天，乙单独做需b天，则两人合作需多少天？公式