初中数学八年级（下）“用待定系数法确定一次函数表达式”知识清单

初中数学八年级（下）“用待定系数法确定一次函数表达式”知识清单

一、核心概念与基本原理

（一）一次函数的基本形式

在数学学科中，形如y=kx+b（其中k,b为常数，且k≠0）的函数，被称为一次函数。其图像是一条直线。【基础】理解这一基本形式是运用待定系数法的前提。当b=0时，函数变为y=kx（k≠0），此时它成为正比例函数，是特殊的一次函数。待定系数法的目标，就是根据已知条件，确定出这两个关键系数k（斜率）和b（截距）的具体数值。

（二）待定系数法的数学本质

待定系数法是一种重要的数学思想方法，属于“算法性知识”的范畴。【重要】其本质是先根据问题的特征设出含有未知系数的函数表达式（即建立数学模型），再根据已知条件（如点的坐标、直线的平行关系等）列出关于这些未知系数的方程或方程组，最后通过解方程（组）求出未知系数，从而得到所求函数表达式的方法。它架起了“已知条件”与“函数解析式”之间的桥梁。

（三）点的坐标与函数解析式的关系

函数图像上的任意一点P(x,y)，都满足该函数的解析式。这意味着，如果知道一个点在一次函数的图像上，那么将该点的横坐标x代入解析式后计算出的y值，必须等于该点的纵坐标。这是将几何条件（点在线上）转化为代数条件（方程）的核心依据。【非常重要】

二、待定系数法确定一次函数表达式的标准流程

（一）基本步骤精析

1.设（设定函数形式）：根据题设条件，判断是一次函数还是一般的一次函数，或者是否为正比例函数（过原点）。若未明确指明是正比例函数，一般设所求的一次函数解析式为y=kx+b（k≠0）。如果已知函数图像过原点（0,0），则可直接设为y=kx（k≠0），简化计算。【高频考点】

2.列（列出方程组）：将题目中已知的两个点（或一对对应值）的坐标，分别代入所设的解析式中。代入后，会得到关于k和b的两个二元一次方程，将它们联立，构成一个二元一次方程组。

3.解（解方程组求系数）：运用代入消元法或加减消元法解这个二元一次方程组，求出k和b的值。这是代数运算的核心环节，要求准确无误。【重点】

4.写（回代写出解析式）：将求出的k和b的值，代回到最初设定的函数解析式y=kx+b中，从而得到最终确定的一次函数表达式。注意，此时得到的是一个具体的、不含待定系数的解析式。

（二）不同已知条件下的策略选择

1.已知两点坐标【经典考向】：这是最直接、最常见的考查方式。直接套用上述四步法即可。解题的关键在于代入的准确性，特别是当点的坐标含有分数或负数时，去分母和符号处理要格外小心。

2.已知点坐标与k或b中的一个【基础】：如果题目直接给出了斜率k的值，或者给出了与y轴的交点坐标（即b的值），那么只需要一个点的坐标即可求出另一个未知数。此时，方程组退化为一元一次方程。

3.已知图像经过的象限或位置关系【综合应用】：这类题目不会直接给出点坐标，而是通过描述函数图像的几何特征（如与坐标轴围成的三角形面积、与另一条直线平行或垂直等）来隐含条件。解题策略是先利用几何条件求出点的坐标，或直接建立关于k、b的方程。例如，直线与x轴的交点坐标为(-b/k,0)，与y轴的交点坐标为(0,b)。【难点】

三、题型分类与解题技法大全

（一）基础类题型——直接代入求解析式

1.题型描述：题目直接给出两个明确的点的坐标，如“一次函数的图像经过A(1,2)和B(-1,4)两点，求此函数解析式”。

2.考查方式：检验学生对待定系数法基本步骤的掌握程度，以及基本的解方程组能力。

3.解答要点：

1.4.准确设出y=kx+b。

2.5.正确代入，得方程组：

2

=

k

⋅

1

+

b

2=k\cdot1+b

2=k⋅1+b4

=

k

⋅

(

−

1

)

+

b

4=k\cdot(-1)+b

4=k⋅(−1)+b

3.6.解方程组：两式相加或相减消元，解得k=-1，b=3。

4.7.回代写出解析式：y=-x+3。

8.易错点：代入时坐标与字母对应错误；解方程组时计算失误；忘记回代步骤。

（二）图像信息类题型——读图获取信息

1.题型描述：给出一次函数的图像，图像上标有明确的点坐标（如与x轴、y轴的交点坐标），或者给出了直线上的刻度信息，需要学生从图像中读取点坐标。

2.考查方式：考查学生的数形结合能力。图像是信息载体，学生需要具备从图像中抽象出关键数据（点的坐标）的能力。

3.解答要点：

1.4.仔细观察图像，找到直线与坐标轴的交点坐标，或者其他明显被标记的点的坐标。

2.5.如果直线与x轴交于点(m,0)，与y轴交于点(0,n)，那么b=n，再将(m,0)代入y=kx+n中求出k。

3.6.如果图像是一条线段（实际问题），需要先判断自变量取值范围，但求解析式的方法不变。

7.易错点：读图错误，将点的横纵坐标看反；忽略图像提供的隐含信息，如原点等。

（三）平移与对称类题型——利用变换关系

1.题型描述：已知一条直线L1的解析式，求它平移（上下或左右）或关于某条直线（x轴、y轴）对称后的直线L2的解析式。

2.考查方式：结合图形变换，考查待定系数法的灵活运用和对“k、b”几何意义的深刻理解。

3.核心原理：

1.4.平移【重要】：

1.2.5.上下平移：上加下减（对b操作）。y=kx+b向上平移m个单位得y=kx+b+m；向下平移m个单位得y=kx+b-m。斜率k不变。

2.3.6.左右平移：左加右减（对x操作）。y=kx+b向左平移m个单位得y=k(x+m)+b；向右平移m个单位得y=k(x-m)+b。斜率k不变。

4.7.对称【难点】：

1.5.8.关于x轴对称：x不变，y变为相反数，即新解析式满足-y=kx+b，整理得y=-kx-b。

2.6.9.关于y轴对称：y不变，x变为相反数，即新解析式满足y=k(-x)+b，整理得y=-kx+b。

3.7.10.关于原点对称：x、y均变为相反数，即-y=k(-x)+b，整理得y=kx-b。

11.解答要点：首选根据变换规律直接写出新解析式；若变换规律不熟悉，也可在已知直线上任取两个特殊点（如与坐标轴的交点），求出这两个点变换后的对应点坐标，再用待定系数法求新直线的解析式。

（四）面积相关类题型——构建方程求系数

1.题型描述：已知一次函数与坐标轴围成的三角形面积，或者已知与另一条直线及坐标轴围成的多边形面积，反求一次函数解析式中的待定系数。

2.考查方式：综合考查一次函数与几何图形的结合，将面积条件转化为关于k、b的方程，体现了代数与几何的深度融合。【高频考点】

3.核心原理：直线y=kx+b（k≠0）与x轴交点坐标为A(-b/k,0)，与y轴交点坐标为B(0,b)。则它与坐标轴围成的三角形面积为S=1/2*|OA|*|OB|=1/2*|-b/k|*|b|=(b²)/(2|k|)。

4.解题步骤：

1.5.用含k、b的式子表示出与x轴、y轴的交点坐标。

2.6.根据题意，利用三角形面积公式列出方程：S=1/2*|x轴截距|*|y轴截距|。

3.7.结合题目中可能给出的其他条件（如直线经过某点、与另一条直线平行等），再列出一个关于k、b的方程。

4.8.联立方程组求解。注意：由于涉及绝对值，解往往不唯一，需要根据直线的位置（经过的象限）来检验解的合理性，舍去不符合图像位置的解。【非常重要】

（五）平行与垂直类题型——利用位置关系

1.题型描述：已知一次函数的图像与已知直线平行（或垂直），并且经过某个点，求其解析式。

2.考查方式：考查对直线位置关系的代数化理解。

3.核心原理：

1.4.平行【重要】：若两条直线L1:y=k₁x+b₁和L2:y=k₂x+b₂平行，则它们的斜率相等，即k₁=k₂，且b₁≠b₂（若不相等则为同一直线）。所以，只需求出另一个条件即可确定b。

2.5.垂直【拓展】：若两条直线互相垂直（且斜率均存在），则它们的斜率之积为-1，即k₁*k₂=-1。这一性质在更高年级的数学学习中会广泛应用，在此阶段可作为拓展知识，提升思维深度。

6.解答要点：先根据平行关系确定所求直线的斜率k，再将其与已知点坐标代入y=kx+b，解出b即可。

（六）实际问题应用类题型——建模求解

1.题型描述：结合实际生活情境（如行程问题、弹簧称重、手机话费套餐、水费阶梯收费等），给出几组对应数据（表格形式）或图像，要求学生求出表示函数关系的表达式。

2.考查方式：考查学生将实际问题抽象为数学模型的能力，即数学建模素养。待定系数法是连接数据与模型的工具。【热点】

3.解答要点：

1.4.分析变量：明确问题中的自变量和因变量分别是什么，并用字母表示（如时间t和路程s）。

2.5.提取数据：从表格、图像或文字描述中，准确获取两对（或多对）对应的数值。注意自变量的取值范围对函数形式的影响（例如分段函数）。

3.6.模型假设：根据问题背景，判断是否满足一次函数关系（通常是均匀变化）。若满足，则设函数式为y=kx+b。

4.7.代入求解：选取两对对应值，代入所设表达式，用待定系数法求出k、b。

5.8.检验与解释：将求得的表达式代入另一组数据检验是否吻合，并结合实际背景写出最终答案（注意自变量的取值范围）。

9.易错点：忽视实际问题中自变量的取值范围，导致解析式适用区间错误；数据选取错误，未使用变化过程中的对应数据。

四、深度学习与思维拓展

（一）待定系数法与方程思想的深化

待定系数法的核心是方程思想。当已知条件复杂时，需要具备更强的“将条件转化为方程”的意识。例如，已知函数y=kx+b与y=-3x平行且过点(2,-1)，则“平行”转化为方程k=-3；“过点”转化为方程-1=(-3)*2+b。这里，每一个几何或文字条件都对应着一个代数方程。学会寻找并翻译这些条件，是解题的关键。

（二）从“两个点”到“一组条件”的认知升级

传统教学中强调“两点确定一条直线”，这“两点”可以是直接的坐标，也可以是间接的、能推导出两点坐标的条件，甚至可以是不直接表现为“点”的条件组合，如“与直线y=2x平行且与y轴交于点(0,3)”，前者决定了k，后者直接给出了b，本质上仍然是两个独立的条件。因此，可以拓展为：要确定一个一次函数表达式（k和b），需要且仅需要两个独立的、互不矛盾的条件。这种认知升级有助于学生解决更为复杂、条件更为隐晦的问题。

（三）跨学科视野下的待定系数法

1.在物理学中的应用【跨学科链接】：在匀速直线运动中，路程s与时间t的关系为s=vt+s₀（其中v是速度，s₀是初始路程）。这完全是一个一次函数模型。通过实验测得两组数据(t₁,s₁)和(t₂,s₂)，利用待定系数法就可以求出速度v和初始位置s₀。在“探究弹簧伸长量与拉力的关系”实验中，弹簧长度L与所挂砝码质量m的关系为L=km+L₀（在弹性限度内），通过测量数据同样可以用待定系数法求出弹簧的劲度系数k和原长L₀。

2.在经济学中的应用【跨学科链接】：简单的成本函数C(x)=mx+b，其中x是产品数量，m是单位变动成本，b是固定成本。如果已知生产某批产品的总成本，就可以利用待定系数法求出成本函数，从而预测其他产量下的成本。

（四）待定系数法与函数家族

一次函数是整个初中函数学习的起点。待定系数法作为一种通用的数学方法，在后续学习反比例函数y=k/x、二次函数y=ax²+bx+c时将会被反复使用。其思想是相通的：先根据函数类型设出通式（含有待定系数），然后代入足够多的点（一次函数需2个，反比例函数需1个，二次函数需3个），列出方程（组）求解。掌握好一次函数中的待定系数法，就为后续所有函数的学习奠定了坚实的基础。【重要】

五、考点透视与备考策略

（一）高频考点清单

1.【★高频考点】直接给出两点坐标求解析式。

2.【★高频考点】结合图像信息（尤其是与坐标轴的交点）求解析式。

3.【★高频考点】利用平移规律求新解析式。

4.【★高频考点】结合三角形面积求解析式（需考虑多解情况）。

5.【★热点】在实际问题情境中，通过待定系数法建立一次函数模型。

（二）易错点与避坑指南

1.“设”的陷阱：当题目没有明确说明是正比例函数时，切忌直接设成y=kx。必须设成y=kx+b（k≠0），否则会遗漏b=0（即过原点）的情况。

2.“列”的陷阱：代入点坐标时，是“将x换成横坐标，y换成纵坐标”，顺序不能颠倒。例如点(2,3)代入应得3=2k+b，而不是2=3k+b。

3.“解”的陷阱：解含分数或系数的二元一次方程组时，计算要仔细。建议在草稿纸上清晰演算每一步，并代入原方程进行验算。

4.“写”的陷阱：最终结果要写成y=kx+b的形式，且k、b应化为最简形式（如分数要化为最简分数，系数是小数时可化为分数以保持精确性）。

5.面积问题中的绝对值陷阱：当题目涉及直线与坐标轴围成的面积时，求出的k或b往往有正负两个值。务必结合直线的走向（经过哪些象限）或题目的其他条件，判断解是否符合实际情况。例如，若直线经过一、二、四象限，则k<0，b>0，据此可舍去不符合条件的解。

（三）解题步骤口诀化记忆

为了帮助学生快速、准确地解题，可以将待定系数法的步骤编成口诀：

“一次函数通式设，y等kx加b莫忘k非零；

已知两点代入列，方程组写要分明；

加减代入细心解，k与b值现原形；

回代通式写答案，检验确保它可行。”

六、典型例题精析与思维建模

（一）基础例题精析

例1：已知一次函数的图像经过点(3,5)和(-4,-9)，求这个一次函数的解析式。

思维建模：

1.识别题型：基础类，已知两点。

2.设：设一次函数解析式为y=kx+b(k≠0)。

3.列：将(3,5)和(-4,-9)代入，得方程组：

5

=

3

k

+

b

(

1

)

5=3k+b\quad(1)

5=3k+b(1)−

9

=

−

4

k

+

b

(

2

)

-9=-4k+b\quad(2)

−9=−4k+b(2)

4.解：用(1)式减去(2)式，消去b，得5-(-9)=3k-(-4k)=>14=7k=>k=2。将k=2代入(1)式，得5=3*2+b=>b=-1。

5.写：所以，所求一次函数解析式为y=2x-1。

点评：此题是标准的待定系数法应用，每一步清晰明确，是必须熟练掌握的基础题。

（二）综合例题精析

例2：已知一次函数y=kx+b的图像经过点A(2,0)，且与坐标轴围成的三角形面积为4，求该一次函数的解析式。

思维建模：

1.识别题型：综合类，结合面积条件。

2.分析：图像过A(2,0)，说明2是函数图像与x轴交点的横坐标的一部分，但这里A点就是与x轴的交点吗？不一定。因为直线与x轴交点纵坐标为0，所以A(2,0)就是直线与x轴的交点。设直线与y轴交点为B(0,b)。【重要发现】

3.确定几何条件：直线与坐标轴围成的三角形是Rt△AOB，其中OA=2，OB=|b|（因为b可能为负，距离要取绝对值）。

4.列方程：三角形面积S=1/2*OA*OB=1/2*2*|b|=4。解得|b|=4，所以b=4或b=-4。

5.利用已知点求k：

1.6.当b=4时，直线过A(2,0)和B(0,4)，代入或直接用斜率公式得k=(4-0)/(0-2)=4/(-2)=-2。解析式为y=-2x+4。

2.7.当b=-4时，直线过A(2,0)和B(0,-4)，得k=(-4-0)/(0-2)=-4/(-2)=2。解析式为y=2x-4。

8.检验与结论：

1.9.对于y=-2x+4，与x轴交于(2,0)，与y轴交于(0,4)，面积为4，符合题意。

2.10.对于y=2x-4，与x轴交于(2,0)，与y轴交于(0,-4)，面积为4，符合题意。

所以，所求一次函数解析式为y=-2x+4或y=2x-4。

点评：此题的关键在于识别出点A就是与x轴的交点，并正确使用绝对值表示距离。题目隐含了多解的可能，需要学生具备分类讨论的意识。

（三）实际应用例题精析

例3：某市出租车收费标准如下：行驶路程不超过3千米时收费8元；超过3千米时，每增加1千米加收1.5元（不足1千米按1千米计）。设行驶路程为x（千米）（x>3），乘车费用为y（元）。请求出当x>3时，y与x之间的函数关系式。

思维建模：

1.识别题型：实际应用类，分段函数中的一段。

2.理解题意：当x>3时，费用由起步价8元加上超出3千米部分的费用组成。超出部分每千米1.5元。这是一个典型的均匀变化模型，符合一次函数特征。

3.提取数据点：

1.4.当x=3时，收费y=8元（这是分段点，也是当x>3时函数图像的起点）。

2.5.当x=4时，收费y=8+1.5*(4-3)=9.5元。得到点(4,9.5)。

3.6.当x=5时，收费y=8+1.5*(5-3)=11元。得到点(5,11)。

7.设与列：设当x>3时，函数解析式为y=kx+b。选取(4,9.5)和(5,11)代入。

9.5

=

4

k

+

b

9.5=4k+b

9.5=4k+b11

=

5

k

+

b

11=5k+b

11=5k+b

8.解：两式相减，得11-9.5=5k-4k=>k=1.5。代入得11=5*1.5+b=>b=11-7.5=3.5。

9.写：所以，所求函数关系式为y=1.5x+3.5(x>3)。

10.验证：将x=3代入此式得y=1.5*3+3.5=4.5+3.5=8，与实际情况吻合（在分段点处连续）。

点评：此题关键在于理