2025-2026学年江苏省苏州市高一上学期十月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省苏州市2025-2026学年高一上学期十月月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列符号表述正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根据分别表示正整数集、有理数集可知AB错误；由空集的意义可知C错误；根据空集是任何集合的子集可知D正确.故选：D.2.设全集，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，则，又，所以，故选：A.3.“”是“”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为或，所以，但成立推不出，所以是成立的必要不充分条件.故选：B.4.设，，则与的大小关系是（）A. B.C. D.无法确定【答案】A【解析】因为，，所以，所以.故选：A.5.已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得，，因为，所以，，则实数的取值范围是，故C正确.故选：C.6.甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意知，甲的常数正确，由韦达定理可知，故；乙的常数正确，故，故.所以原不等式为，即，解得，所以解集为.故选：D.7.已知实数，满足，，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则，所以，又，则，所以，故选：B.8.已知集合有且仅有两个子集，则的最小值为（）A.8 B.5 C.6 D.9【答案】A【解析】由题意得有且仅有两个子集，故集合仅有个元素，则，即，因，所以，故，得到，当且仅当，即时，等号成立，可得的最小值为，故A正确.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.由实数所组成的集合的元素个数可以是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】BC【解析】当时，根据集合互异性，可知集合的元素为0，集合的元素个数为1；当时，，，，集合中的元素有，，集合中的元素个数为2个；当时，，，，集合中的元素有，，集合中的元素个数为2个.综上可知集合的元素个数为1或2.故选：BC.10.已知，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A，因为，所以，故A正确，对于B，因为，，所以，故B错误，对于C，因为，，所以，故C正确，对于D，由题意得，因为，，所以，，可得，则，即，故D正确.故选：ACD.11.已知，，且，则下列说法正确的是（）A.的最大值为 B.的最小值为4C.的最大值为2 D.的最小值为【答案】AD【解析】对于A：因为，所以根据基本不等式的性质得，解得，当且仅当时等号成立，此时的最大值为，所以A正确；对于B：因为，当且仅当时，即时等号成立，此时的最小值为5，所以B错误；对于C：，由A知的最大值为，所以的最大值为，所以的最大值为，所以C错误；对于D：，所以.由A知，所以，所以的最小值为，所以D正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.命题“，”的否定是______.【答案】，【解析】由题意得命题“，”的否定是，.故答案为：，.13.不等式的解集为______.【答案】【解析】当时，，此时令，解得，当时，，不符合题意，故排除，当时，，此时令，解得，综上可得不等式的解集为.故答案：.14.设矩形的周长为20，把沿向折叠，折过去后与交于点P，设，则面积最大时的x的值为______.【答案】【解析】因为是矩形，所以有，，因为是沿向折叠所得，所以有，，因此有，，在和中，所以，因此，因为，矩形的周长为20厘米，设，所以，因为，所以，解得，设，而是矩形，所以，因此，在直角三角形中，，所以，化简得：，当且仅当时取等号，即时，的最大面积为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，非空集合.若，求实数m的值.解：因为，所以．由题知，当时，，即，解得或．若，则，得到，满足题意；若，则，不符合题意．当时，，即，解得或．若，则，不合题意．当时，由韦达定理得，同理可得符合题意.综上所述，实数的值为3．16.已知集合，，.（1）求；（2）若“”是“”的充分条件，求a的取值范围.解：（1），即，解得，所以，所以或，，即，即，即，即，即，解得，所以，所以.（2）由题意得，当时，，解得，当时，，解得，综上：a的取值范围为.17.如图所示，某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m.（1）若水池长比宽至少多60m，求水池的宽的最大值；（2）若池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?解：（1）设水池的长、宽分别为，则，且，由题意得，即，所以，因为，所以，即，即，解得，又，所以，所以水池的宽的最大值为20.（2）设水池总造价为元，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，将水池的地面设计为边长为的正方形时总造价最低，最低总造价为元.18.（1）解关于x的方程；（2）若关于x的不等式的解集为，求实数a的取值范围；（3）解关于x的不等式，.解：（1）令，则，即，所以，解得，所以，即，解得.（2）当时，由原不等式可得，满足题意；当时，的解集为，则，即，解得，综上，实数a的取值范围.（3）由可得，①当，即时，不等式为，解得；②当，即时，不等式为，解得；③当，即时，，不等式的解为或；④当且，即且时，（i）当时，，所以不等式的解为，（ii）当时，，所以不等式的解为.综上，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.19.已知正数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且，即，时取等号，所以的最小值为.学习上述解法并解决下列问题：（1）若正数x，y满足，求的最小值；（2）若实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件；（3）求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值.解：（1）因为正数满足，则.所以，当且仅当时，即时等号成立，则的最小值为.（2）.因为，所以，当且仅当且同号时等号成立，所以.（3）令，，构造，所以，即，因此.所以.取等号时，且同正，结合，解得，即.所以时，取得最小值.江苏省苏州市2025-2026学年高一上学期十月月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列符号表述正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根据分别表示正整数集、有理数集可知AB错误；由空集的意义可知C错误；根据空集是任何集合的子集可知D正确.故选：D.2.设全集，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，则，又，所以，故选：A.3.“”是“”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为或，所以，但成立推不出，所以是成立的必要不充分条件.故选：B.4.设，，则与的大小关系是（）A. B.C. D.无法确定【答案】A【解析】因为，，所以，所以.故选：A.5.已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得，，因为，所以，，则实数的取值范围是，故C正确.故选：C.6.甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意知，甲的常数正确，由韦达定理可知，故；乙的常数正确，故，故.所以原不等式为，即，解得，所以解集为.故选：D.7.已知实数，满足，，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则，所以，又，则，所以，故选：B.8.已知集合有且仅有两个子集，则的最小值为（）A.8 B.5 C.6 D.9【答案】A【解析】由题意得有且仅有两个子集，故集合仅有个元素，则，即，因，所以，故，得到，当且仅当，即时，等号成立，可得的最小值为，故A正确.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.由实数所组成的集合的元素个数可以是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】BC【解析】当时，根据集合互异性，可知集合的元素为0，集合的元素个数为1；当时，，，，集合中的元素有，，集合中的元素个数为2个；当时，，，，集合中的元素有，，集合中的元素个数为2个.综上可知集合的元素个数为1或2.故选：BC.10.已知，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A，因为，所以，故A正确，对于B，因为，，所以，故B错误，对于C，因为，，所以，故C正确，对于D，由题意得，因为，，所以，，可得，则，即，故D正确.故选：ACD.11.已知，，且，则下列说法正确的是（）A.的最大值为 B.的最小值为4C.的最大值为2 D.的最小值为【答案】AD【解析】对于A：因为，所以根据基本不等式的性质得，解得，当且仅当时等号成立，此时的最大值为，所以A正确；对于B：因为，当且仅当时，即时等号成立，此时的最小值为5，所以B错误；对于C：，由A知的最大值为，所以的最大值为，所以的最大值为，所以C错误；对于D：，所以.由A知，所以，所以的最小值为，所以D正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.命题“，”的否定是______.【答案】，【解析】由题意得命题“，”的否定是，.故答案为：，.13.不等式的解集为______.【答案】【解析】当时，，此时令，解得，当时，，不符合题意，故排除，当时，，此时令，解得，综上可得不等式的解集为.故答案：.14.设矩形的周长为20，把沿向折叠，折过去后与交于点P，设，则面积最大时的x的值为______.【答案】【解析】因为是矩形，所以有，，因为是沿向折叠所得，所以有，，因此有，，在和中，所以，因此，因为，矩形的周长为20厘米，设，所以，因为，所以，解得，设，而是矩形，所以，因此，在直角三角形中，，所以，化简得：，当且仅当时取等号，即时，的最大面积为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，非空集合.若，求实数m的值.解：因为，所以．由题知，当时，，即，解得或．若，则，得到，满足题意；若，则，不符合题意．当时，，即，解得或．若，则，不合题意．当时，由韦达定理得，同理可得符合题意.综上所述，实数的值为3．16.已知集合，，.（1）求；（2）若“”是“”的充分条件，求a的取值范围.解：（1），即，解得，所以，所以或，，即，即，即，即，即，解得，所以，所以.（2）由题意得，当时，，解得，当时，，解得，综上：a的取值范围为.17.如图所示，某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m.（1）若水池长比宽至少多60m，求水池的宽的最大值；（2）若池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?解：（1）设水池的长、宽分别为，则，且，由题意得，即，所以，因为，所以，即，即，解得，又，所以，所以水池的宽的最大值为20.（2）设水池总造价为元，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，将水池的地面设计为边长为的正方形时总造价最低，最低总造价为元.18.（1）解关于x的方程；（2）若关于x的不等式的解集为，求实数a的取值范围；（3）解关于x的不等式，.解：（1）令，则，即，所以，解得，所以，即，解得.（2）当时，由原不等式可得，满足题意；当时，的解集为，则，即，解得，综上，实数a的取值范围.（3）由可得，①当，即时，不等式为，解得；②当，即时，不等式为，解得；③当，即时，，不等式的解为或；④当且，即且时，（i）当时，，所以不等式的解为，（ii）当时，，所以不等式的解为.综上，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不